哈工大課件第6章 正弦電流電路

1、1 正弦電流,3 基爾霍夫定律的相量形式,2 正弦量的相量表示法,5 RLC串聯電路的阻抗,6 GCL并聯電路的導納,4 RLC元件上電壓與電流的相量關系,7 正弦電流電路的相量分析法,9 正弦電流電路的功率,10 復功率,11 最大功率傳輸定理,8 含互感元件的正弦電流電路,,本章目次,,在指定電流參考方向和時間坐標原點之后，正弦電流的波形如圖6.1 (b)所示。,基本要求：掌握正弦量的振幅、角頻率和初相位；正弦量的瞬時值、有效值和相

2、位差。,隨時間按正弦規(guī)律變動的電流稱為正弦電流。圖6.1（a）表示流過正弦電流的一條支路。,圖6.1 經過某支路的正弦電流、波形,,,我國電力系統標準頻率為 50Hz，稱為工頻，相應的角頻率。,,,得有效值與最大值間的關系,有效值,當周期電流 i = f ( t ) 和直流 I 分別通過相同的電阻R，若二者作功的平均效果相同，則將此直流 I 的量值規(guī)定為周期電流 i 的有效值，用 I 表示。有效值是瞬時值的平方在一個周期內的

3、平均值再開方：,,,正弦電流電路常用的幾個概念,若 則稱電壓、電流為同相。如圖（6.3a）所示:,,,，則稱 u 越前 i 于 ，即 u 比 i 先達到最大值或先達到零值。如圖6.3b所示,,,,,,,在圖6.4中,參考正弦量,,,,一旦把某一正弦量選作參考正弦量，其它同頻率的正弦量的初相也就相應被確定,圖6.4中電流 其初相

4、為- ，故 i 的波形圖較參考正弦量u 的波形圖沿橫軸右移 。,,,,,,,示波器顯示三個工頻正弦電壓的波形如圖所示，已知圖中縱坐標每格表示5V。試寫出各電壓的瞬時表達式。,,圖題6.1 示波器上顯示的三個正弦波,,設u1、 u2 和u3依次表示圖中振幅最大、中等和最小的電壓，其幅值分別為5V、10V和15V。,取 u1為參考正弦量，即,圖6.5 時域分析過程示意圖,正弦電流電路,建立電路方程 (含微積

5、分方程),,,基本要求：掌握正弦量的相量表示法原理、相量運算規(guī)則及相量圖。,得時域響應表達式,思考：正弦函數微積分或幾個同頻率正弦函數相加減的結果仍是同頻率正弦量。能否用一種簡單的數學變換方法以避免繁瑣的三角函數運算？,正弦電路電壓、電流都是隨時間按正弦規(guī)律變化的函數。在含有電感和(或)電容的正弦電路中，元件方程中含有微積分形式的方程。因此，在時域內對正弦電路進行分析時，需要建立含微積分的電路方程，分析過程如圖6.5所示。,設A是一個

6、復數，可表示為直角坐標式,極坐標式,簡寫為,比較式(6.10)和(6.11)有,,,1.復數的表示法：,[補充6.1] 把復數分別化為直角坐標式。,,復數A還可以用復平面上的點或有向線段表示—相量圖，如圖6.6,[解],,,,,,,,比較式（ 6.9)、(6. 14)得,,其中,,,2.正弦量的相量表示:,正弦量一般表達式為:,最大值相量,正弦量振幅,正弦量初相,,,,,,,,,,,,,分別寫出代表正弦量的相量,,,已知電壓相量 U

7、1m=(3-j4)V，U2m=(-3+j4)V，U3=j4V。寫出各電壓相量所代表的正弦量（設角頻率為,,,,旋轉相量—旋轉相量任何時刻在實軸上的投影對應于正弦量在同一時刻的瞬時值。,關于相量說明,1. 相量是復值常量，而正弦量是時間的余弦函數，相量只是代表正弦量，而不等于正弦量。,2. 復平面上一定夾角的有向線段 ——相量圖6.7所示,,3. 復數 的輻角是隨時間均勻遞增的，所以這一有向線段將以原

