數學與應用數學畢業(yè)論文--數學思想方法教學

1、<p><b>　　畢 業(yè) 論 文</b></p><p>　　論文題目： 數學思想方法教學 </p><p>　　學 生 姓 名： </p><p>　　學 生 學 號： </p>&l

2、t;p>　　專 業(yè) 班 級： 2008級數學與應用數學3班 </p><p>　　院 系 名 稱： 昆明學院數學系 </p><p>　　指 導 老 師： </p><p>　　學 院

3、院 長： </p><p>　　2012 年 3 月</p><p><b>　　數學思想方法教學</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　中學數學思想方法與教學研究一直都是很多一線教師和家長

4、最熱衷探討的問題，此文就根據中學數學出現的各種實例來進行探討中學數學思想方法教學，探討各種數學題型的解題方法和歸納總結以及延伸出來的數學教學和發(fā)展。 </p><p>　　關鍵詞：中學數學；思想方法；數學發(fā)展。 </p><p>　　Maths Thinking Method</p><p><b>　　Abstract</b></p

5、><p>　　Way of thinking and teaching of secondary school mathematics has always been a lot of front-line teachers and parents are most keen to explore the issue, this article according to various examples of sec

6、ondary school mathematics for the secondary school mathematics teaching methods of thinking, to explore the kinds of questions of various mathematical problem solvingmethods and summarized, and extended from the mathemat

7、ics teaching and development.</p><p>　　Keywords: Secondary school mathematics; way of thinking; the development of mathematics.</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　摘要‥‥‥‥‥‥‥

8、‥‥‥1</p><p>　　Abstract‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥2 </p><p>　　目錄‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥3</p><p>　　第一章 引言‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥5</p><p>　　1.1數學思想方法教學的心理學意義‥‥‥‥‥

9、‥‥‥‥‥‥‥‥‥5</p><p>　　1.2中學數學中的主要數學思想和方法‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥7</p><p>　　第二章 數學思想方法實際應用探討‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10</p><p>　　2.1函數與方程思想‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10</p><p>　　2.2數形結合思想‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥

10、‥‥‥‥‥20</p><p>　　2.3數學歸納法‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥24</p><p>　　第三章 結語‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥25</p><p><b>　　第一章 引言</b></p><p>　　1.1數學思想方法教學的心理學意義</p><p>　　美國心

11、理學家布魯納認為，“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構?！彼^基本結構就是指，“基本的、統(tǒng)一的觀點，或者是一般的、基本的原理?！薄皩W習結構就是學習事物是怎樣相互關聯的?！睌祵W思想與方法為數學學科的一般原理的重要組成部分，下面從布魯納的基本結構學說中來看數學思想、方法教學所具有的重要意義?！　?.“懂得基本原理使得學科更容易理解”。心理學認為“由于認知結構中原有的有關觀念在包攝和概括水平上高于新學習的知識，因而新知識與

12、舊知識所構成的這種類屬關系又可稱為下位關系，這種學習便稱為下位學習。”當學生掌握了一些數學思想、方法，再去學習相關的數學知識，就屬于下位學習了。下位學習所學知識“具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學習的意義，”即使新知識能夠較順利地納入到學生已有的認知結構中去，學生學習了數學思想、方法就能夠更好地理解和掌握數學內容。 　　2.有利于記憶。布魯納認為，“除非把一件件事情放進構造得好的模型里面，否則很快就會忘記?！薄皩W習基本原理的目的，

13、就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們在需要的時候得以把一件件事情重新構思起來。高明的理論不僅</p><p>　　1.2中學數學中的主要數學思想和方法</p><p>　　數學思想是分析、處理和解決數學問題的根本想法，是對數學規(guī)律的理性認識。由于中學生認知能力和中學數學教學內容的限制，只能將部分重要的數學思想落實到數學教學過程中，而對有些數學思想不宜要求過高。我們認為

