立體幾何典型例題

1、1【知識要點】【知識要點】1空間直線和平面的位置關系：(1)空間兩條直線：①有公共點：相交，記作：a∩b＝A，其中特殊位置關系：兩直線垂直相交②無公共點：平行或異面平行，記作：a∥b異面中特殊位置關系：異面垂直(2)空間直線與平面：①有公共點：直線在平面內或直線與平面相交直線在平面內，記作：a??直線與平面相交，記作：a∩?＝A，其中特殊位置關系：直線與平面垂直相交②無公共點：直線與平面平行，記作：a∥?(3)空間兩個平面：①有公共點：

2、相交，記作：?∩?＝l，其中特殊位置關系：兩平面垂直相交②無公共點：平行，記作：?∥?2空間作為推理依據的公理和定理：(1)四個公理與等角定理：公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在此平面內公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行

3、，那么這兩個角相等或互補(2)空間中線面平行、垂直的性質與判定定理：①判定定理：如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直②性質定理：如果一條直線與一個平面平行，那么經過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行如果兩個

4、平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行垂直于同一個平面的兩條直線平行如果兩個平面垂直，那么一個平面內垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直(3)我們把上述判定定理與性質定理進行整理，得到下面的位置關系圖：【例題分析】【例題分析】例2在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點，求證：MN∥平面PAD3【分析】【分析】要證明“線線垂直”，可通過“線面垂直”進行轉化，因此設法證明A1C垂直于經過

5、BC1的平面即可證明：證明：連接AC1∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AB⊥AA1又AB⊥AC，∴AB⊥平面A1ACC1，∴A1C⊥AB①又AA1＝AC，∴側面A1ACC1是正方形，∴A1C⊥AC1②由①，②得A1C⊥平面ABC1，∴A1C⊥BC1【評述】【評述】空間中直線和平面垂直關系的論證往往是以“線面垂直”為核心展開的如本題已知條件中出現的“直三棱柱”及“AB⊥AC”都要將其向“線面垂直”進行轉化例4在三

6、棱錐P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求證：平面PAC⊥平面PBC【分析】【分析】要證明“面面垂直”，可通過“線面垂直”進行轉化，而“線面垂直”又可以通過“線線垂直”進行轉化證明：證明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，且AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴AP⊥BC又AP⊥PB，∴AP⊥平面PBC，又AP平面PAC，?∴平面PAC⊥平面PBC【評述】【評述】關于直線和平面垂直的問題，可歸