8、點為圓心反時針方向旋轉，旋轉角速度為 如圖6.8所示,,,兩個同頻率正弦量相等的充要條件是代表這兩個正弦量的相量相等。即對于所有的時間t ， 充要條件為,(1) 惟一性,(2) 線性性質N個同頻率正弦量線性組合（具有實系數）的相量等于各個正弦

9、量相量的同樣的線性組合。設 ( bk 為實數)，則,3.相量運算規(guī)則：,,,由此可見，由于采用相量表示正弦量，正弦量對時間求導運算變換為用 jω 乘以代表它們的相量的運算。這給正弦電流電路的運算帶來極大方便。,,,,根據正弦量的相量表示的惟一性和微分規(guī)則，與上述微分關系對應的相量關系式為,,,,設電感的磁鏈為正弦量 ,它所引起的感應電壓

10、也是同頻率的正弦量 寫出電壓相量和磁鏈相量的關系。,,當u和ψ的參考方向符合右螺旋定則時,,或,,,基爾霍夫電流定律KCL的相量形式：,,基爾霍夫電流定律方程的時域形式為,即：在集中電路中，任意時刻流進（或流出）節(jié)點端子電流的代數和等于零。,當方程中各電流均為同頻率的正弦量時，根據相量的惟一性和線性性質，可得基爾霍夫電流定律方程的相量形式為：,,,基本要求：透徹理解相量形式的基爾霍

11、夫定律方程,比較與線性直流電路相應方程的異同。,,,,基爾霍夫電壓定律方程的時域形式為,在集中參數電路中，任意時刻回路全部元件端對的電壓代數和等于零。,當方程中各電壓均為同頻率的正弦量時，根據相量的惟一性和線性性質，可得基爾霍夫電壓定律方程的相量形式為：,在集中參數正弦電流電路中，沿任一回路各支路電壓相量的代數和等于零。,基爾霍夫電壓定律KVL的相量形式：,,,圖 (a) 已知

12、 V， V 求節(jié)點2與3之間的電壓 ，并畫出電壓相量圖。,沿回路1231列相量形式的KVL方程為,電壓相量圖見 (b),,設代表電壓u1、u2、u23的相量分別為,,,1 電阻元件,,,有效值 相位,時域,基本要求：熟練掌握相量形式的元件方程，理解元件方程的時域形式與相量形式的對應關系。,,,時域,結論：電感上電壓比電流越

13、前 90°；電壓、電流有效值(或幅值)之比等于感抗 XL。,2 電感元件,,,電感的相量電路模型,時域：,,,,容抗,3 電容元件,[補充6.2] 圖示各電路中已標明電壓表和電流表的讀數，試求電壓 u 和電流 i的有效值。,,,,,,,,已知圖題6.6所示電路中 L=3H，C=

14、5 10-3F。試求電壓 和 。,圖題 6 . 6,,,,感抗和容抗分別為,,根據,得各電壓的時域表達式,,,,直流電路中無獨立源一端口網絡（僅由線性電阻和線性受控源組成的電路）對外可以等效成,電阻 R；,那么不含獨立源的線性交流一端口網絡，如圖6.12,它對外的等效電路是什么？,,基本要求：透徹理解阻抗的概念以及引入阻抗的理論意義。,,,根據基爾霍夫電壓定律的相量形式，圖（b）所示電路的端口

15、電壓相量方程為,,,,,,令 Z=,等效電路如圖6.13 (c)所示,6.13(b),,,分析：,XL>|XC| 時阻抗角,電壓 u 越前于電流 i ,,R、L、C串聯電路呈現感性；,XL<|XC | 時阻抗角 電壓 u 滯后于電流 i , R、L、C串聯電路呈現容性；,XL=|XC| 時阻抗角電壓 u 與電流 i 同相， R、L、C串聯電路呈現阻性。,又根據,可得,根據式,,,,,R、L、C 串聯電路（圖6

