雙勾函數與不等式的應用

1、雙勾函數與不等式的應用,一、雙勾函數,下面研究函數,1、定義域：,2、值域：,把上式去分母，移項，合并同類項，整理得：,解得：,當且僅當x=1時，y=2 x=-1時，y=-2,當且僅當x=1時，y=2,當且僅當x=-1時，y=-2,,,3、奇偶性,其定義域是關于原點對稱的，且滿足f(-x)=-f(x)形式，所以此函數為奇函數。,4、圖象如右,,,5、單調性,從圖易知單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為,解：,令x-1

2、=u，則,上式可化為,解：,上式可化為,答案,答案,解：函數,例3 如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一底 寬為2米的無蓋長方體沉淀箱。污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出。 設箱體的長度為a米，高度為b米。已知流出的水中該雜質的質量分數 與a,b的乘積ab成反比?，F有制箱材料60平方米。問當a,b各為多少米 時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最?。ˋ、B孔的面積忽略 不計）。,解法一：依題意，即所求的a,b的值使ab最大。

3、由題設知,4b+2ab+2a=60 (a>0,b>0)，,即 a+2b+ab=30 (a>0,b>0)。,當且僅當a=2b時，上式取等號。,由a>0，b>0，解得0<ab≤18。,即當a=2b時，ab取得最大值，其最大值為18。,∴2b2=18。,解得b=3，a=6。,經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小。,故當a為6米，b為3米時，,解法二：設y為流出的水中雜質的質量分數，則y=k/ab，其

4、中k>0為比例系數，依題意，即所求的a,b值使y值最小。 根據題設，有,4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，,得 b=30-a/2+a(0<a<30)， ①,當a+2=64/(a+2)時取等號，y達最小值。,這時a=6,a=-10（舍去）。,將a=6代入①式得b=3。,故當a為6米，b為3米時，,經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小。,,例4、已知直角三角形的周長為定值l，求它的面積的最大值。,故

5、面積,于是當,面積有最大值,練習1、已知圓柱的體積為定值V，求圓柱全面積的最小值。,答案,答案,1、,所以原式可化為：,而此函數在區(qū)間,上是單調減函數,因此當且僅當,時函數有最小值,而無最大值。,2、,當且僅當,返回,3、,,4、法一：,顯然，當sin2x=?1時，上面兩個式子同時成立，故原式有最小值,法二、可設sin2x=t，再利用函數的單調性求解。,返回,1、法一：設圓柱的底面半徑為r，高為h，全面積為S。則,法二：,返回,例5、過

6、點P（1，4）引一直線l，它在兩條坐標軸上的截距皆為 正且它們的和最小，求這條直線的方程。,解：由前面的分析，l在兩坐標軸上的截距之和為：,故所求直線方程為(y-4)=-2(x-1),即2x+y-8=0.,分析：由線段垂直平分線性質可得|PA|=|PB|，這樣就建立了關于點P的方程，再由橢圓上點的坐標的取值范圍，可求。,將（2）代入（1）式，得,錯解的原因是利用了復數模的不等式：但是忽略了等號成立的條件,解（1）依題設

7、，有,解:設耕地平均每年至多能減少x公頃，又設該地區(qū)現有人口為 P人，糧食單產為M噸/公頃。 依題意，得不等式：,答：該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃。,,例9、甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（每千米小時）的平方成正比，比例系數為b、固定部分為a元。 （1）把全程運輸成本y（元