數學與應用數學本科畢業(yè)論文-函數的單調性及其應用

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　題 目：函數的單調性及其應用</p><p>　　學 生： 李敬民 學號： 200940510616 </p><p>　　學 院：數學與計算科學學院</p><p>　　專 業(yè)：數學與應用數學</p><p>　　入學時間

2、： 2009 年 9 月 15 日</p><p>　　指導教師： 王志剛 職稱： 導師 </p><p>　　完成日期： 2013 年 3 月 25 日</p><p>　　函數的單調性及其應用</p><p>　　摘要： 函數的單調性反映了函數隨自變量的變化而變化的函數值變化特點，

3、是函數的重要性質之一，也是解決如求值、解方程、求參數范圍等眾多數學問題的有力工具。在具體解題過程中，若能根據題目的特點構造適當的函數，通過研究函數的單調性并揭示函數值的變化特征，則可使我們的問題在函數觀點下巧妙獲解。</p><p>　　關鍵詞：函數單調性；導數；應用</p><p>　　Abstract: monotonicity reflect the characteristics

4、of changes in the value of the function function change with the change of independent variables, is one of the important properties of the function, also to solve, such as seeking value, solving equations, the parameter

5、s range of many mathematical problems powerful tool. Specific problem-solving process, if the subject is characterized by constructing appropriate function, research monotonicity and reveal the variation of the function

6、value, wi</p><p>　　Keywords: function monotonicity; derivative; application</p><p><b>　　y</b></p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　一、函數單調性概述錯誤！未定義書簽

7、。</p><p>　　(一) 函數單調性的基本概念錯誤！未定義書簽。</p><p>　　(二) 函數的圖像理解單調性的概念錯誤！未定義書簽。</p><p>　?。ㄈ┖瘮祮握{性的基本性質錯誤！未定義書簽。</p><p>　　二、單調性的應用錯誤！未定義書簽。</p><p>　?。ㄒ唬├煤瘮祮握{性比較

8、函數值或自變量的大小錯誤！未定義書簽。</p><p>　　（二）利用單調性求參數值或取值范圍錯誤！未定義書簽。</p><p>　?。ㄈ├脝握{性解不等式錯誤！未定義書簽。</p><p>　?。ㄋ模├脝握{性求函數的最值錯誤！未定義書簽。</p><p>　?。ㄎ澹?利用單調性求函數極值錯誤！未定義書簽。</p>

9、<p>　?。├脝握{性證明不等式錯誤！未定義書簽。</p><p>　　總結錯誤！未定義書簽。</p><p>　　參考文獻：錯誤！未定義書簽。</p><p><b>　　函數單調性概述</b></p><p>　　函數是數學中的一個基本概念，它表明了世界中事物的普遍聯系，說明了自變量和因變量之

10、間的某種對應關系。而函數的單調性反映了函數在單調區(qū)間上，隨著自變量的變化，函數值是增大還是減少的問題，是研究函數性質的一個重要方面。</p><p>　　(一)函數單調性的基本概念</p><p>　　在書中我們的定義比較嚴格，但是嚴格的語言雖然保證了科學嚴密性，但是很多人在讀定義時有些難以理解。所以在這里我們就用理解的話語來概述函數單，,當 時，有 ，則稱此函數在 上是單調增加的， 叫

11、單調增區(qū)間；當 時，有，則稱此函數在 上單調減少， 叫單調減區(qū)間。而還有一種理解是在單調增區(qū)間內，函數圖像隨 的增大而上升，在單調減區(qū)間內，函數圖像隨 的增大而下降。這是從定性的角度對函數單調性概念的簡單概括，我們會再下面分專節(jié)進行講解。[1]</p><p>　　函數單調性這個概念的核心是任意性和恒定性。任意性是指，是函數定義域內任意兩個自變量，恒定性是指不等式或是在的條件下恒成立的。在我們理解時，還要注意兩

12、點:1)函數的單調區(qū)間是定義域的子集；2)函數的單調性反映函數在區(qū)間上函數值的變化情況。而在高等數學中單調性的定義是：如果在某個鄰域內，函數的增量的符號與自變量的增量的符號相同(或者相異)，則稱在點處增加(或減少)。由此推出的引理是：如果函數在點處存在正(或負)的有限導數，那么函數在該點就是增加(或減少)的。所以可以看出，高等數學的定義更加的規(guī)范、嚴謹。[2]</p><p>　　(二)函數的圖像理解單調性的概念

13、</p><p>　　通過函數的圖像也可以判別函數在單調區(qū)間上的單調性。主要是利用導數在區(qū)間上的正負，從定量的角度來判別函數在區(qū)間上是單調增加，還是單調減少。如果函數 在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內可導，時，在區(qū)間上單調增加；反之，如果時，在區(qū)間上單調減少。同時，可導函數在某區(qū)間內的個別點處的導數等于零，并不影響函數在該區(qū)間內的單調性。如函數在內 ，該函數在該區(qū)間內仍是單調增加的。有了上述理論依據，對可導函數單調性的研究

