高-上學期函數的單調性-奇偶性周期性知識點和題型

1、<p><b>　?。ㄒ唬┖瘮档膯握{性</b></p><p><b>　　知識梳理</b></p><p>　　1．函數單調性定義：對于給定區(qū)間D上的函數f(x)，若對于任意x,x∈D,</p><p>　　當x<x時，都有f(x) <f(x)，則稱f(x)是區(qū)間D上的增函數，D叫f(x)單調遞增區(qū)

2、間．</p><p>　　當x<x時，都有f(x)> f(x)，則稱f(x)是區(qū)間D上的減函數，D叫f(x)單調遞減區(qū)間．</p><p>　　2．函數單調性的判斷方法：</p><p>　　從直觀上看，函數圖象從左向右看，在某個區(qū)間上，圖象是上升的，則此函數是增函數，若圖象是下降的，則此函數是減函數。</p><p>　　一般地

3、，設函數的定義域為．如果對于屬于定義域內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，，且，則</p><p>　?。?）在區(qū)間上是增函數；</p><p>　?。?）在區(qū)間上是減函數．</p><p>　　如果函數在某個區(qū)間上是增函數或減函數，那么就說函數在這一區(qū)間具有（嚴格的）的單調性，這一區(qū)間叫做的單調區(qū)間．</p><p>　　單調區(qū)間是函數定義域

4、的子區(qū)間，因此函數單調性是函數的局部性質，應以定義域為前提；必須指明在某個區(qū)間上函數是增函數或減函數</p><p>　　（3）復合函數單調性判斷方法：設</p><p>　　若內外兩函數的單調性相同，則在x的區(qū)間D內單調遞增，</p><p>　　若內外兩函數的單調性相反時，則在x的區(qū)間D內單調遞減．</p><p><b>　　

5、（同增異減）</b></p><p><b>　　3．常見結論</b></p><p>　　若f(x)為減函數，則-f(x)為增函數 ； </p><p>　　若f(x)>0（或<0）且為增函數，則函數在其定義域內為減函數．</p><p>　　【題型一、單調性的判斷】</p>&l

6、t;p>　　例、寫出下列函數的單調區(qū)間</p><p>　?。?）， （3）． </p><p>　　如圖是定義在區(qū)間[－5，5]上的函數y=f(x)，根據圖象說出函數的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上， 它是增函數還是減函數？</p><p>　　【題型二、用定義法證明單調性】</p><p>　　例、定義法證明函數y=

7、2x+3在的單調性.</p><p>　　例、判斷函數f（x）＝在（0,1）上的單調性．</p><p>　　【變式訓練1】證明函數在上是增函數．</p><p>　　【方法技巧】根據函數的定義法來進行判別，記好步驟。</p><p>　　【題型三、單調性的運用】</p><p>　　例、已知在R上是增函數,則k的取值

8、范圍 ．</p><p>　　例、函數在上是減函數,則求a的取值范圍 ．</p><p>　　【變式訓練2】已知函數上是單調函數，的取值范圍是 ．</p><p>　　【變式訓練3】函數f（x）是R上的減函數,求f（a2－a＋1）與f（）的大小關系 ．</p>&l

9、t;p>　　【題型四、抽象函數的單調性及其應用】</p><p>　　例、已知y=f(x)是定義在（-2，2）上的增函數，若f(m-1)＜f(1-2m)，則m的取值范圍是 ．</p><p>　　例、設f（x）定義在R+上，對于任意a、b∈R+，有f（ab）＝f（a）＋f（b）</p><p>　　求證：（1）f（1）＝0；</p&g

10、t;<p>　?。?）f（ ）＝－f（x）；</p><p>　?。?）若x∈（1，+∞）時，f（x）＜0，則f（x）在（1，+∞）上是減函數．</p><p>　　【題型五、復合函數的單調性】</p><p>　　例、求函數的單調遞減區(qū)間。</p><p>　　求f(x)=的單調區(qū)間</p><p>&

11、lt;b>　　課后作業(yè)：</b></p><p><b>　　一、選擇題</b></p><p>　　1、函數f(x)＝|x|和g(x)＝x(2－x)的遞增區(qū)間依次是(　　)</p><p>　　A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，[1，＋∞)</p><p>　　C．[0，＋∞)，(

12、－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)</p><p>　　2、當 時，函數 的值有正也有負，則實數a的取值范圍是（   ）</p><p>　　A．   B．   C．   D． </p><p>　　3、若函數在區(qū)間（a，b）上為增函數，在區(qū)間（b，c）上也是增函數，則函數 在區(qū)間（a，c）上（

