函數(shù)模型應(yīng)用畢業(yè)論文--函數(shù)模型及其在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

1、<p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　函數(shù)模型及其在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用</p><p>　　Function Model and Its Application in</p><p>　　Solving the Practical Problems </p><p>　　姓 名：

2、 </p><p>　　學(xué) 號(hào)： </p><p>　　系 別： </p><p>　　專 業(yè)： </p><p>　　年 級(jí)： </p><p>　　指導(dǎo)教師： </p>&l

3、t;p><b>　　2012年1月4日</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　本文論述了數(shù)學(xué)模型的概念、函數(shù)模型及其解題步驟，并對(duì)中學(xué)常見(jiàn)的函數(shù)建模類型歸類分析，包括一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、三角函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型以及對(duì)數(shù)函數(shù)模型，同時(shí)針對(duì)建立函數(shù)模型提出幾點(diǎn)注意事項(xiàng)。 </p>

4、<p>　　關(guān)鍵詞：函數(shù)模型；實(shí)際問(wèn)題；應(yīng)用</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　This article discussed the concept of mathematical models and function model, as well as steps of solving problem in fu

5、nction model. Some common types in middle school were analyzed in this paper, including linear function model, quadratic objective function mode, trigonometric function model, exponential function model and logarithm fun

6、ctions model. At the same time, aiming at the construction of function model, some points for attention were put forward.</p><p>　　Keywords: function model; practical problems; application</p><p&g

7、t;<b>　　目 錄</b></p><p>　　中英文摘要………………………………………………………………………（I）</p><p>　　引言………………………………………………………………………………（1）</p><p>　　1函數(shù)模型………………………………………………………………………（1） </p><

8、;p>　　2應(yīng)用函數(shù)模型解題的步驟……………………………………………………（1）</p><p>　　2.1讀懂題意， 加深理解………………………………………………………（1）</p><p>　　2.2引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立函數(shù)模型……………………………………………（2）</p><p>　　2.3求解函數(shù)模型………………………………………………………………（2

9、）</p><p>　　2.4還原模型……………………………………………………………………（2）</p><p>　　3函數(shù)模型在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用………………………………………………（2）</p><p>　　3.1冪函數(shù)模型…………………………………………………………………（2）</p><p>　　3.1.1一次函數(shù)模型………………………

10、……………………………………（3）</p><p>　　3.1.2二次函數(shù)模型……………………………………………………………（4）</p><p>　　3.2三角函數(shù)模型………………………………………………………………（5）</p><p>　　3.3指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型…………………………………………………（7）</p><p>　　4注

11、意事項(xiàng)………………………………………………………………………（9）</p><p>　　結(jié)束語(yǔ)………………………………………………………………………… （10）</p><p>　　參考文獻(xiàn)……………………………………………………………………… （11）</p><p>　　致謝…………………………………………………………………………… （12）</p>

12、<p><b>　　引言</b></p><p>　　2001年，2003年相繼頒布了《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》，新課程標(biāo)準(zhǔn)下強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與人的發(fā)展和現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系，因此重視開(kāi)展數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)活動(dòng)是十分有必要的。數(shù)學(xué)模型的思想方法在真正意義上將“學(xué)數(shù)學(xué)”與“用數(shù)學(xué)”緊密結(jié)合在了一起，因而數(shù)學(xué)模型的思想方法在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中必然起著不

13、可替代的作用，它必定不可避免地成為解決問(wèn)題的“新武器”。</p><p>　　數(shù)學(xué)模型是近些年發(fā)展起來(lái)的新學(xué)科，隨著課改的深入開(kāi)展，實(shí)際情景問(wèn)題應(yīng)運(yùn)而生，并迅速發(fā)展成為命題的亮點(diǎn)、熱點(diǎn)。縱觀近幾年的中考題和高考題，不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用題的分?jǐn)?shù)比重加大了，這些應(yīng)用題多是圍繞數(shù)學(xué)建模，考察學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，其中不乏建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的題目。函數(shù)是中學(xué)最重要的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，因此建立函數(shù)模型的思想方法成為解題

14、的重要手段。本文就針對(duì)中學(xué)中建立函數(shù)模型這一思想方法以及它的實(shí)際應(yīng)用展開(kāi)討論。</p><p><b>　　1函數(shù)模型</b></p><p>　　現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型還沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的準(zhǔn)確的概念，不過(guò)可以給出如下定義：所謂數(shù)學(xué)模型就是研究者依據(jù)研究目的，將所研究的客觀事物的過(guò)程和現(xiàn)象的主要特征、主要關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括或近似地表達(dá)出來(lái)的一種結(jié)構(gòu)[1]。這里所說(shuō)的結(jié)

15、構(gòu)必須是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，也就是經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象后，保留下來(lái)的用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)字和數(shù)學(xué)概念等描述的純關(guān)系的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)。在一定意義上，數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象反映，它可能完整地反映了實(shí)際問(wèn)題，但也可能實(shí)際問(wèn)題中的某些部分在模型中表達(dá)不出來(lái)，此時(shí)數(shù)學(xué)模型近似地反映這些概括的特征?？梢?jiàn)，實(shí)際問(wèn)題是數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)原型，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，再在所得的模型上進(jìn)行邏輯推理、數(shù)學(xué)演算，得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)果，最后將得到的結(jié)果返回到實(shí)際問(wèn)題中去，形成

