為什么要把0作為一個自然數

1、為什么要把“0”作為一個自然數◎王尚志現在已經明確地把數“0”作為一個自然數看待了。為什么聽了很多的解釋，大部分的解釋是把這看作一個“規(guī)定”。顯然，這樣的“解釋”是不夠的。下面談談我的理解，供老師和學生參考。首先，應該從自然數的功能說起。自然數是人類最早用來描述周圍世界“數遺關系”的概念，幾乎從一開始就具有三個基本功能。一個是幫人類來刻畫某一類“東西”的多少，用現代的數學語言來說就是描述一一個有限集合的基數(性質)。另一個就是刻畫一類“

2、事物”的順序：“第一”“第二”……用現代的數學語言來說就是描述一一個有限集合中元素的“順序”性質?！白匀粩怠钡牡谝粋€基本功能是“運算功能”。自然數可以做加法運算和乘法運算。在此基礎上，隨著對運算的深入研究，我們一步一步地建立起了有理數、實數和它們的運算。我們知道，“空集”是集合中一種最主要也是最基本的集合，也是我們在描述周圍現象時經常用到的集合。：在數學中更是經常要用到。一般來說，集合常常被分為有限集合和無限集合兩類。有限集合是含有有限

3、元素的集合，像學校中男生的集合、學校巾女生的集合、學校巾老師的集合和學生的集合等都足有限集合。無限集合是含有的元素不是有限的集合，像自然數集合、有理數集合、實數集合等等都是無限集合。把“空集”作為一個有限集合是很自然的，并且我們很容易理解用“0”來描述“空集”中所含元素的多少。有了前面這些說明，我們就容易理解這樣一個事實：如果把“0”作為一個自然數，那么“所有自然數”就可以完整地完成刻畫“有限集合元素多少”的“任務”了。而沒有“0”的“

4、所有自然數”總是有“缺陷”，因為沒有自然數可以表示“空集”所含元素的多少。這樣，我們從“自然數的一種基本功能”方面說明了把“0”作為自然數的好處。我們還必須說明另一個問題：把“0”作為自然數，是否會影響自然數的“序數功能”和“運算功能”回答是不會的。不僅不會，還會使自然數的這兩項功能更加“完整”。先看原來沒有“O”的自然數。我們都知道不同自然數有大小之分，8大于5，1000大于999。按這樣的大小順序，所有自然數構成了一個“有順序”的集

5、合。自然數在“順序”方面的性質，除了上述性質之外，還有一利它所具有的特殊的性質：“自然數集合的任何一個非空的子集合中，一定有最小的數”。例如，在“所有偶數的集合”中，2是最小的；在“既可被5整除又叮被7祭除的自然數集合”中，35是最小的。并小足所有有“順序”性質的集合都具有這種“特殊的性質”。如果把“0”加入到傳統(tǒng)的自然數集合，新的自然數集合0，1，2……n……依然會保持原自然數集合1，2，……n…擁有的所有的“順序”性質，當然也包括那

6、種特殊的性質。對自然數的運算功能：加法和乘法來說，把“0”加入到傳統(tǒng)的自然數集合，不僅所有的“運算法則”依舊保持，如對加法卡乘法運算都是封閉的，即新自然數集合0，l，2……n……中的任何兩個自然數都可以進行加法和乘法運算，而運算結果仍然是自然數，同時也保持了加法、乘法運算的結合性和交換性以及乘法對加法的分配性。不僅如此，特別對加法運算來說，有了“0”這個特殊的數，加法運算變得更完整了。自然數的集合是中小學生見到的一個最重要的無限集合。沒