茆詩(shī)松概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.2第一章1.2

1、§1.2 概率的定義及其確定方法,1. 概率的公理化定義2. 排列與組合公式3. 確定概率的頻率方法4. 確定概率的古典方法5. 確定概率的幾何方法6. 確定概率的主觀方法（自學(xué)）,學(xué)習(xí)目標(biāo),1. 掌握概率的公理化定義2. 掌握排列和組合公式3. 熟練掌握概率的古典方法、幾何方法4.了解計(jì)算概率的頻率方法,非負(fù)性：,規(guī)范性：,設(shè) 為可測(cè)空間,與之對(duì)應(yīng), 且滿足,若存在實(shí)數(shù),①,②,③,可列可

2、加性：對(duì)兩兩不相容的事件列 有,樣本空間,某些子集組成的事件域,可列可加性,1933年蘇聯(lián)的柯?tīng)柲缏宸蛱岢龈怕收摰墓砘w系,一、概率的公理化定義,定義1,,,,,乘法原理,,做一件事共有 個(gè)步驟,,完成這件事的方法總數(shù),,,,,二、排列與組合,加法原理,,做一件事共有 類方式,,完成這件事的方法總數(shù),,,,,,,選排列,當(dāng) 時(shí)，稱為全排列，計(jì)算公式為,從 個(gè)不同的元素中, 任取

3、 個(gè)元素, 按照一定的順序排成一列,，全部排列個(gè)數(shù)為,全排列,重復(fù)排列,從 n個(gè)不同的元素中, 每次取出一個(gè)，放回后再取下一個(gè)，如此連續(xù)取r次所得的排列稱為重復(fù)排列，重復(fù)排列數(shù)為,組 合,從 個(gè)不同的元素中, 任取 個(gè)元素并成一組,，全部組合數(shù)為,可重復(fù)組合（不講）,頻率是否有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,設(shè) 為一隨機(jī)事件,,在相同條件下進(jìn)行 次重復(fù)試驗(yàn),,令,次試驗(yàn)中 發(fā)生的次數(shù),

4、,在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生,特性：,一般地 越大,則 越大;,的值是“隨機(jī)的”;,問(wèn),？,三、確定概率的頻率方法,,,,,,,,,,,實(shí)例一,出現(xiàn)正面,歷史上有名的“拋硬幣”試驗(yàn),問(wèn) 有什么規(guī)律？,“拋硬幣”試驗(yàn),將一枚硬幣連續(xù)拋 次,，記,,考察英語(yǔ)文章中26個(gè)字母出現(xiàn)的頻率，當(dāng)觀察次數(shù) 較大時(shí)，每個(gè)字母出現(xiàn)的頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定性，下面是 Dewey 統(tǒng)計(jì)了438023個(gè)字母得到的統(tǒng)計(jì)表,實(shí)例二,由于頻率的取值是

5、“隨機(jī)的”，那么極限,是什么意思值得研究,（后面第四章討論該問(wèn)題）.,頻率的穩(wěn)定性,當(dāng) 很大時(shí),事件 的頻率 接近一個(gè)常數(shù),,即有,注,①,②,常數(shù) 就是事件 發(fā)生的可能性大小,即概率.,四、古典概型(Classical Probability),具有以上兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)稱為古典概型,也稱為等可能概型.,若隨機(jī)試驗(yàn)滿足:,(1)試驗(yàn)的樣本空間的元素只有有限個(gè);,(2)試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.,,,,

6、,,,,,,,確定概率的古典方法:,拋兩枚硬幣，求出現(xiàn)一個(gè)正面一個(gè)反面的概率.,該試驗(yàn)的樣本空間為,他計(jì)算得,這是一個(gè)古典概型,,事件 “一個(gè)正面一個(gè)反面”的有利,場(chǎng)合是,18世紀(jì)著名的法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾取樣本空間為,這不是等可能概型！,例1,解：,說(shuō)明：,（1）當(dāng)樣本空間元素很多時(shí)，不需將?中的元素一一列出，只須分別計(jì)算出試驗(yàn)E的基本事件總數(shù)和A包含的基本事件總數(shù)；,（2）若各基本事件不具備等可能性，不能用古典概率公式計(jì)算事件A

7、的概率。,例2 設(shè)盒中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個(gè)球，求取到一紅一白的概率。,n =C52 ,,k =C31 C21 ,,P(A) =C31 C21 / C52 =0.6 .,解: 設(shè)A={取到一紅一白},,一般地，設(shè)盒中有N個(gè)球，其中有M個(gè)白球，從中任抽n個(gè)球，則這n個(gè)球中恰有k白球的概率是,例3 設(shè)N件產(chǎn)品中有K件次品，N-K件正品, K<N.現(xiàn)從N件中每次任意抽取1 件產(chǎn)品，檢查,解 由于每次都是從N件