16、解答實(shí)際問(wèn)題的最終答案。</p><p>　　數(shù)學(xué)模型可以分為許多種，比如方程或不等式模型，平面幾何模型，空間幾何模型等等，其中函數(shù)模型是解決實(shí)際問(wèn)題非常重要的一種思想方法。</p><p>　　在中學(xué)數(shù)學(xué)中，函數(shù)占據(jù)著舉足輕重的地位。數(shù)學(xué)和生活是相通的，其中函數(shù)就是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的一種非常重要的模型。當(dāng)實(shí)際問(wèn)題中的事物存在某種聯(lián)系時(shí)，可以用某種關(guān)系將事物之間的這種聯(lián)系表示出來(lái)，

17、探索出來(lái)的這種關(guān)系往往是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的規(guī)律，而在數(shù)學(xué)中，所探索出來(lái)的數(shù)量關(guān)系或變化規(guī)律其實(shí)就是各種函數(shù)所構(gòu)成的函數(shù)模型[2]。因此，建立函數(shù)模型實(shí)際上就是將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系抽象為數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系，并確定變量的限制條件，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)模型，再通過(guò)對(duì)函數(shù)模型的研究，使實(shí)際問(wèn)題得以解決的一種過(guò)程。</p><p>　　2 應(yīng)用函數(shù)模型解題的步驟</p><p>　　在應(yīng)用函數(shù)模型解答實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一

18、般要按照以下幾步進(jìn)行：</p><p>　　2.1讀懂題意，加深理解</p><p>　　認(rèn)真審題，弄清實(shí)際問(wèn)題的基本情形，尤其要搞懂題目所涉及的一些實(shí)際問(wèn)題中的名詞術(shù)語(yǔ)，比如實(shí)際生活中的利率、利潤(rùn)、打折、保險(xiǎn)金、保險(xiǎn)費(fèi)、納稅率、折舊率等概念。在明白實(shí)際背景之后，要加深對(duì)問(wèn)題的理解，仔細(xì)分析問(wèn)題中對(duì)象的屬性、特征以及實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。</p><p>　　2.2

19、 引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立函數(shù)模型</p><p>　　舍去問(wèn)題中修飾的語(yǔ)句，提取有用的信息，明確所要研究的實(shí)際問(wèn)題中的關(guān)鍵性的對(duì)象和對(duì)象間關(guān)系，然后進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，并用有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、符號(hào)和表達(dá)式去刻畫(huà)對(duì)象及對(duì)象間的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型。</p><p><b>　　2.3求解函數(shù)模型</b></p><p>　　在所得函數(shù)模型的基礎(chǔ)上，

20、運(yùn)用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)的性質(zhì)或方程的觀點(diǎn)，如函數(shù)的單調(diào)性、最值定理等進(jìn)行邏輯推理、數(shù)學(xué)演算，得出相應(yīng)的結(jié)果。</p><p><b>　　2.4還原模型</b></p><p>　　對(duì)模型得出的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證或評(píng)估，再將結(jié)果返回到實(shí)際問(wèn)題中去，分析所得到的結(jié)果是否滿足現(xiàn)實(shí)原型，由于實(shí)際問(wèn)題可能存在條件的限定，所以必要時(shí)需要對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍，最后得到實(shí)際問(wèn)題的答案。</p&g

21、t;<p>　　用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟，可以用下圖進(jìn)行更直觀地表示：</p><p><b>　　圖1</b></p><p>　　3 函數(shù)模型在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的工具性知識(shí)之一，其涉及的內(nèi)容十分廣泛。在生產(chǎn)、生活實(shí)際中，有大量的實(shí)際問(wèn)題必須依賴函數(shù)模型加以解決，比如經(jīng)濟(jì)中的利潤(rùn)最值問(wèn)題

22、，生物中的細(xì)胞分裂問(wèn)題，測(cè)量問(wèn)題等。雖然這些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題都可以通過(guò)函數(shù)模型得以解決，但是具體問(wèn)題具體分析，不同的實(shí)際問(wèn)題，還是需要運(yùn)用不同的函數(shù)模型。下面具體分析各類函數(shù)模型在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。</p><p><b>　　3.1冪函數(shù)模型</b></p><p>　　冪函數(shù)模型是指一類通過(guò)冪函數(shù)建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型。形如的函數(shù)叫做冪函數(shù)。在氣象學(xué)、工程學(xué)等科學(xué)與生產(chǎn)實(shí)踐中

23、都蘊(yùn)含著冪函數(shù)關(guān)系，這是一種應(yīng)用十分廣泛的函數(shù)模型。隨著指數(shù)的不同，冪函數(shù)會(huì)表現(xiàn)出一些特殊的性質(zhì)，就中學(xué)階段而言，一次函數(shù)模型和二次函數(shù)模型是運(yùn)用得最多也是最重要的兩類冪函數(shù)模型。下面針對(duì)這兩類特殊的冪函數(shù)模型作具體介紹。</p><p>　　3.1.1一次函數(shù)模型</p><p>　　一次函數(shù)模型：能用一次函數(shù)表達(dá)的數(shù)學(xué)模型叫做一次函數(shù)模型。一次函數(shù)是中學(xué)階段一種重要的函數(shù)，它的解析式是

