八年級數(shù)學（下冊） 17.1反比例函數(shù) 函數(shù)理解三境界素材 新人教版

1、1函數(shù)理解三境界函數(shù)理解三境界凡是學數(shù)學者無不對函數(shù)概念印象深刻記憶猶新.皆因函數(shù)乃數(shù)學之基石它自始至終引領數(shù)學之潮流.欲知函數(shù)為何物必先知其來自何方圣地縱觀上下五千年方圓數(shù)萬里一切皆在運動變化之中而現(xiàn)實世界中的許多運動變化現(xiàn)象都表現(xiàn)出變量之間的依賴關系.數(shù)學上我們用函數(shù)模型描述這種依賴關系并通過研究函數(shù)的性質了解他們的變化規(guī)律.可見函數(shù)不過是我們認識世界改造世界之一種數(shù)學工具.于是在初中數(shù)學中就有了傳統(tǒng)意義的函數(shù)定義:在某一個運動變化

2、的過程中有兩個變量xy對于x在某個范圍內的每一個值按照某種對應法則f變量y都有唯一確定的值和它對應這時就說y是x的函數(shù)記為y=f(x)其中x叫做自變量x的取值范圍就是定義域對應的y的值叫函數(shù)值函數(shù)值的取值范圍就是值域.顯然這里的函數(shù)定義來自于初中物理的運動學內容其實數(shù)學就是在科學尤其是物理學發(fā)展的過程中逐漸產生并壯大起來的為了丈量土地產生了平面幾何在研究天文學的過程中產生了三角與圓錐曲線；在研究不規(guī)則圖形的面積問題中產生了微積分；而函數(shù)

3、顯然就是研究運動變化的規(guī)律中出現(xiàn)的，因而它的概念有明顯的物理背景.但在現(xiàn)實中，函數(shù)本身的概念常常被遺忘，一提到函數(shù)，我們立刻會聯(lián)想到正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，我想這大概是先入為主的緣故吧！因為認識事物，往往第一印象是很關鍵的，可對函數(shù)概念這樣的理解，就只能算是初級境界了，畢竟在諸多函數(shù)中，上述幾類具體函數(shù)只不過是特例而已，更多的函數(shù)并不見得能歸入這些類型，何況，能寫出表達式的函數(shù)也是很有限的.高中一年級的學生，基本是停

4、留在這個境界的，有些甚至還達不到這樣的要求，他的印象中只有函數(shù)、正比例、反比例、一次、二次這樣的名稱，要進一步問他具體內容，就只能搖頭說不明白了.從高中進校開始，我們接觸到了集合的概念，包括集合間的包含關系，運算關系等，許多同學不明白為什么要學習集合，等到函數(shù)定義出來時才知道，原來現(xiàn)在的函數(shù)定義是建立在兩個非空數(shù)集上的一種對應，包括一對一、多對一兩種情形.由原來運動變化基礎上的定義到如今建立在兩個集合對應之上的定義，這是一種視角的改變，

5、也是一種觀念的更新，這個所謂“近代定義”中有幾點需要注意：一是必須是兩個非空的數(shù)集A和B，而不是其他的集合；二是對A中的任意一個元素x在對應關系f的作用之下，在B中必有一個元素f(x)與它對應；三是f:A→B中A、B是有順序的，有主次之分的；四是明白A是所有x的集合，叫做函數(shù)的定義域，所有對應元素f(x)的集合f(x)|x∈A叫做函數(shù)的值域，特別要清楚，一般情況下值域f(x)|x∈A是集合B的子集，言下之意B中可以有元素不是A中元素的對

6、應元素.對于函數(shù)概念一定要把握其三要素：定義域、對應關系和值域，還要堅持一個原則：定義域優(yōu)先.對集合觀點下的函數(shù)定義如果能抓住這樣幾點，就說對函數(shù)概念的理解又上升了一個層次，達到了更高的境界.然而我們更重要的是應該明白：函數(shù)雖然有解析法、列表法和圖象法等常用的方法來表示，但函數(shù)不光是像正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等這樣既能夠用解析法來表示，又能夠用列表法和圖象法來表示的，還有許多的函數(shù)關系只能用圖象表示，如現(xiàn)在證券公司的大

7、屏幕上顯示的“股價走勢圖”，，或者只能用列表的辦法來表示的，如年份與國內生產總值（GDP）的對應關系，而且還有的函數(shù)需要在不同的范圍內用不同的解析2式來表示，就稱為“分段函數(shù)”，如出租車的收費與行駛路程的函數(shù)關系，郵寄包裹時的費用與包裹重量的函數(shù)關系等.學習到這里，不僅需要掌握函數(shù)的基本表示方法，還要明確什么樣的函數(shù)用什么樣的方法表示是適當?shù)?，要學會在具體問題中選擇恰當?shù)姆椒▉肀硎竞瘮?shù)關系，另外還要掌握常見函數(shù)的三種表示方法之間的相互轉

8、化，尤其是提高學生的讀圖能力，使之能充分利用函數(shù)圖像提供的信息，解決相關問題，強化數(shù)形結合意識.既然函數(shù)是描述事物運動變化規(guī)律的數(shù)學模型，那么了解了函數(shù)的變化規(guī)律，也就基本把握了相應事物的變化規(guī)律.因此研究函數(shù)的性質，如函數(shù)在什么時候遞增或遞減，有沒有最大值或最小值，函數(shù)圖象圖有什么特征等，是非常重要和必要的.這里就涉及函數(shù)的單調性與最值，函數(shù)的奇偶性等.要從數(shù)量與圖形兩個方面對函數(shù)的單調性有所把握，即要學會利用定義判斷一個函數(shù)在某個區(qū)