16、.13b），電壓、電流的相量圖如圖6.14所示,,有效值的關系：,相量圖,R、L、C串聯電路電壓相量圖組成直角三角形，它與阻抗三角形與相似。如圖6.15所示,,,一個電阻R=15、電感L=12mH的 線圈與C=5μF的電容器相串聯，接在電壓　　　　　　　V的電源上， =5000rad/s。試求電流i、電容器端電壓uC和線圈端電壓uW 。,,此為R、L、C串聯，其阻抗,電流相量和瞬時表達式分別為,電容電壓相量和瞬時表達式,線圈看成R

17、L串聯，其阻抗,線圈端電壓相量和瞬時表達式,,,說明：以i為參考正弦量， 比 越前90°， 比 滯后90°。將電感和電容串聯部分的電壓稱為電抗電壓，用 = + 來表示。由圖可見， 和 相位相反，電抗電壓 的振幅 應等于 和 振幅之差 。,,,,,,RLC串聯電路波形如圖6.16所示,,將GCL并聯電路的時域模型變換成相量模型，如圖6

18、.17（b）所示,以GCL并聯電路為例，如圖6.17 (a),,根據基爾霍夫電流定律的相量形式，圖6.17（b）的KCL方程相量形式為,,,基本要求：透徹理解導納的概念以及引入導納的理論意義、等效阻抗與等效導納的關系。,,GCL并聯等效電路用圖6.17 (c) 表示,即有,,,端口電流越前于電壓，GCL并聯電路呈現容性。,,,,有效值 I=,其中：,說明：Y 與 Z 等效是在某一頻率下求出的，故等效的 Z 或 Y 與頻率有關。,,,,

19、復阻抗與復導納之間的關系：,,,,GCL并聯電路的導納為,,其等效阻抗,,,=(164+j235)Ω,阻抗 Z 的虛部為正，其串聯等效電路是由電阻和感抗構成，其中等效電感為,,等效電路如右圖所示 。,,有一GCL并聯電路，其中G=2mS , L=1H , C=1 F。試在頻率為50Hz和400Hz兩種情況下求其串聯等效電路的參數。,,,,阻抗 Z 的虛部為負，表明它所對應的等效電路是由電阻和容抗串聯構成，等效電容為,,等效電路如

20、圖(b)所示,比較圖(a)、(b),可見,一個實際電路在不同頻率下的等效電路，不僅其電路參數不同，甚至連元件類型也可能發(fā)生改變。這說明經過等效變換求得的等效電路只是在一定頻率下才與變換前的電路等效。,,,[補充6.3] 在圖示電路中已知 ，w =2×103rad/s 。 (1)求 ab 端的等效阻抗和等效導納。 (2)求各元件的電壓、電流及電源電壓 u，并作

21、各電壓、電流的 相量圖。,,,,,,,,,各電壓、電流相量圖如下,,,用相量表示正弦電壓、電流并引入阻抗和導納來表示元件方程，使得相量形式的基爾霍夫定律方程和元件方程均變成了線性代數方程，和直流電路中相應方程的形式是相似的。 分析步驟如下：,1 將電阻推廣為復阻抗，將電導推廣為復導納。,2 將激勵用相量形式表示，恒定電壓、電流推廣為電壓、電流的相量。,3 按線性直流電路分析方法計算相量模型電路。,4 將所得的電壓、電流相量計算結果變換

22、成正弦表達式。,基本要求：熟練掌握正弦電流電路相量分析法原理及步驟、電路方程和電路定理的相量形式。,,,過程示意圖見下頁。,,得時域響應表達式,建立含微積分的電路方程(時域分析過程),正弦電流電路,,,正弦電流電路相量分析法過程示意如圖6.20,圖6.20 正弦電流電路相量分析法過程示意圖,,,,,,[解] 取,,L上電流滯后電壓 90o ，即,,,,,注意：電流表讀數均為有效值，有效值不滿足KCL方程，而電流相量是滿足KCL