13、）</p><p>　　A. 必是增函數 B. 必是減函數 C. 是增函數或是減函數 D. 無法確定增減性</p><p><b>　　二、填空題</b></p><p>　　4、函數 ,當 時,是增函數,當 時是減函數,則f(1)=_____________</p><p>　　5、已知 在定義域

14、內是減函數，且 ，在其定義域內判斷下列函數的單調性：</p><p>　　① ( 為常數)是___________； ② ( 為常數)是___________；</p><p>　?、?是____________； ④ 是__________．　　</p><p>　　6、函數f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在

15、[2，＋∞]上遞減，則a的取值范圍是__ ．</p><p>　　7、若函數f(x)＝則f(x)的遞減區(qū)間是________．</p><p><b>　　三、解答題</b></p><p>　　8、討論函數在(-2,2)內的單調性。</p><p>　　9、設f(x)是定義在(0,+∞）上的增函數，

16、f(2)=1 ，且 f(xy)=f(x)+f(y)，求滿足不等式f(x)+f(x-3)≤2 的x的取值范圍.</p><p><b>　　（二）函數的奇偶性</b></p><p><b>　　知識梳理</b></p><p>　　1、函數奇偶性定義：</p><p>　　1、 一般地，如果對于函數

17、的定義域內任意一個，都有，那么就稱函數為偶函數.偶函數圖象關于軸對稱.</p><p>　　2、 一般地，如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么就稱函數為奇函數.</p><p>　　奇函數圖象關于原點對稱.</p><p>　　如果函數f(x)不具有上述性質，則f(x)既不是奇函數也不是偶函數；</p><p>　　如果函數同時具有上述

18、兩條性質，則f(x)既是奇函數，又是偶函數．</p><p>　　2、函數奇偶性的判定方法：定義法、圖像法</p><p>　　（1）利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：</p><p>　?、偈紫却_定函數的定義域是否關于原點對稱；</p><p>　?、诖_定f(－x)與f(x)的關系；</p><p><b>

19、;　?、圩鞒鱿鄳Y論：</b></p><p>　　若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數；</p><p>　　若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0或f(x)=-f(-x)，則f(x)是奇函數．</p><p>　?。?）函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性

20、質；</p><p>　?、谟珊瘮档钠媾夹远x可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，定義域關于原點對稱．</p><p>　　（3）利用圖像判斷函數奇偶性的方法：</p><p>　　圖像關于原點對稱的函數為奇函數，圖像關于y軸對稱的函數為偶函數．</p><p>　　3、函數奇偶性的性質：</p><p>　　奇函數

21、在對稱的單調區(qū)間內有相同的單調性；偶函數在對稱的單調區(qū)間內有相反的單調性．</p><p>　　4、（1）奇函數、偶函數的定義域關于原點對稱。若是定義域中的一個數值，則也必然在定義域中，因此，函數是奇函數或是偶函數的一個必不可少的條件是定義域關于原點對稱。換言之，所給函數的定義域若不關于原點對稱，則這個函數必不具奇偶性。</p><p>　　（2）若奇函數在處有定義，則。</p>

22、;<p>　?。?）為偶函數，為奇函數。</p><p>　　（4）函數的奇偶性是相對于整個定義域來說的，而單調性是相對于定義域內某個區(qū)間而言的，是局部性質。</p><p>　　【題型一、有關函數奇偶性的判斷或證明的問題】</p><p>　　例、判斷下列函數的奇偶性。</p><p>　　,

23、 ②,</p><p>　　③ ④</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　【方法技巧】判斷函數的奇偶性，第一步是要先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，如果不對稱，就是非奇非偶函數，如果對稱，接下去再去找f(x)與f(-x)之間的關系，牢記好，在定義域內f(x)=f

24、(-x)則為偶函數，f(-x)=-f(x)</p><p><b>　　則為奇函數。</b></p><p>　　【變式訓練4】函數是( )</p><p>　　A．奇函數B．偶函數</p><p>　　C．既是奇函數又是偶函數 D．既不是奇函數又不是偶函數</p><p&g

25、t;　　【變式訓練5】若函數是偶函數，則有 ( )</p><p>　　A. B. C. D. </p><p>　　【變式訓練6】設函數，且則等于（ ）</p><p>　　A.-3 B.3 C.-5 D. 5</p><p>　　【題型二、應用函數奇偶性求值、求解析式】</p

26、><p>　　例、（1）已知偶函數的定義域是，當時，求的解析式.</p><p>　?。?）已知奇函數的定義域是R，當時，求的解析式.</p><p>　　【變式訓練7】已知是定義在R上的奇函數，且當時，，求的解析式。</p><p>　　【題型三、抽象函數的奇偶性的判斷】</p><p>　　例、設函數f(x)，g(x)

27、的定義域為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是(　　)</p><p>　　A．f(x)g(x)是偶函數 B．|f(x)|g(x)是奇函數 </p><p>　　C．f(x)|g(x)|是奇函數 D．|f(x)g(x)|是奇函數</p><

