2015年化工工程師《基礎知識》高等數學第四章

1、2015年化工工程師年化工工程師《基礎知識基礎知識》高等數學第四章高等數學第四章第四章第四章微分學的應用微分學的應用一、本章學習要求與內容提要一、本章學習要求與內容提要（一）學習要求（一）學習要求1.了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理與柯西中值定理.2.會用洛必達法則求未定式的極限.3.掌握利用一階導數判斷函數的單調性的方法.4.理解函數的極值概念，掌握利用導數求函數的極值的方法，會解簡單一元函數的最大值與最小值的應用題.5.會用二階導

2、數判斷函數圖形的凹性及拐點，能描繪簡單函數的圖形.重點重點用洛必達法則求未定式的極限，利用導數判斷函數的單調性與圖形凹性及拐點，利用導數求函數的極值的方法以及求簡單一元函數的最大值與最小值的應用題.（二）內容提要（二）內容提要1.1.三個微分中值定理三個微分中值定理⑴羅爾（Rolle）定理如果函數滿足下列三個條件：)(xfy?①在閉區(qū)間上連續(xù)][ba②在開區(qū)間內可導)(ba③)()(bfaf?則至少存在一點使.)(ba??0)(???f

3、⑵拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函數滿足下列兩個條件：)(xfy?①在閉區(qū)間上連續(xù)；][ba②在開區(qū)間內可導)(ba則至少存在一點，使得或.)(ba??)()()(abafbff?????))(()()(abfafbf?????⑶柯西（Cauchy）中值定理如果函數與滿足下列兩個條件：)(xf)(xg①在閉區(qū)間上連續(xù)；][ba②在開區(qū)間內可導，且)(ba)(0)(baxxg???則在內至少存在一點，使得)(ba?內由小增大經過

4、時，如果0x①由正變負，那么是的極大值點，是的極大值；)(xf?0x)(xf)(0xf)(xf②由負變正，那么是的極小值點，是的極小值；)(xf?0x)(xf)(0xf)(xf③不改變符號，那么不是的極值點.)(xf?0x)(xf⑸極值的第二充分條件設函數在點處有二階導數，且，，則是函數的)(xf0x??00??xf??00???xf0x)(xf極值點，為函數的極值，且有)(0xf)(xf①如果，則在點處取得極大值；0)(0???xf)

5、(xf0x②如果，則在點處取得極小值.0)(0???xf)(xf0x5.函數的最大值與最小值函數的最大值與最小值在閉區(qū)間上連續(xù)函數一定存在著最大值和最小值.連續(xù)函數在閉區(qū)間上的最大值和最小值只可能在區(qū)間內的駐點、不可導點或閉區(qū)間的端點處取得.6.函數圖形的凹、凸與拐點函數圖形的凹、凸與拐點⑴曲線凹向定義若在區(qū)間內曲線各點的切線都位于該曲線的下方，)(ba)(xfy?則稱此曲線在內是向上凹的（簡稱上凹，或稱下凸）；若曲線各點的切線都)(b

6、a)(xfy?位于曲線的上方，則稱此曲線在內是向下凹的（簡稱下凹，或稱上凸）.)(ba⑵曲線凹向判定定理設函數在區(qū)間內具有二階導數，)(ba①如果在區(qū)間內，則曲線在內是上凹的.)(ba0)(???xf)(xfy?)(ba②如果在區(qū)間內，則曲線在內是下凹的.)(ba0)(???xf)(xfy?)(ba⑶拐點若連續(xù)曲線上的點是曲線凹、凸部分的分界點，則稱點)(xfy?)(00yxP是曲線的拐點.P)(xfy?7.曲線的漸近線曲線的漸近線⑴水