23、方程的。,[補充6.4] 已知 的讀數是5A, 和R數值相等，求 和 的讀數。,,,即 讀數為5A, 讀數為,各電壓、電流相量圖如下,將圖(a)中時域電路模型變換為相量模型，如圖(b),設圖 (a)電路中 ， ， ，

24、 ， 求電流 。,,,,,[補充6.5] 在圖示電路中，各元件電壓、電流取關聯參考方向。設 A，寫出各元件電壓、電流相量。,,,[補充6.6] 已知圖示電路中 UR= UL= 10V，R= 10W，XC= -10W，求 IS .,,,,[補充6.7] 下圖所示電路中， ，

25、 w=100rad/s。試用支路電流法求電流 i1。,[解] 采用支路電流法。節(jié)點KCL方程,,,回路KVL方程,,,,[補充6.8]已知圖示電路中 g =1S， ， w =1rad/s。求受控電流源的電壓 u12。,[解],,,,解得,,,列寫節(jié)點電壓方程：,,[補充6.9] 在圖示 RC 移相電路中設

26、 ，試求輸出電壓uo和輸入電壓ui的相位差。,[解],,,uo越前于 ui 的相位差為,,,分析：圖示電路含理想變壓器，取節(jié)點③為參考點時節(jié)點①和②的節(jié)點電壓也是理想變壓器的端口電壓。理想變壓器是二端口元件，其端口電壓、電流不服從歐姆定律，所以不能用自導納和互導納表示其參數。這時應采用改進節(jié)點電壓法，即增加端口電流 、 為變量。,,上述節(jié)點方程包含 、 兩個未知量，因此還要引用理想變壓器本身的兩個方程,方

27、程(1)~(4)聯立便可得解,,,,列寫圖示電路的改進節(jié)點電壓方程。,圖示電路中,C=0.5F 時， ，求當 C=0.25F 時， iC = ？,,( b ),,對原電路做戴維南等效，如圖（b）所示。,,,圖(a)所示電路，正弦電壓源角頻率為ω=1000rad/s，電壓表為理想的。求可變電阻比值R1/R2為何值時，電壓表的讀數為最?。?,理想電壓

28、表的阻抗為無窮大， 為串聯，設 ， 分得分壓為,電阻電壓為,根據KVL，電壓表兩端電壓表達式為,因其虛部與 無關故當實部為零時， 的模即電壓表的讀數便是最小。因此得,,,,通過做出相量圖可進一步理解可變電阻改變時電壓表讀數的變化。設 為參考相量，由式(1)、(2)、(3)畫出相量圖如圖(b)所示。,說明：由式(1)可知，當改變可變電阻時， 的模發(fā)生變化而相位不變。再由相量圖(b)可見，當 變到與

29、 正交即式(3)括號中的實部為零時， 的長度即電壓表的讀數為最小。,,,,,,,基本要求：掌握互感元件方程的相量形式及其應用，會用支路電流法或回路電流法列寫含互感電路的方程，掌握含互感電路的等效化簡。,,,,,1 互感元件的相量模型,說明：由于互感元件方程宜表達成電壓是電流的函數，故對含互感的電路宜選用以電流為變量的分析方法，例如支路電流法和回路電流法。,圖6.21 互感元件的電路模型,列出圖6.22所示電路的方程。,,,,式中

30、 、 為互感端口電壓，根據式,,方程(1)、(4)、(5)聯立便可得解。,,,,2 含互感元件電路方程的列寫,圖6.22 例題 6.15,列出圖6.23所示電路的回路電流方程。,,,回路1,,回路2,,回路3,方程 ( 1 ) 中 和 分別為回路電流 、 通過互感在回路1中產生的電壓。,,,,,圖6.23 例題 6.16,[補充6.10] 設圖示一端口網

31、絡中 ， rad/s，求其戴維南等效電路。,[解] 用消互感法 ，如圖（b）所示,相量形式的戴維南等效電路如圖(c)所示,,,圖6.24 補題 6.10,(1) 互感在電路中常用于傳輸和變換作用，其電路結構如圖6.25 (a)所示，此時可將副邊線圈所在的電路等效到原邊,,當從原邊看進去時，相當于無源一端口網絡，可用阻抗來等效。對互感原邊和副邊所在