24、，由解析式可以發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)具有一些性質(zhì)：函數(shù)值的改變量與相應(yīng)自變量的改變量成正比，且比例為，所以當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減。近年來(lái)中考出現(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用設(shè)計(jì)題中的許多是通過(guò)構(gòu)建一次函數(shù)模型來(lái)解決的。</p><p>　　一次函數(shù)的解決題大致可以分為兩類：一類是以行程問(wèn)題為背景，考察路程與時(shí)間或速度在不同階段的函數(shù)關(guān)系，這類試題一般會(huì)給出路程--時(shí)間或路程--速度的函數(shù)圖象，需要考生數(shù)形結(jié)合，得

25、出函數(shù)解析式。另一類是決策問(wèn)題，探求最優(yōu)解。這類題目往往與方程、不等式（組）結(jié)合在一起，需要靈活運(yùn)用不等式（組）及一次函數(shù)的性質(zhì)，確定自變量的值，進(jìn)而對(duì)問(wèn)題作出合理決策。有關(guān)一次函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題的自變量的取值范圍總是隱藏在題目的條件中或需要用不等式來(lái)確定自變量的范圍，有關(guān)一次函數(shù)的應(yīng)用題知識(shí)面覆蓋比較大，包括一次函數(shù)的圖象、性質(zhì)、概念、解析式以及與方程、不等式結(jié)合建立一次函數(shù)模型。下面就以決策問(wèn)題為例，來(lái)說(shuō)明如何運(yùn)用一次函數(shù)模型解答實(shí)際問(wèn)

26、題。</p><p>　　例1 某服裝廠生產(chǎn)一種西裝和領(lǐng)帶，西裝每套定價(jià)200元，領(lǐng)帶每條定價(jià)40元，廠方在開(kāi)展促銷活動(dòng)期間，先后向客戶提供兩種優(yōu)惠方案:①買一套西裝送一條領(lǐng)帶；②西裝和領(lǐng)帶都按定價(jià)的90%付款，某商店老板現(xiàn)要購(gòu)買西裝20套，領(lǐng)帶條。請(qǐng)你幫老板制定最省錢(qián)的購(gòu)買方案[3]。</p><p>　　解析 這是一道結(jié)合實(shí)際設(shè)計(jì)的商品經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，其背景是所熟知的購(gòu)買問(wèn)題。由題可知，問(wèn)題

27、是要設(shè)計(jì)出最省錢(qián)的購(gòu)買方案，因此必須先要進(jìn)行購(gòu)買方案的設(shè)計(jì)，題目已經(jīng)給出了兩種優(yōu)惠方案①，②。但是要注意第③種方案的設(shè)計(jì)：同時(shí)選擇①，②兩種方案，具體說(shuō)就是先按照方案①購(gòu)買20套西裝，使免費(fèi)得到的領(lǐng)帶最多，再按方案②購(gòu)買余下的領(lǐng)帶。</p><p>　　根據(jù)三個(gè)方案，可以很容易地表示出購(gòu)買總價(jià)錢(qián)與購(gòu)買西裝、領(lǐng)帶之間的數(shù)量關(guān)系：</p><p>　　方案①需付費(fèi)為：20套西裝的總價(jià)錢(qián)+20條

28、以外的領(lǐng)帶的價(jià)錢(qián)，</p><p>　　方案②需付費(fèi)為：西裝和領(lǐng)帶的總價(jià)錢(qián)×90%；</p><p>　　方案③需付費(fèi)為：20套西裝的總價(jià)錢(qián)+20條以外的領(lǐng)帶的總價(jià)錢(qián)×90%。</p><p>　　到此就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這是一道建立一次函數(shù)模型解應(yīng)用題的題目。將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)，建立一次函數(shù)模型。</p><p>　　方案①

29、需付費(fèi)為：200×20+（-20）×40=（元）；</p><p>　　方案②需付費(fèi)為：（200×20+40）×0.9=36+3600（元）；</p><p>　　方案③需付費(fèi)為：200×20+（-20）×40×0.9=36+3280（元）。</p><p>　　接著根據(jù)三個(gè)一次函數(shù)，判斷當(dāng)自變量

30、（20）變化時(shí)，選擇什么方案最省錢(qián)。比較方案②和方案③，無(wú)論取何值3600+3636+3280恒成立。所以方案③比方案②更省錢(qián)。這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為了方案①與方案③的比較。設(shè)。當(dāng)時(shí)，可得，即當(dāng)時(shí)，方案③比方案①更省錢(qián)。</p><p>　　綜合上面的討論，可以得出結(jié)論：某商店老板要購(gòu)買西裝20套，領(lǐng)帶（）條時(shí)，選擇方案③最省錢(qián)。</p><p>　　總結(jié) 此題考查的知識(shí)點(diǎn)是一次函數(shù)模型的應(yīng)用。