14、，在中學數學中應予以重視的數學思想主要有三個：集合思想、化歸思想和對應思想。其理由是：（1）這三個思想幾乎包攝了全部中學數學內容。（2）符合中學生的思維能力及他們的實際生活經驗，易于被他們理解和掌握。（3）在中學數學教學中，運用這些思想分析、處理和解決數學問題的機會比較多。（4）掌握這些思想可以為進一步學習高等數學打下較好的基礎。 待定系數法的實例</p><p>　　例1.把多項式表示為關于的降冪排列形式.&

15、lt;/p><p><b>　　解：用待定系數法：</b></p><p>　　設=把右邊展開，合并同類項（把同類項對齊），</p><p><b>　　得= </b></p><p>　　用恒等式的性質，比較同類項系數，</p><p>　　得解這個方程組，得 </p&g

16、t;<p><b>　　∴=</b></p><p>　　本題也可用換元法： </p><p>　　設x－1=y, 　那么x=y+1.</p><p>　　把左邊關于x的多項式化為關于y 的多項式，最后再把y換成x －1.</p><p>　　例2.已知： 是完全平方式.</p><p&

17、gt;<b>　　求： a和b的值.</b></p><p>　　解：設＝　（設待定的系數，要盡可能少.）</p><p>　　右邊展開，合并同類項，得</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　比較左右兩邊同類項系數，得方程組 ；　 .</p><p>　

18、　解得 ：m=3，a=12,b=6.</p><p>　　例3. 是否存在常數a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝對一切自然數n都成立？并證明你的結論。 </p><p>　　【分析】是否存在，不妨假設存在。由已知等式對一切自然數n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出關于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數學歸納法證明等式對所有自然數n

19、都成立。</p><p>　　【解】假設存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝；n＝3，得70＝。整理得：</p><p><b>　　,解得，</b></p><p>　　于是對n＝1、2、3，等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立，下面用數學歸納法證明對任

20、意自然數n，該等式都成立：</p><p>　　假設對n＝k時等式成立，即1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)；</p><p>　　當n＝k＋1時，1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[

21、3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]，</p><p>　　也就是說，等式對n＝k＋1也成立。</p><p>　　綜上所述，當a＝8、b＝11、c＝10時，題設的等式對一切自然數n都成立。</p><p>　　【注】建立關于待定系數的方程組，在于由幾個特殊值代入而得到。此種解法中，也體現了方程思想和特殊值法。對于是否存在性問題待定系數時，可以按照先試值、再猜想、最

22、后歸納證明的步驟進行。本題如果記得兩個特殊數列1＋2＋…＋n、1＋2＋…＋n求和的公式，也可以抓住通項的拆開，運用數列求和公式而直接求解：由n(n＋1)＝n＋2n＋n得S＝1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2×＋＝(3n＋11n＋10)，綜上所述，當a＝8、b＝11、c＝10時，題設的等式對一切自然數n都成立。</p><p

23、>　　例4. 有矩形的鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長為的四個小正方形，將剩余部分折成一個無蓋的矩形盒子，問x為何值時，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？</p><p>　　【分析】實際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標函數，將實際問題轉化為函數最大值和最小值的研究。</p><p>　　【解】 依題意，矩形盒子底邊邊長為(30－

24、2x)cm，底邊寬為(14－2x)cm，高為。</p><p>　　∴ 盒子容積 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ，</p><p>　　顯然:15－x>0，7－x>0，x>0。</p><p><b>　　設V＝ </b></p><p>　　要使用均值不等式，則&

25、lt;/p><p>　　解得：a＝， b＝ ， x＝3 。 </p><p>　　從而V＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576。</p><p>　　所以當x＝3時，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm。</p><p>　　【注】均值不等式應用時要注意等號成立的條件，當條件不滿足時要湊配系數，可以用“待定系數法”求。本題解答

26、中也可以令V＝(15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)，再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項該進行湊配的系數，本題也體現了“湊配法”和“函數思想”。</p><p>　　2.3、待定系數法的實例再現</p><p>　　設f(x)＝＋m，f(x)的反函數f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次為_____。</p><p>　　A.

