均值不等式公式總結(jié)及應(yīng)用

1、均值不等式應(yīng)用1.(1)若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）Rba?abba222??Rba?222baab??ba?2.(1)若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）Rba?abba??2Rba?abba2??ba?(3)若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）Rba?22????????baabba?3.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）0x?12xx??1x?若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）0x?12xx???1x??若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）0

2、x?111222xxxxxx??????即或ba?4.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）0?ab2??abbaba?若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）0ab?222abababbababa??????即或ba?5.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）Rba?2)2(222baba???ba?『ps.(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”(2)求最值的條件“一正，

3、二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問(wèn)題方面有廣泛的應(yīng)用』技巧三：分離例3.求的值域。2710(1)1xxyxx??????解析一：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。當(dāng)即時(shí)（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。421)591yxx??????（技巧四：換元解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。22(1)7(

4、110544=5ttttytttt?????????）當(dāng)即t=時(shí)（當(dāng)t=2即x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。4259ytt????評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi)再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來(lái)求最值。()(00)()AymgxBABgx?????技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。()afxxx??例：求函數(shù)的值域。2254

5、xyx???解：令，則24(2)xtt???2254xyx???22114(2)4xtttx???????因，但解得不在區(qū)間，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。101ttt???1tt?1t????2??因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。1ytt????1????2??52y?所以，所求函數(shù)的值域?yàn)椤?2????????練習(xí)求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x的值.（1）（2）(3)231(0)xxyxx????1233