31、解決問(wèn)題時(shí)要先讀懂題意，找到所求的量的等量關(guān)系，建立一次函數(shù)模型，然后根據(jù)自變量的變化范圍，通過(guò)不等式確定購(gòu)買方案。一般從實(shí)際生活中觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)間存在線性關(guān)系時(shí)，用一次函數(shù)加以解決。</p><p>　　3.1.2二次函數(shù)模型</p><p>　　二次函數(shù)模型即用二次函數(shù)表達(dá)的函數(shù)模型。二次函數(shù)的解析式有三種：一般式為；頂點(diǎn)式為，頂點(diǎn)為；交點(diǎn)式（與軸）為 。二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，具

32、有對(duì)稱性，并且這一函數(shù)在實(shí)數(shù)域上的單調(diào)性是有增有減的。運(yùn)用二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，是中考的熱點(diǎn)之一，例如求銷售利潤(rùn)的最值問(wèn)題、幾何圖形變換中建立函數(shù)關(guān)系式的問(wèn)題、以拋物線形為基礎(chǔ)的實(shí)際問(wèn)題都需要在實(shí)際的情景中去理解、分析所給的一系列數(shù)據(jù)，舍棄與解題無(wú)關(guān)的因素，建立數(shù)學(xué)模型。</p><p>　　有關(guān)二次函數(shù)的應(yīng)用題按照是否需要建立平面直角坐標(biāo)系可以分為兩類，一類不需要建立平面直角坐標(biāo)系，這類題目關(guān)鍵是要求

33、出二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的解析式分為頂點(diǎn)式，一般式和交點(diǎn)式，要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所給的條件選擇合適的解析式，接著只需運(yùn)用二次函數(shù)的主要性質(zhì) ,如單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、最值等，必要時(shí)結(jié)合二次函數(shù)圖形求解出函數(shù)模型。另一類就是必須建立平面直角坐標(biāo)系。這類題呈現(xiàn)的方式主要是以拋物線為基礎(chǔ)的實(shí)際問(wèn)題，如拱橋問(wèn)題，首先要將拱橋抽象為拋物線，然后結(jié)合實(shí)際問(wèn)題中的條件，建立坐標(biāo)系求出拋物線的解析式。平面直角坐標(biāo)系選擇的一般原則是使得出的二次函數(shù)的解析

34、式最簡(jiǎn)單，因此要學(xué)會(huì)巧妙地選擇直角坐標(biāo)系的位置。</p><p>　　綜上可知不管是哪類二次函數(shù)模型題最終都是通過(guò)二次函數(shù)解析式來(lái)解決問(wèn)題的。而且多數(shù)模型的答案與二次函數(shù)的頂點(diǎn)有關(guān)。下面就常見(jiàn)的籬笆圈地問(wèn)題談?wù)劷忸}思路和方法。</p><p>　　例2 如圖，要建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，如果用50 長(zhǎng)的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場(chǎng)，設(shè)它的長(zhǎng)度為 ，

35、 （1）要使雞場(chǎng)面積最大，雞場(chǎng)的長(zhǎng)度應(yīng)為多少？ （2）如果中間有（是大于1的整數(shù)）道籬笆隔墻，要使雞場(chǎng)面積最大，雞場(chǎng)的長(zhǎng)應(yīng)為多少？ 比較（1）（2）的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論[4]？</p><p>　　解析 這是中學(xué)常見(jiàn)的

36、面積最值問(wèn)題。問(wèn)題（1）是要確定矩形的長(zhǎng)，使矩形面積最大。根據(jù)矩形面積公式：矩形的面積=長(zhǎng)×寬，這樣就找到了本題的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量取值范圍，求面積的最大值?，F(xiàn)在關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)符號(hào)將這一函數(shù)模型表示出來(lái)。題中已設(shè)長(zhǎng)為，而長(zhǎng)的籬笆即圖形的周長(zhǎng)，由圖可以推出，矩形的寬可表示為（）。問(wèn)題（2）類似于問(wèn)題（1），只不過(guò)在求長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的寬時(shí)要記得50長(zhǎng)的籬笆包括雞場(chǎng)的長(zhǎng)和條寬，因此此時(shí)長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的寬表示為，完整解題如下

37、:</p><p><b>　　解 （1）依題意得</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　即雞場(chǎng)的長(zhǎng)為25時(shí)，雞場(chǎng)的面積達(dá)到最大，為</p><p><b>　　（2）依題意得</b></p><p><b>　　

38、∴</b></p><p>　　結(jié)論 由（1）（2）兩個(gè)問(wèn)題可以看出，無(wú)論雞場(chǎng)中間有多少道籬笆隔墻，要使雞場(chǎng)面積達(dá)到最大，長(zhǎng)都要是25．</p><p>　　總結(jié) 利用二次函數(shù)可以解決實(shí)際生活中的許多求最大或最小值的問(wèn)題。此題借助二次函數(shù)，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，從而解決面積最值問(wèn)題．所以在處理相關(guān)圖形面積最值問(wèn)題時(shí)，一般是利用圖形的面積公式，找出函數(shù)關(guān)系，建立模型，此時(shí)十分重要也是極易

