第一講--數列的極限典型例題

1、1第一講數列的極限一、內容提要1.數列極限的定義，有.NnNaxnn???????????0lim????axn注1的雙重性.一方面正數具有絕對的任意性這樣才能有??無限趨近于??nx)(Nnaxan?????另一方面正數又具有相對的固定性從而使不等式.還表明數列無限趨近????axn??nx于的漸近過程的不同程度進而能估算趨近于的近似程度.a??nxa注2若存在，則對于每一個正數，總存在一正整數與之對應，但這種不是nnx??lim?N

2、N唯一的，若滿足定義中的要求，則取，作為定義中的新的一個也必N?21??NNN須滿足極限定義中的要求，故若存在一個則必存在無窮多個正整數可作為定義中N的N注3的幾何意義是：對的預先給定的任意鄰域，在axn?)(??na??)(?aU中至多除去有限項，其余的無窮多項將全部進入??nx)(?aU注4，有.NnNaxnn???????????000lim?00???axn2.子列的定義在數列中，保持原來次序自左往右任意選取無窮多個項所得的數列

3、稱為的子列，??nx??nx記為，其中表示在原數列中的項數，表示它在子列中的項數??knxknknxk注1對每一個，有kknk?注2對任意兩個正整數，如果，則反之，若，則khkh?khnn?khnn?kh?注3，有.KkKaxknn???????????0lim????axkn注4的任一子列收斂于.????axnnlim??nx??knxa3.數列有界對數列，若，使得對，有，則稱數列為有界數列??nx0??MNn??Mxn???nx4.

4、無窮大量對數列，如果，，有，則稱為無窮大量，??nx0??GNnN?????Gxn???nx3，，（）也收斂，且有??nnyx???nnyx??????nnyx0lim???nny，??????nnnyxlim???nnxlimnny??lim，????nnnyxlim???nnxlimnny??lim（）???nnnyxlimnnnnyx????limlim0lim???nny7.迫斂性（夾逼定理）若，使得當時，有，且，???NNn?

5、nnnzxy??nny??limaznn????lim則axnn???lim8.單調有界定理單調遞增有上界數列必收斂，單調遞減有下界數列必收斂??nx??nx9.Cauchy收斂準則數列收斂的充要條件是：，有??nxNmnN???????0????mnxx注Cauchy收斂準則是判斷數列斂散性的重要理論依據盡管沒有提供計算極限的方法，但它的長處也在于此――在論證極限問題時不需要事先知道極限值10.BolzanoWeierstrass定理

6、有界數列必有收斂子列11.?7182818284.211lim???????????ennn12.幾個重要不等式(1)222abba??.1sin?x.sinxx?(2)算術－幾何－調和平均不等式：算術－幾何－調和平均不等式：對記21???Rnaaa?(算術平均值)1)(121???????niiniannaaaaM?(幾何平均值))(1121nniinniaaaaaG?????????????(調和平均值).1111111)(1121