28、;p>　　【變式訓練8】設是定義在上的一個函數，則函數，在上一定是( )</p><p>　　A．奇函數 B．偶函數 </p><p>　　C．既是奇函數又是偶函數 D．非奇非偶函數.</p><p>　　【題型四、有關函數奇偶性的綜合問題】</p><p>　　例、設奇函數在上為增函數，且

29、，則不等式的解集為 （ ）</p><p>　　B、 C、 D、</p><p>　　例、已知函數是定義在上的偶函數，則 ，．</p><p>　　例、設函數對任意，都有，求證是奇函數；</p><p>　　【變式訓練9】設f(x)=ax5+bx3+cx－5(a,b,c是常數)且,則f（7）=

30、 ．</p><p>　　若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函數，則m ＝_________．</p><p>　　已知函數f(x)＝是奇函數．求實數m的值；</p><p><b>　　(三)函數的周期性</b></p><p><b>　　1．周期函數</b></

31、p><p>　　對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．</p><p><b>　　2．最小正周期</b></p><p>　　如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期．

32、</p><p>　　例、設是上的奇函數，，當時，，求的值。</p><p>　　例、已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數，則 (　　)</p><p>　　A．f(－25)<f(11)<f(80)</p><p>　　B．f(80)<f(11)<f(－25)<

33、/p><p>　　C．f(11)<f(80)<f(－25)</p><p>　　D．f(－25)<f(80)<f(11)</p><p>　　【變式訓練】設f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x.</p><p>　　(1)求f(π)的值；</p><

34、p>　　(2)當－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積；</p><p>　　(3)寫出(－∞，＋∞)內函數f(x)的單調區(qū)間．</p><p><b>　　課后作業(yè)</b></p><p>　　1．函數f(x)=4x2－mx＋5在區(qū)間［－2，＋∞］上是增函數，在區(qū)間(－∞，－2)上是減函數，則f(1)等于（ ）&l

35、t;/p><p>　　A．－7 B．1C．17D．25</p><p>　　2．已知函數f(x)在區(qū)間[a，b]上單調，且f(a)f(b)＜0，則方程f(x)=0在區(qū)間[a，b]內（ ）</p><p>　　A．至少有一實根 B．至多有一實根 C．沒有實根 D．必有唯一的實根</p&

36、gt;<p>　　3．已知函數f(x)=8＋2x－x2，如果g(x)=f( 2－x2 )，那么函數g(x)（ ）</p><p>　　A．在區(qū)間(－1，0)上是減函數 B．在區(qū)間(0，1)上是減函數</p><p>　　C．在區(qū)間(－2，0)上是增函數 D．在區(qū)間(0，2)上是增函數</p><p>　

37、　4. 若函數是奇函數，則下列坐標表示的點一定在函數圖象上的是（ ）</p><p>　　A． B． C． D． </p><p>　　下列函數中為偶函數的是（ ）</p><p>　　A． B． C． D．</p><p>　　6.

38、已知函數是奇函數，則的值為（ ）</p><p>　　A． B． C． D．</p><p>　　7. 設偶函數的定義域為，當時，是增函數，則 ，的大小關系是 （ ）</p><p>　　A B </p><p>　　C D </p&

39、gt;<p>　　8．若函數是奇函數，，則的值為____________ . </p><p>　　9．已知分段函數是奇函數，當時的解析式為，則這個函數在區(qū)間上的解析式為 ． </p><p>　　10. 判斷下列函數是否具有奇偶性：</p><p>　　(1)； (2) ；</p><p>　??；

40、 (4) ； (5) .</p><p>　　11. 已知函數f(x)＝x2＋ (x≠0)．</p><p>　　(1)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；</p><p>　　(2)若f(1)＝2，試判斷f(x)在[2，＋∞)上的單調性．</p><p>　　12. 已知定義在R上的函數y＝f(x)滿足

41、條件f＝－f(x)，且函數y＝f為奇函數，給出以下四個命題：</p><p>　?、俸瘮礷(x)是周期函數；</p><p>　?、诤瘮礷(x)的圖象關于點對稱；</p><p>　?、酆瘮礷(x)為R上的偶函數；</p><p>　?、芎瘮礷(x)為R上的單調函數．</p><p>　　其中真命題的序號為______

42、__．</p><p><b>　　變式訓練答案：</b></p><p><b>　　1、</b></p><p><b>　　2、</b></p><p><b>　　3、</b></p><p><b>　　4、&l

43、t;/b></p><p><b>　　5、</b></p><p><b>　　6、</b></p><p><b>　　7、</b></p><p><b>　　8、</b></p><p><b>　　9、&l