分段光滑系統(tǒng)的滑動(dòng)分支與高維系統(tǒng)的極限環(huán).pdf

1、在這篇論文里，我們研究了幾類平面含參數(shù)的分段光滑系統(tǒng)的滑動(dòng)分支現(xiàn)象。通過運(yùn)用分段光滑系統(tǒng)的Filippov理論和微分方程定性理論，我們系統(tǒng)地研究了兩類分段光滑線性二次系統(tǒng)的滑動(dòng)分支和極限環(huán)的問題，得到了一些新的分支現(xiàn)象。此外，我們運(yùn)用平均法和代數(shù)幾何中的Bezout定理證明了高維空間中多項(xiàng)式微分系統(tǒng)極限環(huán)的數(shù)目不僅是系統(tǒng)維數(shù)的指數(shù)函數(shù)而且是系統(tǒng)次數(shù)的冪函數(shù)，推廣和改進(jìn)了前人的結(jié)果。
　　 在論文的第一部分，我們研究了一類含參數(shù)的

2、分段光滑的線性二次系統(tǒng)。證明了這類系統(tǒng)可以出現(xiàn)滑動(dòng)穿越分支、滑動(dòng)同宿分支、滑動(dòng)Hopf分支和2-重極限環(huán)分支等復(fù)雜的分支現(xiàn)象。還證明了這類系統(tǒng)恰好可以出現(xiàn)2個(gè)雙曲極限環(huán)。而且，我們還研究了軌線不具有滑動(dòng)現(xiàn)象時(shí)的情形，得到了異宿軌、同宿軌的存在性和極限環(huán)的存在性、唯一性等結(jié)論。
　　 Kuznetsov與其合作者在文獻(xiàn)[Int.J.Bifur.Chaos.13(2003)，2157-2188]中分析了滑動(dòng)穿越分支和滑動(dòng)同宿分支現(xiàn)象

3、，并通過數(shù)值分析顯示了這些分支現(xiàn)象的存在性。我們的結(jié)果通過具體的系統(tǒng)，從理論上證明了這些復(fù)雜的分支現(xiàn)象的存在性。而且通過一個(gè)例子就得到了所有這些復(fù)雜的分支現(xiàn)象。
　　 在論文的第二部分，我們分析了另一類平面分段光滑的線性二次系統(tǒng)的滑動(dòng)分支，得到了一種新的分支現(xiàn)象，即：滑動(dòng)異宿分支現(xiàn)象。據(jù)我們所知，滑動(dòng)異宿分支是由我們首次發(fā)現(xiàn)的新的分支現(xiàn)象。而且，我們還證明了該系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)異宿分支、滑動(dòng)同宿分支和半穩(wěn)定極限環(huán)分支等現(xiàn)象。此外，該類系

4、統(tǒng)可以恰好有2個(gè)雙曲極限環(huán)。在主要結(jié)論的證明中，我們將運(yùn)用奇異攝動(dòng)理論來分析分段光滑系統(tǒng)在滑動(dòng)區(qū)域附近的動(dòng)力學(xué)行為。該思想來源于文獻(xiàn)[C.A.Buzzi，P.R.da Silva and M.A.Teixeira，J.Diff.Eqns.231(2006)，633-655]中的工作。但該文中blow-up區(qū)間的選取和相圖都有一些錯(cuò)誤，我們改正了這些錯(cuò)誤，并運(yùn)用改正后的結(jié)果證明滑動(dòng)異宿分支的存在性。
　　 在論文的第三部分，我們將

5、用平均法和代數(shù)幾何的Bezout定理研究R竹中一類光滑系統(tǒng)的Hopf分支。我們證明了高維系統(tǒng)從一個(gè)奇點(diǎn)分支出的極限環(huán)的個(gè)數(shù)不僅是系統(tǒng)維數(shù)的指數(shù)函數(shù)而且是多項(xiàng)式微分系統(tǒng)次數(shù)的冪函數(shù)，改進(jìn)了文獻(xiàn)[Llibre and Zhang，Pacific J.Math.240(2009)，321-341]中的結(jié)果。他們的結(jié)論只證明了從Hopf分支產(chǎn)生的極限環(huán)的個(gè)數(shù)是系統(tǒng)維數(shù)的指數(shù)函數(shù)。
　　 此外，我們利用平均法研究了從一類四維系統(tǒng)的周期軌線

6、族中擾動(dòng)后分支出極限環(huán)的問題。當(dāng)擾動(dòng)函數(shù)是分段光滑的n次函數(shù)時(shí)，我們證明了從該系統(tǒng)的周期軌線族中至多能分支出3個(gè)極限環(huán)，其中n≥2，n∈N。我們的結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[C.A.Buzzi，J.Llibre and J.c.Medrado，On thelimit cycles of a class of piecewise linear differential systems in()4 with twozones。preprint，2010