27、 , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2</p><p>　　二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，則a＋b的值是_____。</p><p>　　A. 10 B. －10 C. 14 D. －14</p><p>　　在(1－x)（1＋x）的展開式中，x的系數是___

28、__。</p><p>　　A. －297 B.－252 C. 297 D. 207</p><p>　　函數y＝a－bcos3x (b<0)的最大值為，最小值為－，則y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。</p><p>　　與直線L：2x＋3y＋5＝0平行且過點A(1,-4)的直線的方程是_______________

29、。</p><p>　　與雙曲線x－＝1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的方程是____________。</p><p>　　【簡解】1小題：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比較系數易求，選C；</p><p>　　2小題：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的兩根，代入兩根，列出關于系數a、b的方程組，易求得a＋b，選D；&l

30、t;/p><p>　　3小題：分析x的系數由C與(－1)C兩項組成，相加后得x的系數，選D；</p><p>　　4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案；</p><p>　　5小題：設直線的方程2x＋3y＋c＝0，點A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；</p><p>　　6小題：設雙

31、曲線方程x－＝λ，點(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1。</p><p>　　在高中數學的學習中，轉化與化歸是我們研究問題的最基本，最重要的思想方法，它無處不在，比如，處理立體幾何問題時，將空間問題轉化到一個平面上去解決；在解析幾何中通過建立坐標系將幾何問題化歸為代數問題；復數問題歸化為實數問題。</p><p><b>　　1轉化與化歸的原則</b></

32、p><p>　　目標簡單化原則：將復雜的問題向簡單的問題轉化。</p><p>　　和諧統(tǒng)一性原則：即化歸應朝著使待解決問題在表現形式上趨于和諧，在量，行關系上趨于統(tǒng)一的方向上進行，使問題的條件和結論更均勻和恰當。</p><p>　　具體化原則：即化歸方向應有抽象到具體。</p><p>　　低層次原則：即將高維空間問題化歸成地維空間成低維空間

33、問題。</p><p>　　正難則反原則：即當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解。</p><p>　　2轉化與化歸常用到的方法</p><p>　　直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理，基本公式或基本圖形問題。</p><p>　　換原法：運用“換元”把超越式轉化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的

34、函數，方程，不等式問題轉化為易于解決的基本問題。</p><p>　　數行結合法；研究原問題中數量關系（解析式）與空間形式（圖形）關系，通過互相變換獲得轉化途徑。</p><p>　　構造法：“構造”一個合適的數學模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題。</p><p>　　坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決幾何問題，是轉化方法的一個重要途徑。</p>&

35、lt;p>　　類比法：運用類比推理，猜測問題的結論，易于確定轉化途徑。</p><p>　　特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的結論適合原問題。</p><p>　　等價問題法：把原問題轉化為一個易于解決的等價問題，達到轉化目的。</p><p>　　加強命題法：在證明不等式時，原命題難以得證，往往把命題的結論加強，即命題的結論加強為原

36、命題的充分條件，反而能將原命題轉化為一個較易證明的命題，比如在證明不等式時，原命題往往難以得證，這時常把結論加強，使之成為原命題的充分條件，從而易證。</p><p>　　本題以一元二次方程存在實數根為載體，考查含有絕對值的不等式的解法，求解決對值不等式一般通過脫去絕對值號轉化為不等式或不等式組。</p><p>　　此外，符號化思想、公理化思想以及極限思想等在中學數學中也不同程度地有所體

37、現，應依據具體情況在教學中予以滲透。數學方法是分析、處理和解決數學問題的策略，這些策略與人們的數學知識、經驗以及數學思想掌握情況密切相關。從有利于中學數學教學出發(fā)，本著數量不宜過多原則，我們認為目前應予以重視的數學方法有：數學模型法，數形結合法，變換法，函數法和類分法等。一般講，中學數學中分析、處理和解決數學問題的活動是在數學思想指導下，運用數學方法，通過一系列數學技能操作來完成的。 　　</p><p>　　

38、第二章 數學思想方法實際應用探討</p><p>　　2.1函數與方程思想</p><p>　　函數與方程的思想是各種數學的一條主線，這不僅可以高中新課程內容中一直是以函數為主線貫穿這一事實體現出來，而且函數與方程思想也是數學最本質的思想之一。函數思想使常量數學進入了變量數學，高中數學中的初等函數，數列，不等式，解析幾何等問題都可以轉化為函數與方程問題。</p><p&