14、便可轉化為簡單的解不等式或。因此，對于一個可導函數，我們會求其導數，那么它的單調性問題就不是問題了。以往我們覺得較復雜的函數和含參函數等的單調性問題就變得很容易處理了。</p><p>　　我們也可以利用函數圖象的對稱性研究函數的單調性：</p><p>　　I.利用函數自身圖象的對稱性：①奇函數圖象關于原點中心對稱，所以奇函數表現出來在對稱區(qū)間上單調性一致。例如:若是奇函數且在區(qū)間上遞增

15、，則在區(qū)間上遞增。②偶函數圖象關于軸對稱，所以偶函數表現出來在對稱區(qū)間上單調性相反。例如:若是偶函數且在區(qū)間上遞增，則在區(qū)間上遞減。[3]</p><p>　　II.兩個函數圖象的對稱性：①函數與函數的圖象關于y軸軸對稱，所以函數與函數在對稱區(qū)間上的單調性相反。例如:若函數在區(qū)間上遞增，則在區(qū)間上遞減。</p><p>　?、诤瘮蹬c函數的圖象關于軸軸對稱，所以函數與函數在同一區(qū)間上的單調性

16、相反。例如:若函數在區(qū)間上遞增，則函數在區(qū)間上遞減。</p><p>　?、酆瘮蹬c函數的圖象關于原點中心對稱，所以函數與函數在對稱區(qū)間上的單調性一致。例如:若函數在區(qū)間上遞增，則函數在區(qū)間上遞增。</p><p>　　④函數與函數的圖象關于直線對稱，所以函數與函數單調性一致(在此注明是分別在各自的單調區(qū)間上)。例如:若函數的定義域為，值域為，且在上遞增，則反函數在上遞增。[4]</p

17、><p>　　利用函數單調性的定義判斷函數的單調性是我們的重難點。其步驟一般可分解為:</p><p>　　1)對其取值:即設，是該區(qū)間內任意兩個值，且；</p><p>　　2)作差變形:求，并對它們進行有利于判斷符號的變形，如因式分解、配方法、有理化等，有時可能還要分類討論；</p><p>　　4)判斷:根據定義作出結論。</p>

18、;<p>　　其中2)和3)是重點，有時變形需要技巧，確定符號也要有邏輯推理，嚴防直觀簡單的判斷。</p><p>　　例1　用定義證明函數在區(qū)間內是減函數。</p><p><b>　　證明　 取且，則</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　∵，∴。要

19、證明函數是減函數，只要證明即可。這里，符號未定。要對，的正、負進行討論。</p><p><b>　　若，則=。</b></p><p>　　若，則，中只有一個為零，所以；</p><p><b>　　若，則；</b></p><p>　　故不論何種情況，總有。</p><p&g

20、t;<b>　　∴，即。</b></p><p>　　因此，在上是減函數。</p><p>　　最后，在此闡述下單調區(qū)間的求解方法，這也是單調性范圍中的重要方法：</p><p>　　1)函數的單調性只是針對某個區(qū)間而言，有些函數在整個定義域上不是單調的，但是在定義域的某些區(qū)間上卻存在單調性，即：函數的單調性是一個局部的性質。所以單調區(qū)間是定義

21、域的子集。</p><p>　　2)函數的單調區(qū)間之間不能寫成并集，區(qū)間端點可有可無。</p><p>　　3)掌握復合單調區(qū)間的求法：</p><p>　　①把復合函數拆成兩個或者幾個簡單的函數，一般為兩個簡單的函數；</p><p>　?、诜謩e判斷兩個簡單函數的單調性（在此注意自變量的取值范圍）；</p><p>

22、　?、圻\用“同增異減”的口訣確定單調區(qū)間，即增增增，增減減，減增減，減減增。在此說明“同增異減”是指:若在函數的某區(qū)間上，函數與的單調性相同，則復合函數在該區(qū)間上是增函數；若函數與的單調性相異，則復合函數在該區(qū)間是減函數。</p><p>　?、茏罱K順利寫出所求單調區(qū)間。</p><p>　　例2　求函數的單調區(qū)間。</p><p>　　解：　其中設取復合函數的符號

23、為。</p><p>　　可知，函數是由函數和復合的。</p><p>　　由 即，解得。即函數的定義域為。</p><p><b>　　對稱軸。</b></p><p>　　二次函數的單調性，可知在區(qū)間上是增函數；在區(qū)間上是減函數。而在其定義域上單調增；。</p><p>　　所以說明函數在區(qū)

