自動控制原理課程設計——倒立擺系統的控制器設計

1、<p>　　自動控制理論課程設計</p><p>　　倒立擺系統的控制器設計</p><p><b>　　學生姓名： </b></p><p><b>　　指導教師： </b></p><p>　　班 級： 自動化7班</p><p><b>　　

2、二O一三年一月</b></p><p><b>　　課程設計任務書</b></p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　引言6</b></p><p><b>　　1 數學建模7</b></p>

3、<p>　　1.1直線一級倒立擺數學模型概述7</p><p>　　1.2直線一級倒立擺的物理模型7</p><p>　　1.3系統實際模型9</p><p>　　2 開環(huán)響應分析10</p><p>　　3 根軌跡法設計11</p><p>　　3.1原系統的根軌跡分析11</p>

4、<p>　　3.2根軌跡校正12</p><p>　　3.2.1確定期望閉環(huán)零極點12</p><p>　　3.2.2設計控制器13</p><p>　　3.2 Simulink仿真18</p><p>　　4 頻率特性法18</p><p>　　4.1 頻率響應分析18</p>

5、<p>　　4.2 頻率響應設計20</p><p>　　4.3 Simulink仿真24</p><p>　　5 PID控制分析25</p><p><b>　　6 總結26</b></p><p><b>　　參考文獻：26</b></p><p>

6、<b>　　引言</b></p><p>　　隨著科學技術的迅速發(fā)展，新的控制方法不斷出現，倒立擺系統作為檢驗新的控制理論及方法有效性的重要實驗手段得到廣泛研究。倒立擺控制系統是一個典型的非線性、強耦合、多變量和不穩(wěn)定系統，作為控制系統的被控對象，許多抽象的控制概念都可以通過倒立擺直觀地表現出來。倒立擺的控制問題就是使擺桿盡快地達到一個平衡位置，并且使之沒有大的振蕩和過大的角度和速度。當擺桿

7、到達期望的位置后，系統能客服隨機擾動而保持穩(wěn)定的位置。通過對倒立擺的控制，用來檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力。</p><p>　　其控制方法在軍工、航天、機器人和一般工業(yè)過程領域中都有著廣泛的用途，如機器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)生中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等。倒立擺系統按擺桿數量的不同，可分為一級，二級，三級倒立擺等，多級擺的擺桿之間屬于自由連接（即無電動機或其他驅動

8、設備）。按照倒立擺的結構類型可以分為：懸掛式、直線、環(huán)形、平面倒立擺等。本設計是以直線一級倒立擺為被控對象來進行設計的。通過對直線一級倒立擺系統的研究，不僅可以輕松解決控制中的理論問題，還能將控制理論所涉及的三個基礎學科：力學、數學和電學（含計算機）有機的結合起來，在倒立擺系統中進行綜合應用。</p><p>　　倒立擺系統的控制策略和雜技運動員頂桿平衡表演的技巧有異曲同工之處，極富趣味性，而且許多抽象的控制理論

9、概念如系統穩(wěn)定性、可控性和系統抗干擾能力等等，都可以通過倒立擺系統實驗直觀的表現出來。學習自動控制理論的學生通過倒立擺系統實驗來驗證所學的控制理論和算法。</p><p><b>　　1 數學建模</b></p><p>　　1.1直線一級倒立擺數學模型概述</p><p>　　直線一級倒立擺由直線運動模塊和一級擺體組件組成，是最常見的倒立擺之

10、一。系統的建?？煞譃閮煞N：機理建模和實驗建模。機理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎上，通過物理、化學等學科的知識和數學手段建立起系統內部變量、輸入變量以及輸出變量之間的數學關系。而實驗建模是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應用數學手段建立起系統的輸入－輸出關系。對于倒立擺系統，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統，實驗建模存在一定的困難。因此，本文采用機理模型對直線一級倒立擺進

11、行建模分析。</p><p>　　1.2直線一級倒立擺的物理模型</p><p>　　若忽略空氣阻力和各種摩擦力，可將直線一級倒立擺系統抽象成小車和勻質桿組成的系統，其受力情況如圖1所示。</p><p><b>　　圖1</b></p><p>　　若將小車和擺桿分別進行受力分析，則可得到兩者的受力分析圖，如圖2和圖3

12、所示。根據牛頓力學，建立起小車和擺桿的運動方程，進而得到小車各種傳遞函數。</p><p>　　圖2（小車受力分析）</p><p>　　圖3（擺桿受力分析）</p><p>　　表<一> 倒立擺數學模型符號說明</p><p><b>　　1）對于小車</b></p><p>　　

13、小車水平方向的合力 </p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　擺桿水平方向的合力 </p><p><b>　?。?