32、回路分別列寫KVL方程得,,即求得從原邊看進去的等效阻抗為,,等效電路如圖6.25（b）所示,,表示副邊回路阻抗對等效阻抗的影響，稱為副邊對原邊的引入阻抗，其實部和虛部分別稱為引入電阻和引入電抗。,,,圖6.25 ( a ),,3 互感的阻抗變換作用,,,(應用原邊等效電路) 下圖所示為耦合系數測試電路。設開關S分別處于斷開和接通位置時，用LCR表(一種測量二端電感、電容、電阻參數的儀器)測得a,b端等效電感為LOC=0.8H，LSC

33、=0.1H。試根據上述結果計算互感的耦合系數。,,,,開關斷開時，原邊電感就是此時的等效電感,即,,當開關接通時，輸入端口等效阻抗,將 及式(1)代入式(2)得,,,,(2) 當互感線圈的原邊接電源，則從副邊看進去時相當于含獨立源一端口網絡，可用戴維南電路或諾頓電路來等效。,,,,,當副邊開路時，端口方程簡化為,計算戴維南等效阻抗 ，根據式(6.63)，于是,等效戴維南電路如圖（b）,,,,

34、求圖 (a)電路的戴維南等效電路。,1. 瞬時功率,,,一端口網絡的端口電壓、電流分別為,則一端口網絡輸入的瞬時功率為,,,,,反映一端口網絡吸收電能,時間的正弦函數，反映一端口網絡與外部電路交換能量。它在一個周期內的平均值等于零。,基本要求：了解正弦電路瞬時功率的特點；透徹理解平均功率、無功功率、視在功率和功率因數的定義及其計算；熟練掌握RLC元件功率的特點。,一端口網絡吸收功率的平均值稱為平均功率，通常所說交流電路的功率是指平均功

35、率，定義為：,在一般情況下,2． R、L、C 各元件的功率（三種特殊情形）,1)設一端口網絡是一個電阻R，此時u與 i 同相，即 則瞬時功率,,,功率因數,功率因數角,（6.67）,,,正值電阻總是吸收功率，u 與i真實方向相同。2．電阻的平均功率為：,純電阻,,,,,,2) 設一端口網絡是一個電感L，此時電壓 u 比電流 i 越前90°,即,,,說明：,1.電感吸收瞬時功率是時

36、間的正弦函數，其角頻率為,3. pL在一個周期內的平均值等于零，即它輸入的平均功率為零，表明在一個周期內電感吸收與釋放的能量相等，是無損元件,,,,瞬時功率,,,,說明：,,,,結論：在正弦電流電路中，同相位的電壓與電流產生平均功率，且等于其有效值之積；而相位正交的電壓與電流不產生平均功率。,1. 電容吸收瞬時功率是時間的正弦函數，其角頻率為,3) 設一端口網絡是一個電容，此時端口電壓u比電流i 滯后,,,3 無功功率和視在功率

37、,(U、I 為電感或電容的端口電壓、電流有效值),,,由式(6.67)可知，一端口吸收的平均功率為,電流有功分量,,,表示電氣設備容量，單位伏/安（VA）,· 視在功率的定義,,,,線圈電阻、感抗和電感分別為：,,,,,,在工頻條件下測得某線圈的端口電壓、電流和功率分別為100V、5A和300W。求此線圈的電阻、電感和功率因數。,[補充6.11] 圖示正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知 U1=UR=100V， 滯后于的相角為60

38、°，求一端口網絡 A 吸收的平均功率。,,,提高功率因數的意義：通過減少線路電流來減小線路損耗；提高發(fā)電設備利用率。,說明：圖中電流 仍表示原來感性負載的電流， 是比電壓 越前 的電容電流。此時一端口所需電流為 ， 滯后 的相位差為 ，且 ?？梢?，由于在感性負載上并聯電容，使得一端口的功率因數由原來的 提高到