24、間上是增函數，在區(qū)間上是減函數。[5]</p><p>　?。ㄈ┖瘮祮握{性的基本性質</p><p>　　這里借鑒書中的定理：設函數在區(qū)間上連續(xù)，根據閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質，可知在上一定有最大值和最小值。</p><p>　　如果最大（?。┲翟趨^(qū)間的內部取得，那么這個最大（?。┲狄欢ㄊ呛瘮档臉O大（小）值。如果在區(qū)間內可導，根據函數取得極值的必要條件，可知這個最大（

25、?。┲抵荒茉诤瘮档鸟v點處取得。由書中的這個定理又演變出了三個性質，這些性質可以用來方便我們更好的理解定理。</p><p>　　性質1:設在內可導，則在必存在最大(小)值，若在。</p><p>　　性質2:若在處取上最小值，則。</p><p>　　性質3:若在處取上的最大值，則。</p><p>　　這一個定理和三個性質說明了函數的單調性

26、基本性質，我們單從字面上比較難以理解，下面給出一些例題來進行補充說明，加深大家對其理解。</p><p>　　例3　求函數的最大值。</p><p>　　解 函數的定義域為。</p><p>　　對函數求導，推出 ，</p><p><b>　　令，得駐點。</b></p><p>　　因為當

27、時，；當時，，所以判斷是函數的極大值點。</p><p>　　由于函數在內只有唯一的一個極值點，所以函數的極大值就是函數的最大值為。</p><p>　　通過這道簡單的例題，我們可以明白單調性可以應用于我們來求解最值問題。下面我們著重來介紹下函數單調性的應用。</p><p><b>　　單調性的應用</b></p><p&

28、gt;　　函數的單調性問題是反映函數值隨自變量的增大而增大（或減小）的變化規(guī)</p><p>　　律，因此，在研究函數問題時，如果涉及函數的變化問題，不妨考查該函數的單調性，這往往能使問題簡化。函數的單調性是函數重要的性質，這一性質貫穿函數學習的始終。很多類型的問題都隱含著函數的單調性問題，如果我們在學習中能夠正確的分析和正確的解題思路，那么就能夠準確而又快速的得到正確答案。 這一類問題往往需要構造函數，把解不等

29、式和不等式證明等幾方面的問題轉化為函數問題， 體現了數形結合和轉化的數學思想。下面我們從幾個方面來論述函數單調性的應用。[7]</p><p>　　（一）利用函數單調性比較函數值或自變量的大小</p><p>　　若已知函數單調性的情況下，要比較函數值的大小，可先比較兩個自變量的大小，再根據單調性推知函數值的大小。若已知兩個函數值的大小，也可在單調區(qū)間內推知函數值的大小。</p>

30、;<p>　　例4 已知 在 上是增函數，試比較 與 的大小。</p><p><b>　　解析： ，。</b></p><p>　　又 ∵在 上是增函數</p><p><b>　　。</b></p><p>　　通過以上簡單的例題，我們可以理解到在此類問題中函數單調性的重要運

31、用。下面再舉一個簡單的例子，加深我們對比較大小的理解。</p><p>　　例5 將下列數依從小到大的次序排列出來，，，，</p><p><b>　　解： </b></p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　運用函數單調性比較大小是常見的題型，其思路方法是不用求出各函數

32、的大小等構造一類函數，通過這類函數的單調性質來說明不同的自變量取值時其函數值的大小關系。[8]</p><p>　　（二）利用單調性求參數值或取值范圍</p><p>　　運用函數的單調性可確定方程或不等式中參數的取值范圍。在解與不等式或方程有關的問題時，我們往往由于忽略變換的等價性，如果能恰當地利用函數單調性，則會避開這種錯誤，下面舉例說明。</p><p>　　

33、例6 已知函數 在區(qū)間上是減函數，求實數 的取值范圍。</p><p>　　解： ∵函數 圖像的對稱軸為 </p><p>　　∴函數 的單調減區(qū)間為</p><p>　　∴由已知條件可得，解得 。</p><p><b>　　利用單調性解不等式</b></p><p>　　利用單調性解

34、題時，一定要看懂題意，找準題目隱含的意思，然后針對問題進行解題，最終得到求解值的范圍。</p><p>　　例7 已知函數 的定義域為，且滿足下列條件：在定義域上單調遞增；求實數 的取值范圍。</p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　推出 </b></p><p

35、>　　又∵函數的定義域為，在定義域上單調遞增</p><p>　　∴ 滿足-1<1-a<1，</p><p><b>　　推出 </b></p><p>　　利用單調性求函數的最值</p><p>　　利用函數的單調性，我們可以求出函數在特定區(qū)間上的最值問題。</p><p>　