39、gt;　　1函數思想是指運用運動和變化的觀點，集合與對應的內在聯系，去分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數關系，運用函數的圖像和性質去分析問題，轉化問題和解決問題，應用非常廣泛。深刻理解函數一般函數的單調性，周期性，值域和圖像變換，熟練掌握一次函數，二次函數，反比例函數，冪函數，指數函數和對數函數，三角函數的具體性質，是應用函數思想解題的基礎，挖掘隱含條件，從而恰當的構造函數和靈活應用函數的性質是實施解決解題關鍵，它廣

40、泛地應用于方程，不等式，數列等問題。</p><p>　　2與函數思想聯系的就是方程的思想。所謂方程的思想，就是在解決問題時，用設定的未知數溝通問題中所涉及的各種量間的制約關系，列出方程的思想，就是在解決問題時，用事先設定的未知數溝通問題中所涉及的各個量之間制約關系，列出方程組，從而求出未知數及各量的值，使問題的解決。所設的未知數，溝通了變量之間制約關系，方程可以看做未知量與已知量之間相互制約的條件，太架設了由已

41、知探索未知的橋梁，事實上方程f(x)=0的解就是函數y= f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標，函數y= f(x)也可以看做二元方程f(x)- y=0.通過方程進行研究，方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系。</p><p>　　3函數與方程的思想在解題中的應用主要表現在以下幾個方面：</p><p>　　函數與不等式相互轉化，對函數y= f(x)當y﹥0時，就化為不等式f(x) ﹥0，

42、借助于函數的圖像和性質可解決有關問題，而研究函數的性質也離不開不等式。</p><p>　　數列的通項與前n項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點去處理數列的問題十分重要。</p><p>　　函數f(x)=（a+bx）^n(n∈N*)與二項式定理密切相關，利用這個函數，用賦值法和比較系數法可以解決很多有關二項式定理的問題及求和問題。</p><p>　　解析結合

43、問題中許多問題，例如直線與二次曲線的位置關系問題，需要通過解二元方程組才能解決。這都涉及二次方程與二次函數的有關理論。</p><p>　　立體幾何中有關線段，角，面積，體積的計算，經常需要列方程或建立空間向量后，立體幾何與函數的關系就更加密切。</p><p><b>　　函數的實際應用</b></p><p><b>　　2.2數

44、形結合思想</b></p><p>　　數行結合的數學思想：包含“以形助數”和以數輔形兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形；或者是借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質;或者是借助于數的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形做為目的，如應用曲線的方程來精確的闡明曲線的幾何性質。</p><p&

45、gt;　　2運用數形結合思想分析解決問題時，要遵循三個原則</p><p>　　等價性原則，要注意由于圖像不能精確刻量數量關系所帶來的負面效應；</p><p>　　雙方性原則。既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數抽象代數探索，僅對代數問題進行幾何分析容易出錯；</p><p>　　簡單性原則，不要為了“數形結合”而數形結合，具體運用時。一要考慮是否可行和是否有

46、利；二是選擇好突破口，恰當設參，用參，建立關系做好；三是要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數圖象時應設法選擇直線與定二次曲線。</p><p>　　3應用數形結合的思想方法解題，通常從以下幾個方面入手：</p><p><b>　　函數與函數圖象；</b></p><p><b>　　不等式與函數圖象；</b

47、></p><p><b>　　曲線與方程；</b></p><p>　　參數本身的幾何意義；</p><p><b>　　代數式的結構特點；</b></p><p>　　概念自身的幾何意義；</p><p>　　可行域與目標函數最值；</p><p

48、><b>　　向量的兩重性。</b></p><p><b>　　數形結合法的典例</b></p><p>　　例1. 若方程 （＞0）的兩根滿足：＜1，1＜＜3，求的取值范圍。</p><p>　　解析：畫出與方程對應的二次函數 （＞0）的草圖：</p><p>　　由圖可知：當=1時，＜