8、產(chǎn)品中任意取出一件，每次都有N種取法.由乘法原理，n次共有Nn種取法，且每種取法出現(xiàn)的可能性相同.故基本事件總數(shù)為Nn；,同理,每次從K件次品中取出一件,取k次,共有 種取法；,其是正品還是次品后放回；這樣共抽檢產(chǎn)品n次.求事件A={所取的n件產(chǎn)品中恰有k件次品}的概率，k = 0, 1, 2, …, n.,從K件次品中取出k件，共有Kk種取法；從N-K件正品中取n-k件, 共有(N-K)n-k種取法.由于k件次品出現(xiàn)在n次中的

9、方式有Cnk種,故由乘法原理，共有CnkKk(N-K)n-k種取法。故A中基本事件個(gè)數(shù)為Cnk Kk(N-K)n-k，因此有,在上式中，令 p=K/N，則有,這是后面要學(xué)的二項(xiàng)分布的概率公式.,解:把a(bǔ)只黑球b只白球視為可分辨的.把a(bǔ)+b只球摸出來(lái)依次排在一直線的a+b個(gè)位置上,則可能的排列法相當(dāng)于把a(bǔ)+b個(gè)元素進(jìn)行全排列,即基本事件總數(shù)為n=(a+b)!.而有利于事件Ak的場(chǎng)合相當(dāng)于在第k個(gè)位置上放一個(gè)黑球(共有a種選擇),而在其余的

10、a+b-1個(gè)位置上,由其余的a+b-1個(gè)球任意排列,共有m=a(a+b-1)!種排法.所以,例4 袋中有a只黑球,b只白球.它們除了顏色不同外,其它方面全同.現(xiàn)在隨機(jī)地把球一只只摸出來(lái),求第k次摸出的一只是黑球(事件Ak)的概率.,與k無(wú)關(guān),例5 (盒子模型):把n個(gè)大小相同的球隨機(jī)放到,(1)A=“某指定的n個(gè)盒子各有一球”;,個(gè)盒子中去.試求下列各事件的概率.,(2)B=“恰有n個(gè)盒子,其中各有一球”;,(3)C=“某指定的盒子恰有

11、,個(gè)球”。,解,很多問(wèn)題可以歸結(jié)為盒子模型.,球 --- 粒子，盒子 ---- 相空間中的小區(qū)域, 則這個(gè)問(wèn)題相應(yīng)于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的馬克斯威爾·波爾茨曼（Maxwell-Boltzmann）統(tǒng)計(jì).,盒子模型的應(yīng)用實(shí)例,參加某次聚會(huì)共 個(gè)人, 求至少有兩人生日相同的概率.,分析,只球,個(gè)人,個(gè)人生日各不相同,,則,天,個(gè)盒子,,,至少有兩人生日相同,結(jié)果有點(diǎn)出乎人們意料,注記,實(shí)際推斷原理:,小概率事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能

12、發(fā)生的.,五、確定概率的幾何方法,設(shè)樣本空間Ω為一有界幾何體，事件A包含于Ω,用L表示幾何體的測(cè)度.,注:當(dāng)幾何體為一線段時(shí)，測(cè)度為長(zhǎng)度；當(dāng)幾何體為平面上的某一區(qū)域時(shí)，測(cè)度為面積；當(dāng)幾何體為空間的某一區(qū)域時(shí)，測(cè)度為體積.,定義：設(shè)事件A為樣本空間Ω中的某個(gè)子區(qū)域，如果它的測(cè)度為L(zhǎng)(A)，且任意點(diǎn)落入A中的可能性大小與L(A)成正比，而與A的位置及形狀無(wú)關(guān),則事件A的概率為 P(A)=L(A)/L(Ω)這一類概率通常稱作

13、幾何概率.,解:以x,y分別表示甲乙兩人到達(dá)的時(shí)刻, 那末0?x?T, 0?y?T.若以x,y表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，則：,例6 (會(huì)面問(wèn)題)甲乙兩人相約在0到T這段時(shí)間內(nèi)在某處會(huì)面. 先到的人等候另一個(gè)人, 經(jīng)過(guò)時(shí)間t(t<T)后離去. 設(shè)每人在0到T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的, 且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽連. 求甲,乙兩人能會(huì)面的概率.,（1）所有基本事件可以用一邊長(zhǎng)為T(mén)正方形內(nèi)所有點(diǎn)表示.,（2）兩人能會(huì)面的條件是

14、|x-y|?t .,由等可能性知，是幾何概型問(wèn)題，所以,例7 (Buffon投針問(wèn)題) 1777年法國(guó)科學(xué)家蒲豐提出了下列著名問(wèn)題，這是幾何概率的一個(gè)早期例子. 平面上畫(huà)著一些平行線，它們之間的距離都等于a，向此平面任投一長(zhǎng)度為l(l<a)的針，試求此針與任一平行線相交的概率（課本P26 例1.2.9）.,解:以x表示針的中點(diǎn)與最近一條平行線間的距離,又以φ表示針與此直線間的交角.,易知樣本空間滿足：,滿足這個(gè)不等式的區(qū)域?yàn)閳D中