39、遺忘的是考慮自變量的取值范圍，最后在自變量的取值范圍內(nèi)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)、圖像等求出函數(shù)最值。二次函數(shù)模型應(yīng)用十分廣泛，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，二次函數(shù)模型經(jīng)常是在解決用料最省、造價(jià)（成本）最低、利潤(rùn)最大、物價(jià)、產(chǎn)量等問(wèn)題時(shí)建立起來(lái)的。</p><p><b>　　3.2三角函數(shù)模型</b></p><p>　　能夠用三角函數(shù)表達(dá)的數(shù)學(xué)模型即三角函數(shù)模型。比如正弦函數(shù)的解析式可表示

40、為，其余五個(gè)三角函數(shù)的解析式與正弦函數(shù)類似。三角函數(shù)最顯著的性質(zhì)就是周期性和對(duì)稱性，因此三角函數(shù)模型通常是用來(lái)描述客觀世界中具有周期性變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科領(lǐng)域中，三角函數(shù)模型具有非常廣泛的應(yīng)用,它是高中數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識(shí)之一。</p><p>　　將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，常見(jiàn)的形式有：求出三角函數(shù)的解析式；畫(huà)出三角函數(shù)的圖像以及利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題。這類題型常常與航海、

41、測(cè)量角度、擺動(dòng)、振動(dòng)等問(wèn)題聯(lián)系在一起，也會(huì)涉及一些幾何圖形，題中常會(huì)出現(xiàn)坡度、仰角、俯角、視角、方向角和方位角等術(shù)語(yǔ)。解三角函數(shù)模型常出現(xiàn)的情形是：實(shí)際問(wèn)題抽象后，已知量與未知量集中在一個(gè)、兩個(gè)甚至幾個(gè)三角形中，再使用正弦定理、余弦定理或三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)如周期性、最值、單調(diào)性、對(duì)稱性等解題。為了解題方便，應(yīng)盡量將已知或未知量集中在一個(gè)三角形中，而且通常設(shè)角為變量，之后再建立解三角形的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)然三角函數(shù)模型并不是只局限于以角為自變量

42、，生活中許多實(shí)際問(wèn)題中的事物之間也存在三角函數(shù)關(guān)系，這時(shí)就需要利用三角函數(shù)模型才能得以解決。下面以一個(gè)具體實(shí)例來(lái)體現(xiàn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用。</p><p>　　例3 某一房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商買了一塊地，地形如圖所示AOB,近似如扇形，已知扇形AOB的半徑約為R，中心角∠AOB約為60度，現(xiàn)在開(kāi)發(fā)商準(zhǔn)備把此地建設(shè)成為一個(gè)矩形的小區(qū)，即圖中的EFGH，為了充分地利用土地，請(qǐng)問(wèn)F選在什么位置時(shí)，矩形EFGH的面積最大，并求出這個(gè)

43、最大值[5] 。</p><p>　　解析 本題通過(guò)開(kāi)發(fā)商建小區(qū)這個(gè)背景引入數(shù)學(xué)扇形、矩形、中心角等術(shù)語(yǔ)，可見(jiàn)這又是一道結(jié)合實(shí)際求矩形面積最值的問(wèn)題，因此很自然立刻想到應(yīng)該要構(gòu)造矩形的面積函數(shù)，那么如何選擇自變量才便于表達(dá)矩形的面積成了解決本道題的關(guān)鍵。同樣是有關(guān)面積最值題目，本題不同于例2，如果仍以長(zhǎng)或?qū)挒樽宰兞渴菬o(wú)法解決問(wèn)題的。其實(shí)題目中的“中心角60度”已在暗示本題可能要用到三角函數(shù)。為了更直觀地理解題意

44、，本題需要結(jié)合圖形，如圖，可以很清楚發(fā)現(xiàn)連結(jié)OF可以構(gòu)造出直角三角形，直角三角形是中學(xué)作用非常大的圖形之一，本題就可以通過(guò)設(shè)角為自變量，用角表示出邊，進(jìn)而表示出矩形的面積函數(shù)。具體解答過(guò)程如下：</p><p>　　解 如圖，連結(jié)OF，設(shè)，則在中，</p><p><b>　　在中，</b></p><p><b>　　∴</b

45、></p><p><b>　　由正弦定理可知，</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　又設(shè)矩形EFGH的面積為S，那么</p><p><b>　　又∵，∴</b></p><p><b>　　由余弦函數(shù)圖

46、像可知</b></p><p><b>　　∴當(dāng)，即時(shí)，</b></p><p>　　∴矩形EFGH面積最大時(shí)，F(xiàn)為弧AB的中點(diǎn)，最大面積為</p><p>　　總結(jié) 本題設(shè)角為變量，列出了一個(gè)關(guān)于正弦的三角函數(shù)，再通過(guò)和角公式、差角公式、正余弦有界定理等三角知識(shí)求出最值。簡(jiǎn)而言之就是研究面積與角之間的函數(shù)關(guān)系，建立三角函數(shù)模型。由