49、0； 當=3時，＞0.</p><p>　　即 ＜0 ； ＞0.</p><p><b>　　解得：＜＜1.</b></p><p>　　例2.若關于x的不等式 的解集僅有一個元素，求的值。</p><p>　　解：如圖：在同一坐標系內，作出與的圖象。題設條件等價于拋物線在直線與之間的帶狀區(qū)域僅有一個交點，且拋物線開

50、口向上。由圖形的直觀性質可知：這個交點只能在直線上，故方程組 僅有一組解。</p><p><b>　　即 </b></p><p>　　小結：對于參數方程（不等式），可將其與對應的函數（圖象）聯系起來，運用數形結合思想，去揭示問題中所蘊含的幾何背景，往往能為解題提供清晰的思路。</p><p>　　例3.已知a、均為正數，且求的最小值。&l

51、t;/p><p>　　解：如圖，作線段AB=2，在AB上截取AE=，</p><p>　　EB=，過A作ACAB，且AC=2，過B作BDAB，且BD=1。由勾股定理：CE=，BD=，原題即求CE+ED的最小值。</p><p>　　又如圖，延長CA至G,使AG=AC，連接GE，由三角形兩邊之和大于第三邊，則G、E、D三點共線時，GE+ED=DG最短。作出圖形，延長DB至

52、F，使BF//AG且BF=AG，連接GF.</p><p>　　則在Rt△DGF中，DF=1+2=3，GF=AB=2</p><p>　　CE+DE的最小值是</p><p><b>　　即的最小值是</b></p><p>　　小結：此題由式子特點聯想勾股定理，構造圖形解決問題。</p><p>

53、;　　例4.如圖，在△ABC中，AB＞AC，CF、BE分別是AB、AC邊上的高。試證： </p><p>　　證明：（代數法）由AB＞AC＞CF，AB＞BE</p><p><b>　　及S△ABC </b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>

54、;　?。?lt;/b></p><p><b>　　,=.</b></p><p><b>　　綜上：</b></p><p>　　小結：這種證明方法，采用了代數法，較之純幾何證法來，易于想到。</p><p>　　、數形結合法的實例再現</p><p>　　1.方程l

55、gx=sinx的根的個數( )</p><p>　　(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個</p><p>　　2．已知全集U=R，集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|x>3},則右圖中陰影部分表示的集合為( )</p><p>　　A．(3,5) B．(-2,+) C．(-2,5) D．(5,+

56、 )</p><p>　　3．函數圖象如圖，則函數 的單調遞增區(qū)間為（ ）</p><p>　　A．B． C．D．</p><p>　　4．不等式組有解，則實數的取值范圍是（ ）</p><p><b>　　A．B．</b></p><p><b>

57、　　C．D．</b></p><p>　　5．已知f(x)是定義在（-3，3）上的奇函數，當0<x<3時，f(x)的圖象如圖所示，那么不等式f(x)·cosx<0的解集是 （ ）</p><p>　　6．復數(x-2)+yi，其中x、y均為實數，當此虛數的模為1時，的取值范圍是 </p><

58、p>　　7.已知關于x的方程x2-4|x|+5=m有四個不相等的實根，則實數m的范圍是_______.</p><p>　　8.設A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m≥0}，則使AB成立的實數m的取值范圍是______.</p><p>　　【簡解】1．選C.在同一坐標系中作出y=lgx與y=sinx的圖象，如圖.其交點數為3.</p>

59、;<p><b>　　2．答案：B</b></p><p><b>　　3．</b></p><p>　　作出不等式組表示的平面區(qū)域B，如圖所示，根據圖形可知該區(qū)域為等腰直角三角形，可求出面積，所以平面區(qū)域B的面積為1．</p><p><b>　　3．答案：D</b></p>

60、;<p><b>　　4．答案：A</b></p><p>　　5．選B.根據對稱性畫出</p><p>　　f(x)在（-3,0）上的圖象如</p><p>　　圖，結合y=cosx在(-3,0), </p><p>　　(0,3)上函數值的正負,</p><p>　　易知不等式f