39、 ，其實際效果是使一端口電流從原來的 減小到 。,功率因數的提高,,,原理：利用電場能量與磁場能量的相互轉換，或者說利用容性無功與感性無功的相互補償，來 減少電源輸出電流的無功分量，從而減小電源的無功功率。原則：確保負載正常工作。,下圖所示電路，感性負載Z接于220V、50Hz正弦電源上，負載的平均功率和功率因數分別為2200W和0.8。(1) 求并聯電容前電源電流、無功功率和視在功率。(2) 并聯電容

40、，將功率因數提高到0.95，求電容大小、并聯后電源電流、無功功率和視在功率。,(1) 并聯電容前電源電流等于負載電流,負載功率因數角,電源無功功率等于負載無功功率,電源視在功率,(2) 并聯電容后功率因數角,有功功率不變，無功功率為,電源無功功率的差值等于電容上的無功功率,故并聯電容為,并聯電容后的電源視在功率,電源電流,,,分別用相量表示,復功率：,即：復功率等于電壓相量與電流相量共軛復相量的乘積。 復功

41、率是直接利用電壓和電流相量計算的功率。,,,,掌握復功率定義，及其與平均功率、無功功率和視在功率的關系。,可以證明，任意復雜網絡中復功率具有守恒性，即各支路發(fā)出的復功率代數和等于零：,當計算某一阻抗 所吸收的復功率時，將式 代入得,阻抗為感性時，jX前方為正號， 的虛部為正，表示感性無功功率 若為容性，jX前方為負號， 的虛部為負，表示容性無功功率,,

42、說明：其中實部代數和等于零表明：各電源發(fā)出的平均功率之和等于各負載吸收的平均功率之和；而虛部代數和等于零表明：各電源 “發(fā)出” 的無功功率代數和等于各負載 “吸收”的無功功率代數和。,,,復功率具有守恒性,[補充6.12] 圖示電路中IR=8A，IL=4A，IS=10A，XC=10?，求電流源提供的復功率及各負載吸收的復功率，并驗證復功率守恒性。,,,電流源發(fā)出復功率,R、L、C 分別吸收復功率,圖中

43、 ，求各元件功率，并判斷其類型,,,,各元件吸收功率,電源,電阻,感性電源,電容,可見,,,,,,[補充6.13] 已知圖示電路中負載1和2的平均功率和功率因數分別為 P1=80W、?1=0.8（感性）和 P2=30W、?2=0.6（容性）。試求各負載的無功功率、視在功率以及兩并聯負載的總平均功率、無功

44、功率、視在功率和功率因數。,,,,,,2,,1,,,根據功率守恒計算總有功和總無功：,視在功率和功率因數為：,電壓源 ，內阻抗 ,負載阻抗 的實部 大于零，且 與 可隨意改變，負載阻抗 從給定電源獲得最大功率的條件是,,,注： 當負載獲得最大功率時, 電源內阻和負載電阻消耗的功率相等，電能的利

45、用率只有50% .,,,,,基本要求：掌握最大功率傳輸的概念、最大功率傳輸定理的條件與結論。,最大功率傳輸定理：負載阻抗等于電源內阻抗的共軛復數時(稱為共軛匹配)，負載獲得最大功率，此時最大功率為：,2．當負載阻抗 的模 可以改變，而阻抗角 不能改變時, 負載從給定電源獲得最大功率的條件是,負載阻抗模與電源內阻抗模相等。,,獲得的最大功率為,,,,[補充6

46、.14]圖示電路中電源頻率 f =3.18 104kHz，US=1V，內阻RS=125?，負載電阻R2=200?。為使 R2 獲得最大功率，L 和 C 應為多少？求出此最大功率。,,[解],R2可獲得最大功率，此時可解得,,,精品課件！,精品課件！,,(2)圖(b)中RL折算到理想變壓器的原端為,電源發(fā)出最大功率，即,電源發(fā)出的最大功率,,,,電源發(fā)出最大功率,設圖（a）所示電路中電源電壓