47、本道題可以發(fā)現(xiàn)，在解答有關(guān)三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)盡量設(shè)角為自變量，并盡可能構(gòu)造直角三角形，比如添加輔助線，甚至直接作高線，因?yàn)橹苯侨切问禽^為熟知的幾何圖形，直角三角形特殊的性質(zhì)可以使邊角關(guān)系很容易地找出，從而構(gòu)造出應(yīng)變量與自變量之間的函數(shù)關(guān)系，最終建立三角函數(shù)模型。其次，有時(shí)建立三角函數(shù)模型圖形是必不可少的工具，圖形的直觀性會(huì)讓解題者更快地找出邊角關(guān)系。</p><p>　　3.3指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型</p

48、><p>　　在數(shù)學(xué)中指數(shù)函數(shù)模型是指一類能用指數(shù)函數(shù)表達(dá)的數(shù)學(xué)模型，形如的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。類似地，對(duì)數(shù)函數(shù)模型：指能用對(duì)數(shù)函數(shù)表達(dá)的函數(shù)模型，形如的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)。由于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，在這里不妨將兩者放在一起討論?？紤]底數(shù)時(shí)的情況：指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)是隨著自變量的增大函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快，而對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)恰恰相反，它隨著自變量的增大，函數(shù)值增加的速度越來(lái)越小[6]。對(duì)應(yīng)地，當(dāng)時(shí)，也可以得出

49、相似的結(jié)論，只不過(guò)此時(shí)兩個(gè)函數(shù)都是單調(diào)遞減的。在一定程度上指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)是具有相似性的，但是相似之中又存在某些差異，致使二者在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用也有所區(qū)別。</p><p>　　由于指數(shù)函數(shù)這種爆炸性增長(zhǎng)方式的特點(diǎn)，使得指數(shù)函數(shù)模型多適用于細(xì)胞分裂、人口增長(zhǎng)、銀行利潤(rùn)增長(zhǎng)、銀行儲(chǔ)蓄等經(jīng)濟(jì)生活和社會(huì)生活問(wèn)題中。而對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)方式常被形象地稱為能量漸失，因此在價(jià)格與利潤(rùn)，收入與成本、人口等生產(chǎn)、生活及航天等領(lǐng)域?qū)?/p>

50、數(shù)函數(shù)模型有著比較廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　有關(guān)這兩個(gè)函數(shù)模型構(gòu)造的應(yīng)用題中，題型一般可以分為給定函數(shù)模型和不給定函數(shù)模型這兩類。如果是給定函數(shù)模型的題目難度一般不是很大，只需能夠應(yīng)用這兩種函數(shù)的性質(zhì)，套用相關(guān)公式，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定量分析就行了。如果是不給定函數(shù)模型的題目，比如以下給出的例4，就需要先建立相關(guān)函數(shù)模型。在建立函數(shù)模型方面，有的可以通過(guò)分步驟找規(guī)律得出函數(shù)關(guān)系式，有的則須通過(guò)題目所給數(shù)據(jù)進(jìn)行繪制

51、部分函數(shù)圖象，由圖象的直觀性以及已知的熟悉的函數(shù)圖象來(lái)猜測(cè)可能是哪種函數(shù)模型，比如處理人口問(wèn)題時(shí)，就必須先根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)繪出部分圖像，看看類似于學(xué)過(guò)的哪種函數(shù)的圖像，將可能的這幾種函數(shù)進(jìn)行誤差比較，最后確定出具體的誤差最小的那個(gè)函數(shù)。要注意的是建立的函數(shù)模型與實(shí)際數(shù)據(jù)可能還會(huì)有一點(diǎn)點(diǎn)誤差，但這是不可避免的，這樣的模型稱之為近似模型。</p><p>　　例4 有按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，設(shè)本金為1000元，每

52、期利率為2.25%。不計(jì)利息稅。</p><p>　?。?）計(jì)算10期后的本利和是多少？</p><p>　　（2）計(jì)算存款幾期后本利和超過(guò)2000元？</p><p>　　解析 這是一道以銀行儲(chǔ)蓄為背景的應(yīng)用題，涉及到建立指數(shù)函數(shù)模型，但要馬上建立起指數(shù)函數(shù)模型難度還是相當(dāng)大的，不妨先分析下題目：現(xiàn)有本金1000元，要求10期后的本利和，這里就又涉及到“復(fù)利”、“

53、本利和”、“利息”等專業(yè)術(shù)語(yǔ)。要知道利息=本金利率，本利和=本金+利息，接著可以先試著考慮1、2、3期后的本利和，看看有什么規(guī)律。至于第（2）題顯然與第（1）聯(lián)系，因此關(guān)鍵解決第（1）問(wèn)。</p><p>　　解 （1）1期后的本利和為 2期后的本利和為</p><p><b>　　3期后的本利和為</b></p><p>　　設(shè)本利和為y，

54、存期為，由前面3期的本利和變化規(guī)律可以推斷，如此不斷進(jìn)行下去，本利和與存期之間的函數(shù)關(guān)系為。這樣分步驟就能很容易理解最終的本利和的函數(shù)式是怎么得到的。</p><p>　　那么10期后的本利和，即當(dāng)時(shí)，，所以10期后的本利和約為元。</p><p>　?。?）第二題求幾期后本利和超過(guò)2000元，根據(jù)第一題已得出的指數(shù)模型：本利和與存期之間的函數(shù)關(guān)系為可知，第二問(wèn)所要求的恰好對(duì)應(yīng)于指數(shù)函數(shù)中