14、-2）</b></p><p>　　擺桿水平方向的運動方程 </p><p><b>　?。?-3）</b></p><p><b>　　2)對于擺桿</b></p><p><b>　　擺

15、桿力矩平衡方程</b></p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　?。ㄗⅲ阂驗?，所以等式前面有負號）</p><p><b>　　擺桿垂直方向的合力</b></p><p><b>　　（1-5）</b></p><p&g

16、t;　　擺桿垂直方向的運動方程</p><p><b>　?。?-6）</b></p><p><b>　　水平方向的運動方程</b></p><p><b>　?。?-7）</b></p><p><b>　　垂直方向的運動方程</b></p>

17、;<p><b>　?。?-8）</b></p><p>　　用u來代表被控對象的輸入力F，線性化后，兩個運動方程如下（其中 ）：</p><p><b>　?。?-9）</b></p><p><b>　?。?-10）</b></p><p>　

18、　擺桿角度和小車位移的傳遞函數：</p><p><b>　　（1-11）</b></p><p>　　擺桿角度和小車加速之間的傳遞函數：</p><p><b>　?。?-12）</b></p><p>　　擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數：</p><p><

19、b>　　（1-13）</b></p><p>　　其中 （1-14）</p><p><b>　　1.3系統實際模型</b></p><p>　　將表一中的實際參數代入，可得到系統的實際模型：</p&

20、gt;<p>　　擺桿角度對于小車位移的傳遞函數：</p><p><b>　?。?-15）</b></p><p>　　擺桿角度對于小車加速度的傳遞函數：</p><p><b>　?。?-16）</b></p><p>　　擺桿角度對于小車所受外界作用力的傳遞函數：</p&g

21、t;<p><b>　?。?-17）</b></p><p>　　小車位移對于小車加速度的傳遞函數： （1-18）</p><p><b>　　2 開環(huán)響應分析</b></p><p>　　數學模型建立好之后，我們得到擺桿角度對于小車加速度的傳遞函數式（1-16）和小

22、車位移對于小車加速度的傳遞函數式（1-18）。當輸入為小車加速度時，利用Matlab的Simulink仿真工具進行仿真，可得到原系統的開環(huán)傳遞階躍響應曲線和脈沖響應曲線。</p><p>　　仿真系統的結構如圖4</p><p><b>　　圖4</b></p><p><b>　　響應曲線如下：</b></p>

23、;<p>　　圖5 小車位置階躍響應 圖6 小車位置脈沖響應</p><p>　　圖7 擺桿角度階躍響應 圖8 擺桿角度脈沖響應</p><p>　　從以上4幅響應曲線可知，當輸入為小車加速度時，擺桿角度和小車位置的階躍響應和脈沖響應都是發(fā)散的，系統是不穩(wěn)定的。下面對以小車加速度為輸入，以擺桿角度為輸出的系統，對開環(huán)

24、傳遞函數設計校正裝置，使系統穩(wěn)定并具有符合條件的良好的性能指標。</p><p><b>　　3 根軌跡法設計</b></p><p>　　3.1原系統的根軌跡分析</p><p>　　根據傳遞函數式（1-16） 利用Matlab得到原系統</p><p>　　的根軌跡

25、如圖9。兩個極點為p1=5.1136，p2=-5.1136，無零點。Matlab編程如下：</p><p>　　>> s=tf('s');</p><p>　　>> G0=0.02725/(0.0102125*s^2-0.26705);</p><p>　　>> rlocus(G0)</p><