36、　例8　設函數為奇函數，對任意都有，且時，，求在上最大值和最小值。</p><p>　　解：　 設，則x2-x1>0，即，判定函數在上是減函數。</p><p><b>　　，推出，。</b></p><p><b>　　在上是減函數，</b></p><p><b>　　∴在上，。

37、</b></p><p>　　本題是求抽象函數在閉區(qū)間上的最值，關鍵是先判斷函數的單調性，然后再求最值，最后注意的是要充分利用進行轉換。</p><p>　?。ㄎ澹?利用單調性求函數極值</p><p>　　運用函數單調性可求出函數的極值，先求得函數的駐點和導數不存在的點，再考察這些點處的左右兩側單調性是否相同，若在駐點或不可導點的兩側單調性不同則說明這

38、一點為函數的極值點。[10]</p><p>　　例9 求函數 的極值。</p><p>　　解 由函數的定義域是</p><p><b>　　求出</b></p><p><b>　　令 </b></p><p>　　將定義域分為三個區(qū)間。</p>&

39、lt;p><b>　　現列表如下:</b></p><p>　　由表可知函數的極大值為，極小值為。</p><p>　?。├脝握{性證明不等式</p><p>　　通過利用構造輔助函數在指定區(qū)間上的單調性，可以證明不等式。</p><p><b>　　例10 證明 </b></p&

40、gt;<p>　　證明： 設，在區(qū)間上連續(xù)。</p><p><b>　　在上單調減少</b></p><p>　　上述題型是簡單的證明題，利用求導，基本說清楚了單調性證明不等式的應用。</p><p><b>　　總結</b></p><p>　　函數的單調性在比較函數值或自變量的

41、大小、求參數值或取值范圍、解不等式、求函數的最值、求函數極值、證明不等式等多方面都有應用，學習時應注意不斷總結并且做到靈活運用函數的單調性。其中，函數單調性的應用也體現了數學的轉化思想。</p><p>　　在上面的例題中沒有直接給出函數的解析式而是通過分析，構造函數，再通過證明和判斷其函數的單調性從而解決問題。判斷函數單調性的方法可以用單調性的定義判定或者用導數的方法來判定，判定單調性的過程也是這類問題解題的一

42、部分。運用函數的觀點認識和分析問題，使問題簡單化和明了化。</p><p>　　總之，函數的單調性的研究得到了數學家們的充分重視，它在研究數學領域起著很大的作用。</p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　[1]付罄雨.用函數單調性生研究不等式[J].大觀周刊,2011(51).</p><p>

43、;　　[2]游曉荔.函數單調性的巧用[J].科技信息,2011(20).</p><p>　　[3] 華東師范大學數學系編.數學分析上冊(第二版)[M].高等教育出版社,1993.</p><p>　　[4] 岳嶸.一個有關函數單調性的命題推廣.高等數學研究[M].2007, 5: 33- 35.</p><p>　　[5] 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法(第2

44、版)[M].高等教育出版社,2006.2.</p><p>　　[6]覃英.淺談運用函數單調性解題的技巧[J].中國科教創(chuàng)新導刊,2011(12).</p><p>　　[7]姚宗貴.函數單調性的應用[J].考試周刊,2011(46).</p><p>　　[8]胡周華 談利用函數單調性求參數范圍的解題策略[J]-數學大世界（教師適用）,2010(5).</p

45、><p>　　[9]藍軍峰.理解函數的單調性 求解函數類綜合題[J].高中數理化,2011(22).</p><p>　　[10]王斌.如何判斷函數的單調性[J]-試題與研究,新課程論壇2012(5).</p><p>　　[11]劉新春 函數的單調性的應用[J].中學生數理化,高中版2011(9).</p><p>　　[12]唐中建.函數的單

46、調性學習指津[J].試題與研究(教學論壇),2011(4).</p><p>　　[13]孫繼云.剖析函數單調性的應用[J].教育界,2011(29).</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　本文是在王志剛老師的悉心指導下完成的。從畢業(yè)設計題目的選擇、到選到課題的研究和論證，再到本畢業(yè)設計的編寫、修改，每一步都有

47、王老師的細心指導和認真的解析。在王老師的指導下，我在各方面都有所提高，老師以嚴謹求實，一絲不茍的治學態(tài)度和勤勉的工作態(tài)度深深感染了我，給我巨大的啟迪，鼓舞和鞭策，并成為我人生路上值得學習的榜樣。使我的知識層次又有所提高。同時感謝所有教育過我的專業(yè)老師，你們傳授的專業(yè)知識是我不斷成長的源泉也是完成本論文的基礎。也感謝我同一組的組員和班里的同學是你們在我遇到難題是幫我找到大量資料，解決難題。再次真誠感謝所有幫助過我的老師和同學。通過這次畢業(yè)