簡介:NA?11整數(shù)指數(shù)冪整數(shù)指數(shù)冪概念①N∈NN12,XA,XN1,NNNNA0,M,NN,N1A0,M,NN,NAN,A11,,,,0,,0,0NMNNNNMNNNNMNMNAAAAAAAAAAAAMAAA???????????????????????分數(shù)指數(shù)冪一般地如果那么叫做其中且當是奇數(shù)時當是偶數(shù)時≥且且的次方根
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簡介:§11函數(shù)第一章函數(shù)與極限第一章函數(shù)與極限§11函數(shù)函數(shù)【目的要求】【目的要求】1、了解鄰域的概念;了解復合函數(shù)的概念;了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù);、了解鄰域的概念;了解復合函數(shù)的概念;了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù);2、會將復合函數(shù)分解成幾個基本初等函數(shù)或簡單函數(shù);會將初等函數(shù)分解成幾個基本初等函數(shù)的加、減、乘、除和復合函數(shù).、會將復合函數(shù)分解成幾個基本初等函數(shù)或簡單函數(shù);會將初等函數(shù)分解成幾個基本初等函數(shù)的加、減、乘、除和復合函數(shù).3、熟練掌握函數(shù)的四個特性.、熟練掌握函數(shù)的四個特性.【重點難點】【重點難點】1、將幾個函數(shù)復合成復合函數(shù);、將幾個函數(shù)復合成復合函數(shù);2、將復合函數(shù)和初等函數(shù)分解成幾個基本初等函數(shù)或簡單函數(shù).、將復合函數(shù)和初等函數(shù)分解成幾個基本初等函數(shù)或簡單函數(shù).【教學內(nèi)容】【教學內(nèi)容】一、高等數(shù)學基礎知識一、高等數(shù)學基礎知識1.高等數(shù)學與初等數(shù)學的差別1.高等數(shù)學與初等數(shù)學的差別從數(shù)學史來看,微積分的產(chǎn)生標志著從初等數(shù)學到高等數(shù)學的飛躍.高等數(shù)學與初等數(shù)學雖然有許多相同的地方,但也存在著許多本質上的差別.(1)兩者研究的對象不同(1)兩者研究的對象不同.在自然界和工程技術中,我們遇到各式各樣的量.從是否變化的角度來分,量可分為常量常量與變量變量.在某個研究過程中取同一數(shù)值的量稱為常量常量,取不同數(shù)值的量稱為變量變量.如自由落體過程中物體的質量是常量,而物體下降的時間和距離都是變量;又如密閉容器中氣體的體積和分子數(shù)目是常量,但氣體的溫度和壓力都是變量.初等數(shù)學主要討論常量的問題常量的問題,而高等數(shù)學主要討論變量的問題變量的問題.(2)兩者的研究范圍不同(2)兩者的研究范圍不同.初等數(shù)學主要研究的是有限過程有限過程,高等數(shù)學主要研究的是無限過程無限過程.(3)兩者的度量體系不同(3)兩者的度量體系不同.初等數(shù)學研究的量主要是離散量離散量,它有最小度量單位.而高等數(shù)學研究的量主要是連續(xù)量連續(xù)量,它無最小度量單位.(4)兩者的運算體系不同(4)兩者的運算體系不同.初等數(shù)學通過加、減、乘、除、乘方、開方等方法建立了常量間的有限運算體系有限運算體系,并用這些運算方法解決實際問題.高等數(shù)學通過極限的方法建立了變量間的無限運算體系無限運算體系,并運用“常量”和“變量”、“有限”和“無限”間的相互轉換,達到解決實際問題的目的.近代所有數(shù)學,真正“能算的”,幾乎都歸結為這兩種運算體系.高等數(shù)學主要研究一個連續(xù)量隨另外一個連續(xù)量連續(xù)變化規(guī)律(函數(shù)).2.高等數(shù)學的主要內(nèi)容2.高等數(shù)學的主要內(nèi)容高等數(shù)學的主要內(nèi)容是微分學微分學與積分學積分學.