55、的，那么只要反解出即可得到第二問(wèn)的函數(shù)關(guān)系。又由于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，所以本問(wèn)題的解題思路其實(shí)就是由第一問(wèn)得到的指數(shù)函數(shù)模型建立出第二問(wèn)的對(duì)數(shù)函數(shù)模型，即存期與本利和之間的函數(shù)關(guān)系為。</p><p>　　需要解決的問(wèn)題是存款幾期后本利和超過(guò)2000元，可以先求出當(dāng)時(shí)的理論值，代入可得，結(jié)合實(shí)際意義，存期為整數(shù)，再依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時(shí)為嚴(yán)格單調(diào)遞增的，所以存款32期后本息和才會(huì)超過(guò)2000元。<

56、;/p><p>　　總結(jié) 本題是以復(fù)利儲(chǔ)蓄為實(shí)際背景的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，要解答本道題需要先建立指數(shù)函數(shù)模型，為此，必不可少的步驟是進(jìn)行列舉前幾期本利和，從而找出本利和與存期之間的函數(shù)關(guān)系。一旦構(gòu)造出指數(shù)函數(shù)模型，那么后面的問(wèn)題只需運(yùn)用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)就可以迎刃而解了。</p><p><b>　　4 注意事項(xiàng)</b></p><p>　　函

57、數(shù)模型方法近年來(lái)方興未艾 ,成為許多領(lǐng)域應(yīng)用數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)世界的最有效工具之一。用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題這部分內(nèi)容，非常注重貼近實(shí)際生活，實(shí)際生活中的問(wèn)題是復(fù)雜多變的，因此實(shí)際情景問(wèn)題取材是十分廣泛的，這些實(shí)際背景一般為學(xué)生所熟悉或是某些社會(huì)熱點(diǎn)，如商品經(jīng)濟(jì)，環(huán)保問(wèn)題，工程問(wèn)題等，在這些情景中摻雜著一些數(shù)學(xué)知識(shí)。隨著新課程改革的進(jìn)一步深入，實(shí)際情景問(wèn)題可以說(shuō)已經(jīng)成為必考題，這些題型要求學(xué)生對(duì)一些實(shí)際例子做出判斷、決策，建立相應(yīng)的函數(shù)模型，而建立

58、函數(shù)模型是解決這一類實(shí)際情景問(wèn)題的關(guān)鍵所在，同時(shí)也是考生解題的難中之難，因此要建立正確的函數(shù)模型，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：</p><p><b>　　（1）耐心讀題</b></p><p>　　實(shí)際情景問(wèn)題是以一定的實(shí)際背景呈現(xiàn)的題目，需要綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)加以靈活處理。因此這類題目一般需要用較長(zhǎng)的字符來(lái)描述這一背景，很多考生看到如此長(zhǎng)的題目馬上就潛意識(shí)進(jìn)入一個(gè)解題誤區(qū):認(rèn)定

59、篇幅長(zhǎng)的題目就是難題。這樣一下子信心就全沒(méi)了，以至于題目還沒(méi)讀就已經(jīng)放棄，這是解答實(shí)際背景題的一大弊??！純粹的數(shù)學(xué)式的題目與實(shí)際情景問(wèn)題相比，相信大部分學(xué)生更有欲望去解答前者的題目，畢竟似乎前者還有數(shù)學(xué)的味道，而后者卻讓他們無(wú)從下手。但是必須強(qiáng)調(diào)的是題目長(zhǎng)并不代表題目難，題目越長(zhǎng)意味著提供的信息越多，這對(duì)解題應(yīng)該是十分有利的，同時(shí)實(shí)際情景問(wèn)題需要以一定的背景為基礎(chǔ)，自然數(shù)據(jù)、文字會(huì)比較多，所以解題的第一步必是不要放棄看題！</p&

60、gt;<p><b>　　（2）正確分析題意</b></p><p>　　蘊(yùn)含函數(shù)模型思想的題目能較好地考查學(xué)生的綜合能力，解題的方法是細(xì)致分析題目，準(zhǔn)確理解題意。要正確解答一道數(shù)學(xué)題，前提是正確理解題目，這就要求學(xué)生通覽全題后，能夠說(shuō)出題目的要素、條件，解釋句子甚至形成解題輪廓。對(duì)于需要建立函數(shù)模型解答的題目，讀懂題意是十分關(guān)鍵的，因?yàn)檫@類問(wèn)題貼近生活實(shí)際，新穎獨(dú)特，知識(shí)覆蓋

61、面廣，自然不可避免涉及一些名詞術(shù)語(yǔ)，包括經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)、物理等方面的。比如銀行存款的實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)涉及“利息”、“本金”、“利率”等術(shù)語(yǔ)，就需要考生知道“利息=本金×利率”。很多考生由于對(duì)生活中的一些名詞術(shù)語(yǔ)感到生疏，以至于不知題目所云。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，所以要克服名詞術(shù)語(yǔ)的障礙，需要學(xué)生多關(guān)注生活，開(kāi)拓知識(shí)面。</p><p>　　（3）注意實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)化</p><p>　