61、(x)cosx<0的解集是</p><p>　　6．由題意知，設，則k為過圓(x-2)2+y2=1上的點及原點的直線斜率，作圖如下：</p><p>　　又由對稱性，可得答案：</p><p><b>　　答案：</b></p><p>　　7．令f(x)=x2-4|x|+5=(|x|-2)2+1，其圖象如圖. &

62、lt;/p><p>　　畫直線y=m,由圖象知當1<m<5時，方程有四個不相等的實根.</p><p><b>　　答案：（1，5）</b></p><p>　　8．由于集合A，B都是點的集合,故可結合圖形進行分析、求解.集合A是一個圓x2+(y-1)2=1上的點的集合,集合B是一個不等式x+y+m≥0表示的平面區(qū)域內的點的集合, 要使

63、AB，則應使圓被平面區(qū)域所包含（如圖），</p><p>　　即直線x+y+m=0應與圓相切或相離(在圓的下方)，而當直線與圓相切時有</p><p>　　故m的取值范圍是m≥-1.</p><p><b>　　答案：m≥-1</b></p><p><b>　　2.3數學歸納法</b></p

64、><p><b>　　數學歸納法的簡述</b></p><p>　　歸納是一種有特殊事例導出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據一類事物中的部分對象具有的共同性質，推斷該類事物全體都具有的性質，這種推理方法，在高中數學推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結論來。數學歸納法是用來證明某些與

65、自然數有關的數學命題的一種推理方法，在解高中數學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數學論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n )時成立，這是遞推的基礎；第二步是假設在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數（或n≥n 且n∈N）結論都正確”。由

66、這兩步可以看出，高中數學歸納法是由遞推實現歸納的，屬于完全歸納。運用高中數學歸納法證明問題時，關鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標完成解</p><p><b>　　數學歸納法的典例</b></p><p>　　例1．用數學歸納法證明：</p&g

67、t;<p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　請讀者分析下面的證法：</p><p>　　證明：①n=1時，左邊，右邊，左邊=右邊，等式成立．</p><p>　?、诩僭On=k時，等式成立，即：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>

68、　　那么當n=k+1時，有：</p><p>　　這就是說，當n=k+1時，等式亦成立．</p><p>　　由①、②可知，對一切自然數n等式成立．</p><p>　　評述：上面用數學歸納法進行證明的方法是錯誤的，這是一種假證，假就假在沒有利用歸納假設n=k這一步，當n=k+1時，而是用拆項法推出來的，這樣歸納假設起到作用，不符合數學歸納法的要求．</p&g

69、t;<p>　　正確方法是：當n=k+1時．</p><p>　　這就說明，當n=k+1時，等式亦成立，</p><p>　　例2．是否存在一個等差數列{an}，使得對任何自然數n，等式：</p><p>　　a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)</p><p>　　都成立，并證明你的結論．</p>

70、;<p>　　分析：采用由特殊到一般的思維方法，先令n=1，2，3時找出來{an}，然后再證明一般性． </p><p>　　解：將n=1，2，3分別代入等式得方程組．</p><p><b>　　，</b></p><p>　　解得a1=6，a2=9，a3=12，則d=3．</p><p>　　故存在

71、一個等差數列an=3n+3，當n=1，2，3時，已知等式成立．</p><p>　　下面用數學歸納法證明存在一個等差數列an=3n+3，對大于3的自然數，等式</p><p>　　a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．</p><p>　　因為起始值已證，可證第二步驟． </p><p>　　假設n=k時，等式成立

72、，即</p><p>　　a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)</p><p>　　那么當n=k+1時， </p><p>　　a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1</p><p>　　= k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3]</p><p>　　=(k

73、+1)(k2+2k+3k+6)</p><p>　　=(k+1)(k+2)(k+3)</p><p>　　=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]</p><p>　　這就是說，當n=k+1時，也存在一個等差數列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立．</p><p>　　綜合上述，可知存在一個等

74、差數列an=3n+3，對任何自然數n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．</p><p>　　例3．證明不等式 (n∈N)．</p><p>　　證明：①當n=1時，左邊=1，右邊=2．</p><p>　　左邊<右邊，不等式成立．</p><p>　?、诩僭On=k時，不等式成立，即．</p>