26、p><b>　　圖9</b></p><p>　　從根軌跡上可看到，有一條根軌跡起始于右半平面的極點，兩條根軌跡沿著虛軸向無限遠處延伸，即無論增益如何變化，系統都不穩(wěn)定。我們必須增加控制器對其進行校正。</p><p><b>　　3.2根軌跡校正</b></p><p>　　設計控制器，使得校正后系統的性能指標滿足

27、</p><p><b>　　最大超調量</b></p><p><b>　　調節(jié)時間</b></p><p>　　3.2.1確定期望閉環(huán)零極點</p><p>　　由傳遞函數式（1-16）可知，原系統是二階振蕩系統，根據系統的性能指標要求，令=0.1，由超調量：</p><p&

28、gt;<b>　?。?-1）</b></p><p>　　得到=0.591155，取≈0.6</p><p><b>　　由=可得，°</b></p><p><b>　　又由調節(jié)時間：</b></p><p>　　=0.5s（△=±2%）

29、 （3-2）</p><p>　　將=0.6代入式（3-2）得到=15</p><p>　　特征根為s1,2= （3-3）</p><p>　　將=0.6，=15代入式（3-3）得到期望主導極點s1,2 =-9±12j</p><p&

30、gt;　　3.2.2設計控制器</p><p>　　從圖9根軌跡中可知，根軌跡并不通期望主導極點s1和s2，因此需要對系統進行超前校正，設控制器為：</p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　根據對系統動態(tài)性能要求確定了一對期望的閉環(huán)共軛附屬主導極點s1和s2，現取S1，如圖10所示。引用串聯校正裝置后，由于sd在根軌

31、跡上，所以應當滿足相角條件，即</p><p><b>　?。?-5）</b></p><p><b>　　圖10</b></p><p><b>　　根據正弦定理有</b></p><p><b>　?。?-6）</b></p><p

32、><b>　　（3-7）</b></p><p><b>　?。?-8）</b></p><p><b>　　=67.58°</b></p><p>　　根據最大α法，=29.645° （3-9）</p>

33、<p>　　代入式（3-6）及式（3-7）得</p><p>　　=7.47875 (3-10)</p><p>　　=30.08524 （3-11）</p><p>　　校正后的系統的開環(huán)傳遞函數為：</p><p>　　根據幅值條件||=1

34、，可得到K=175.643</p><p><b>　　則得到控制器為</b></p><p>　　將控制器裝入原系統，我們可以得到校正后系統的根軌跡如圖11：</p><p><b>　　clear;</b></p><p>　　num=[0.02725]; </p><p&g

35、t;　　den=[0.0102125 0 -0.26705]; </p><p>　　numlead=-7.47875; </p><p>　　denlead=-30.08524; </p><p>　　[Z,P,K]=tf2zp(num,den);</p><p>　　Za=[Z;numlead]; </p><p>

36、;　　Pa=[P;denlead]; </p><p>　　[num2,den2]=zp2tf(Za,Pa,K);</p><p>　　sys=tf(num2,den2);</p><p>　　rlocus(sys)</p><p><b>　　圖11</b></p><p>　　KK=175.6

37、43;</p><p>　　sys2=zpk(Za,Pa,KK*K);</p><p>　　sysc=sys2/(1+sys2);</p><p>　　t=0:0.005:5;</p><p>　　step(sysc,t)</p><p>　　得到響應曲線，如圖12</p><p><b&

38、gt;　　圖12</b></p><p>　　從圖12可以看到，系統穩(wěn)定性較好，響應速度快，但超調量較大。因此對控制器進行進一步的改進。將增加的這一對零極點左移，以減少閉環(huán)零點和極點的影響，經過多次嘗試，找到零點為-8和極點為-50，增益為500時，系統有較好的性能指標。響應曲線如圖13，根軌跡如圖14。</p><p><b>　　圖13</b><

39、/p><p><b>　　圖14</b></p><p>　　由圖14的響應曲線可看到，校正后的系統能在0.5秒內穩(wěn)定，具有很好的穩(wěn)定性，并且超調量有大大的減小，平穩(wěn)性增強。</p><p>　　3.2 Simulink仿真</p><p><b>　　建立仿真模型如下：</b></p>