在研究變量時,微分學主要研究函數(shù)的局部性態(tài),要在某處附近對變量的極其微小的變化情況作出精細的分析.積分學主要研究函數(shù)的整體特征,要洞察整個無限變化過程中變量變化的全貌.高等數(shù)學(大學教學中慣稱)組成為??????????????????????空間解析幾何微分學高等數(shù)學數(shù)學分析極限論積分學微分方程無窮級數(shù)空間解析幾何微分學高等數(shù)學數(shù)學分析極限論積分學微分方程無窮級數(shù).§11函數(shù)全體非負整數(shù)即自然數(shù)自然數(shù)(NATURALNUMBER)的集合記作N,即N{0,1,2,?,N,?};全體正整數(shù)正整數(shù)的集合為N+{1,2,?,N,?};全體整數(shù)整數(shù)(INTEGER)的集合記作Z,即Z{?,?N,?,?2,?1,0,1,2,?,N,?};全體有理數(shù)有理數(shù)(RATIONALNUMBER)的集合記作Q,即Q,PPZQNPQQ且與互質??????∈∈????????;全體實數(shù)實數(shù)(REALNUMBER)的集合記作R,R表示排除0的實數(shù)集.R+表示全體正實數(shù)的集.二、初等函數(shù)二、初等函數(shù)函數(shù)是變量與變量之間相互依賴關系的數(shù)學抽象.函數(shù)是變量,是微積分學的主要研究對象.正因如此,對各類函數(shù)的定義及性質有深刻的理解,就為進一步深入學習打下了良好的基礎.函數(shù)的有關內(nèi)容,我們在中學就已經(jīng)研究得很透徹了,我們在此僅強調(diào)一些重要概念.11區(qū)間的概念區(qū)間的概念區(qū)間分有限區(qū)間有限區(qū)間和無限區(qū)間無限區(qū)間.開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間都是有限區(qū)間有限區(qū)間.含有∞符號的區(qū)間都是無限區(qū)間無限區(qū)間.這里,我們不討論無限區(qū)間的開閉性.22鄰域的概念鄰域的概念鄰域是某些有限區(qū)間的另一種表達形式,它強調(diào)的是與一點有關的區(qū)間的表達,常見的下面有幾種形式.(1)(1)有心鄰域有心鄰域設常數(shù)Δ0,則開區(qū)間X0?Δ,X0Δ就是點X0的一個Δ有心鄰域有心鄰域,簡稱鄰域鄰域,記為UX0,Δ,即UX0,Δ{X|X0?ΔXX0Δ}{X||X?X0|Δ}其中點X0稱為這個鄰域的中心中心,Δ稱為這個鄰域的半徑半徑.(2)(2)去心鄰域去心鄰域去掉中心的鄰域,稱為點X0的Δ去心鄰域去心鄰域,簡稱去心鄰域去心鄰域,記為U0X0,Δ,即U0X0,Δ{X|X0?ΔXX0Δ,X≠X0}{X|0|X?X0|Δ}{X|X0?Δ,X0∪X0,X0Δ}●若無須指明鄰域半徑而泛指某一個鄰域或去心鄰域時,鄰域可簡記為UX0或U0X0.(3)(3)半鄰域半鄰域有時只用到半個鄰域.稱U?X0,ΔX0?Δ,X0為點X0的左Δ鄰域鄰域;UX0,ΔX0,X0Δ為點X0的右Δ鄰域鄰域.(4)(4)有限區(qū)間與鄰域的關系有限區(qū)間與鄰域的關系有限區(qū)間和鄰域都可以表示某些有界實數(shù)集有界實數(shù)集,只是表示的方式不同.有限開區(qū)間是用構成某實數(shù)集中的兩個界點來表示該數(shù)集的,而鄰域是用鄰域中心和鄰域半徑來表示該實數(shù)集的,兩者是等價的;但去心鄰域不能被一個開區(qū)間來等價表示.鄰域著重的是與一點相鄰的開區(qū)間的表達,引進鄰域的概如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1,那么這兩個數(shù)“互質”,此兩數(shù)所表示的分數(shù)稱為“既約分數(shù)”或“最簡分數(shù)”由點X0左右對稱的開區(qū)間并集所構成.
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