75、;<p>　　那么當n=k+1時，</p><p>　　這就是說，當n=k+1時，不等式成立．</p><p>　　由①、②可知，原不等式對任意自然數n都成立．</p><p>　　說明：這里要注意，當n=k+1時，要證的目標是</p><p>　　，當代入歸納假設后，就是要證明：</p><p><

76、;b>　?。?lt;/b></p><p>　　認識了這個目標，于是就可朝這個目標證下去，并進行有關的變形，達到這個目標．</p><p>　　例4．已知數列{an}滿足a1=0，a2=1，當n∈N時，an+2=an+1+an．</p><p>　　求證：數列{an}的第4m+1項(m∈N)能被3整除．</p><p>　　分析：

77、本題由an+1=an+1+an求出通項公式是比較困難的，因此可考慮用數學歸納法．</p><p>　?、佼攎=1時，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除．</p><p>　?、诋攎=k時，a4k+1能被3整除，那么當n=k+1時，</p><p>　　a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+

78、a4k+3</p><p>　　=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1</p><p>　　=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1</p><p>　　=3a4k+2+2a4k+1</p><p>　　由假設a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．</p&g

79、t;<p>　　因此，當m=k+1時，a4(k+1)+1也能被3整除．</p><p>　　由①、②可知，對一切自然數m∈N，數列{an}中的第4m+1項都能被3整除．</p><p>　　數學歸納法的實例再現</p><p>　　1. 用數學歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N），從“k

80、到k＋1”，左端需乘的代數式為_____。</p><p>　　A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D. </p><p>　　2. 用數學歸納法證明1＋＋＋…＋<n (n>1)時，由n＝k (k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應增加的代數式的個數是_____。</p><p>　　A.

81、 2 B. 2－1 C. 2 D. 2＋1</p><p>　　3. 某個命題與自然數n有關，若n＝k (k∈N)時該命題成立，那么可推得n＝k＋1時該命題也成立?，F已知當n＝5時該命題不成立，那么可推得______。 (94年上海高考)</p><p>　　A.當n＝6時該命題不成立 B.當n＝6時該命題成立<

82、;/p><p>　　C.當n＝4時該命題不成立 D.當n＝4時該命題成立</p><p>　　4. 數列{a}中，已知a＝1，當n≥2時a＝a＋2n－1，依次計算a、a、a后，猜想a的表達式是_____。</p><p>　　A. 3n－2 B. n C. 3 D. 4n－3</p>&l

83、t;p>　　5. 用數學歸納法證明3＋5 (n∈N)能被14整除，當n＝k＋1時對于式子3＋5應變形為_______________________。</p><p>　　6. 設k棱柱有f(k)個對角面，則k＋1棱柱對角面的個數為f(k+1)＝f(k)＋_________。</p><p>　　【簡解】1小題：n＝k時，左端的代數式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1時

84、，左端的代數式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以應乘的代數式為，選B；</p><p>　　2小題：（2－1）－（2－1）＝2，選C；</p><p>　　3小題：原命題與逆否命題等價，若n＝k＋1時命題不成立，則n＝k命題不成立，選C。</p><p>　　4小題：計算出a＝1、a＝4、a＝9、a＝16再猜想a，選B；</p>&

85、lt;p>　　5小題：答案（3＋5）3＋5（5－3）；</p><p>　　6小題：答案k－1。</p><p><b>　　第三章 結語</b></p><p>　　數學思想方法在數學學習當中尤為重要，以及各種思想方法在數學當中可以說貫穿了整個中學數學學習的主線，我們從各個方面來探討和剖析了數學當中的方法和實例，通過數學學習的各種方法也

86、可以增加我們對數學學習的認識和充分的了解，進一步加強我們對數學的認識和思考。</p><p>　　參考文獻：中學數學教材全解，陜西人民教育出版社</p><p>　　[1] 布魯納．教育過程．上海人民出版社，1973． 　　[2]崔錄等．現代教育思想精粹．光明日報出版社，1987． 　　[3]邵瑞珍等．教育心理學．上海教育出版社，1985．</p><p>&