40、<p><b>　　圖15</b></p><p><b>　　仿真結果如下：</b></p><p><b>　　圖16</b></p><p>　　由圖16可看到，系統的超調量較小，調節(jié)時間短，性能指標較好，系統校正成功。</p><p><b>　　4

41、 頻率特性法</b></p><p>　　4.1 頻率響應分析</p><p>　　經過前面的模型建立，得到實際系統的開環(huán)傳遞函數為：</p><p>　　其中輸入為小車的加速度V (s)，輸出為擺桿的角度Φ(s)。</p><p><b>　　題目要求：</b></p><p>　　

42、利用頻率特性法設計控制器，使得校正后系統的性能指標滿足：</p><p>　　(1)系統的靜態(tài)位置誤差常數為10；</p><p>　　(2)相位裕量為 50；</p><p>　　(3)增益裕量等于或大于10 分貝。</p><p>　　利用 MATLAB 繪制系統的Bode 圖（圖17）和奈奎斯特圖（圖18）。</p>&l

43、t;p>　　>> s=tf('s');</p><p>　　>> G0=0.02725/(0.0102125*s^2-0.26705);</p><p>　　>> figure;margin(G0);</p><p>　　>> grid on</p><p><b&g

44、t;　　圖17</b></p><p><b>　　圖18</b></p><p>　　由圖18可以看出，系統沒有零點，但存在兩個極點，其中一個極點位于右半平面。根據奈奎斯特穩(wěn)定判據可知系統不穩(wěn)定，需要設計控制器來校正系統。</p><p>　　4.2 頻率響應設計</p><p>　　直線一級倒立擺的頻率響

45、應設計可以表示為如下問題：</p><p>　　考慮一個單位負反饋系統，其開環(huán)傳遞函數為：</p><p>　　設計控制器，使得系統的靜態(tài)位置誤差常數為10，相位裕量為50度，增裕量等于或大于10 分貝。</p><p>　　根據要求，控制器設計如下：</p><p>　　選擇控制器，上面我們已經得到了系統的Bode 圖，可以看出，在中頻段，

46、Bode圖是以-20的斜率穿過零分貝軸，因此給系統增加一個超前校正就可以滿足設計要求，設超前校正裝置為：</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　則已校正系統具有開環(huán)傳遞函數G (s)G(s)令：</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p><b

47、>　　式（4-2）中</b></p><p>　　2) 根據穩(wěn)態(tài)誤差要求計算增益K</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　于是： </p><p&

48、gt;　　3) 在MATLAB中畫出的Bode圖：</p><p><b>　　圖19</b></p><p>　　由圖19可以看出，系統的相角裕量為0°，根據設計要求，系統的相角裕量為50°，因此需要增加的相角為50°，增加超前校正裝置會改變Bode圖的幅值曲線，開環(huán)截止頻率會增加，因此必須對開環(huán)截止頻率增加所造成的相位滯后增量進行補償

49、，實際需要增加的相角裕量為55°。</p><p>　　4)計算超前校正網絡參數：</p><p>　　= （4-4）</p><p><b>　?。?-5）</b></p><p>　　在圖19中找到的點，該點的頻率就是校正后系統的截止頻率，即，該頻率就是超前校正網絡最大超前角處

50、對應的頻率，也即是系統校正后的截止頻率。</p><p>　　5)計算超前校正網絡的另一個參數T</p><p><b>　?。?-6）</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　由此得到的校正裝置為：</p><p>　　校正后的傳遞函數為：<

51、;/p><p>　　6)畫出校正后系統的Bode圖</p><p><b>　　圖20</b></p><p><b>　　圖21</b></p><p>　　從圖20和圖21可知，校正后的系統相角裕量和幅值裕量符合設計要求，根據奈奎斯特判據可知校正后的系統穩(wěn)定?，F在分析系統的動態(tài)性能是否滿足要求。&l

52、t;/p><p>　　Matlab編程如下：</p><p>　　>> num=[0.02725*985.782 0.02725*985.782*8.9544];</p><p>　　>> den1=[0.0102125 0 -0.26705];</p><p>　　>> den2=[1 90.0901];&l