62、　要運(yùn)用函數(shù)模型解題的實(shí)際應(yīng)用題不僅數(shù)據(jù)、變量符號(hào)都比較多，而且這些數(shù)據(jù)、變量、數(shù)量關(guān)系都隱蔽在“生活實(shí)際”中。函數(shù)，形式簡(jiǎn)練但十分抽象，要將這些普通的語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，提取數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型是解答函數(shù)模型類實(shí)際情景問(wèn)題的困難環(huán)節(jié)。因此在平時(shí)學(xué)習(xí)和日常生活中，應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的練習(xí)，提高數(shù)感、符號(hào)感。對(duì)于一個(gè)具體的函數(shù)建模題目，首先應(yīng)判斷這個(gè)實(shí)際問(wèn)題與哪塊函數(shù)知識(shí)有關(guān)，這就要考驗(yàn)學(xué)生的知識(shí)功底以及做題的熟練程度。在平時(shí)的練習(xí)中

63、，應(yīng)善于將各類函數(shù)模型的題型歸納分類，這樣當(dāng)面對(duì)新題目時(shí)能更快地找到正確的思路建立正確的函數(shù)模型。建立模型時(shí)要注意自變量的選擇，一個(gè)函數(shù)關(guān)系可能有多種自變量的選擇，但是不同的自變量可能建立起繁簡(jiǎn)程度不同的函數(shù)式，所以選擇合適的自變量，盡量讓函數(shù)關(guān)系簡(jiǎn)單化。模型一旦建立起來(lái)，接下來(lái)關(guān)鍵的就是解模，解模時(shí)一定要注意自變量的范圍。在沒(méi)有實(shí)際背景下地函數(shù)模型自變量的范圍一般會(huì)比較不受限制，可是這是一道情景設(shè)計(jì)問(wèn)題，實(shí)際不會(huì)像理論那么理想，因此定

64、義域可能會(huì)受到一定的限制，甚至值域也會(huì)受到限制，因此將結(jié)果返回實(shí)際問(wèn)題中時(shí)，必須慎重檢查?！?結(jié)束語(yǔ)</p><p>　　用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，就是要把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后分析其中的已知量、未知量以及等量關(guān)系，由此列出函數(shù)關(guān)系建立相應(yīng)的函數(shù)模型，通過(guò)推理演算并反復(fù)檢驗(yàn)得出合理的解，最后將所得結(jié)果返回到實(shí)際問(wèn)題中，使這個(gè)結(jié)果在實(shí)際問(wèn)題中能得到合理的解釋，從而解決了實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力

65、的重要途徑，是數(shù)學(xué)教育改革發(fā)展的方向。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)講究學(xué)習(xí)方法，在生活中應(yīng)培養(yǎng)自覺(jué)地?cái)?shù)學(xué)化意識(shí)，有意識(shí)地善于將生活語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語(yǔ)言。函數(shù)建模是一種解決實(shí)際問(wèn)題非常實(shí)用的思想方法，現(xiàn)在函數(shù)模型已經(jīng)廣泛應(yīng)用于生活的方方面面，如投資買賣、銀行儲(chǔ)蓄、股票、測(cè)量、乘車、運(yùn)動(dòng)等。在學(xué)科運(yùn)用方面，函數(shù)模型又與生物、物理、化學(xué)、美學(xué)等掛鉤，是許多學(xué)科必要的基礎(chǔ)知識(shí)，尤其隨著現(xiàn)在計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，函數(shù)模型的作用與日俱增。在數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域隨處可見(jiàn)數(shù)學(xué)模

66、型的影子，而函數(shù)模型是數(shù)學(xué)模型重要分類之一，在將來(lái)的應(yīng)用中，函數(shù)模型一定會(huì)有更廣闊的應(yīng)用，因此應(yīng)重視函數(shù)模型的開(kāi)發(fā)與利用。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1]錢(qián)珮玲.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1999：56-57.</p><p>　　[2]樊艷梅.函數(shù)--一種實(shí)用的模型 [

67、J].珠海城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2010（2）:68-69.</p><p>　　[3]于志洪.構(gòu)建一次函數(shù)模型解方案設(shè)計(jì)題[J].中學(xué)課程輔導(dǎo),2006（7）:18-19.</p><p>　　[4]肖斌.構(gòu)造二次函數(shù)模型解應(yīng)用問(wèn)題[J].中學(xué)生理科月刊,2000(10):17-18.</p><p>　　[5]丁旭生.三角函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題賞析[J].數(shù)學(xué)愛(ài)好者,2

68、007(1):48-49.</p><p>　　[6]胡大波.函數(shù)的模型及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)的解讀[J].中學(xué)生數(shù)理化,2011(9):4-5.</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　在我的論文的選題、開(kāi)題到成文全過(guò)程，得到導(dǎo)師xx老師的悉心指導(dǎo)，特此感謝，同時(shí)也非常感謝數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系的全體任課教師給予我的支持和幫助。<