53、t;/p><p>　　>> den=conv(den1,den2);</p><p>　　>> sys=tf(num,den);</p><p>　　>> sys2=feedback(sys,1);</p><p>　　>> t=0:0.01:20;</p><p>　　&g

54、t;> step(sys2,t)</p><p>　　>> axis([0 1 0 2]);</p><p><b>　　圖22</b></p><p>　　從圖22可看到，系統的超調量較大，不理想，因此對其進行調整，經過反復試探和分析，得到較好的參數如下：</p><p><b>　　圖23

55、</b></p><p>　　從圖21可看到，此時系統的超調量很小，調節(jié)時間短，穩(wěn)定性好，符合設計要求且性能指標良好。該控制器設計成功。</p><p>　　4.3 Simulink仿真</p><p><b>　　仿真結構圖如下：</b></p><p><b>　　圖24</b>&l

56、t;/p><p><b>　　仿真結果如下：</b></p><p><b>　　圖25</b></p><p>　　由圖25能看到校正后系統的穩(wěn)定性，快速性和準確性都比較好，符合設計要求。</p><p><b>　　5 PID控制分析</b></p><p&

57、gt;　　經典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出的系統，控制器設計時一般需要有關被控對象的較精確模型。PID 控制器因其結構簡單，容易調節(jié)，且不需要對系統建立精確的模型，在控制上應用較廣。</p><p>　　Simulink仿真結構圖如下：</p><p><b>　　圖26</b></p><p>　　經過反復試探和分析，得到當Kp=60

58、,Ki=30,Kd=15時，系統的超調量較小，調節(jié)時間短，穩(wěn)定性好。仿真結果如下：</p><p><b>　　圖27</b></p><p><b>　　6 總結</b></p><p>　　1）兩種校正方法的比較：</p><p>　　直線一級倒立擺根軌跡控制實驗中，閉環(huán)系統瞬態(tài)響應的基本特性與

59、閉環(huán)極點的位置緊密相關，如果系統具有可變的環(huán)路增益，則閉環(huán)極點的位置取決于所選擇的環(huán)路增益，從設計的觀點來看，對于有些系統，通過簡單的增益調節(jié)就可以將閉環(huán)極點移到需要的位置，如果只調節(jié)增益不能滿足所需要的性能時，就需要設計校正器，常見的校正器有超前校正、滯后校正以及超前滯后校正等。</p><p>　　直線一級倒立擺頻率響應控制實驗中，系統對正弦輸入信號的響應，稱為頻率響應。在頻率響應方法中，我們在一定范圍內改變

60、輸入信號的頻率，研究其產生的響應。 頻率響應可以采用以下三種比較方便的方法進行分析，一種為伯德圖或對數坐標圖，伯德圖采用兩幅分離的圖來表示，一幅表示幅值和頻率的關系，一幅表示相角和頻率的關系；一種是極坐標圖，極坐標圖表示的是當ω從0變化到無窮大時，向量 Ge(jω) G(jω)的軌跡，極坐標圖也常稱為奈奎斯特圖，奈奎斯特穩(wěn)定判據使我們有可能根據系統的開環(huán)頻率響應特性信息，研究線性閉環(huán)系統的絕的穩(wěn)定性和相對穩(wěn)定性。</p>

61、<p>　　2）我的感想： 通過本次課程設計，加深了我對相關知識的了解。更進一步的掌握了一些自動控制的基本方式、方法。體會到了自動控制在日常生活中應用。通過對matlab的使用和學習，對設計的控制器進行仿真，觀察仿真的Bode圖和奈奎斯特圖是否符合我的設計要求，更能明白自動控制的作用和意義，也理解了經典控制理論在自動控制分析中發(fā)揮的作用，驗證所學的控制理論和算法，對所學課程加深了理解。為以后從事自動控制方面的工作和學習

62、，打下了更加牢固的基礎，本次課程設計是不可多的機會。</p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　[1].涂植英，陳今潤.自動控制原理.重慶:重慶大學出版社,2005</p><p>　　[2].胡壽松.自動控制原理.北京:科學出版社,2001</p><p>　　[3].Katsuhiko Og