代數(shù)表示理論的箭圖方法的若干研究.pdf

1、表示論是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個重要分支.為了研究一些抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)及其上面的模，表示論的主要思想是先把該代數(shù)結(jié)構(gòu)中的元素表示成為向量空間之間的線性變換，然后通過研究這些線性變換來研究代數(shù)結(jié)構(gòu)本身.本文主要利用箭圖的方法來研究解決代數(shù)表示理論中的若干問題.同時，我們還研究了代數(shù)表示理論和叢代數(shù)理論的某些結(jié)合部分，即傾斜理論和叢傾斜理論對應(yīng)的箭圖之間的關(guān)系.
　　本文的主要結(jié)果分為五個部分.在簡要的回顧和預(yù)備知識介紹后，首先，在第3章我們根

2、據(jù)傾斜理論和從傾斜理論之間內(nèi)在的聯(lián)系，探討了一個圖何時既是一個遺傳代數(shù)的傾斜圖又是另一個遺傳代數(shù)的叢傾斜圖.我們回顧了遺傳代數(shù)傾斜圖和叢傾斜圖的定義，并說明了對于同一個遺傳代數(shù)，其傾斜圖一定是其叢傾斜圖的子圖.接著證明了這一部分的主要結(jié)果，即一個圖既是一個遺傳代數(shù)的傾斜圖又是另一個遺傳代數(shù)的叢傾斜圖的充要條件是這個圖是一類特殊的多面體-Stasheff多面體的骨架圖.對此我們給出了兩種不同的證明，第一種是純代數(shù)的，第二種更加側(cè)重于幾何和

3、組合.在第一部分的最后，我們進一步考慮了傾斜理論和叢傾斜理論的一致性，并且用其單純復(fù)形的例子說明這種一致性并不一定總是可以實現(xiàn)的.
　　其次，由于在霍普夫代數(shù)的表示理論和量子群中，如何計算出一個霍普夫代數(shù)的表示環(huán)，即刻畫其表示的張量積以及詳細寫出兩個不可分解表示的張量積的直和分解是一個重要的課題，因此在第4章我們詳細計算出了一類特殊的代數(shù)-Nakayama截斷代數(shù)的表示環(huán)，雖然其定義和計算過程與文章[15]，[49]很相似，但是我

4、們發(fā)現(xiàn)其余代數(shù)結(jié)構(gòu)是不一樣的，因此，我們首先給出了其余代數(shù)結(jié)構(gòu)的具體表達.同時，在計算的過程中，我們引入了帕斯卡三角的新工具，并且用一個實際的結(jié)果說明我們的結(jié)論與文章[15]，[49]的結(jié)論的確是不一樣的.在我們精確的用多項式環(huán)的商環(huán)來表示Nakayama截斷代數(shù)的表示環(huán)的同時，我們還考慮了下面問題，兩個不同的Nakayama截斷代數(shù)的表示環(huán)是否可能是同構(gòu)的？為了解決這個問題，我們用到了代數(shù)幾何中的簇，根理想和齊次坐標環(huán)的概念，并對這一

5、問題得到了初步的結(jié)果.
　　接著，在第5章我們把第4章中的表示環(huán)理論進行了推廣，我們把Hopf代數(shù)的模范疇對應(yīng)的表示環(huán)推廣到了更一般的monoidal范疇對應(yīng)的Green環(huán).這一推廣不僅包括了模范疇對應(yīng)的表示環(huán)，還包括了其復(fù)形范疇和導(dǎo)出范疇分別對應(yīng)的平移環(huán)和導(dǎo)出環(huán).因此，在這一部分我們首先給出了一般的monoidal范疇對應(yīng)的Green環(huán)的定義.接著我們得到了模范疇的復(fù)形范疇和導(dǎo)出范疇分別對應(yīng)的平移環(huán)和導(dǎo)出環(huán)的多項式刻畫.最后我們

6、對于第二部分考慮的代數(shù)-Nakayama截斷代數(shù)，詳細計算了其復(fù)形范疇的平移環(huán)，并得到了其導(dǎo)出范疇的導(dǎo)出環(huán)的部分結(jié)果.
　　在第6章，我們用代數(shù)表示論中著名的Auslander-Reiten箭圖的組合性質(zhì)證明了如下結(jié)果:對于一個遺傳代數(shù)，其上面的某個模是可分傾斜模當(dāng)且僅當(dāng)由這個模生成的最小加法子范疇是該代數(shù)的模范疇的一個切片.作為該結(jié)果的一個應(yīng)用，我們考慮了可分傾斜模在所有傾斜模中的比重，并證明了對于某一類特殊的代數(shù)，其比重可以任

7、意小，即無限趨近于零.
　　最后在第7章，我們給出了最近正在逐步完善的工作，即叢子代數(shù)的概念.首先我們回顧了Fomin和Zelevinsky對于全正矩陣與叢代數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，并介紹了其運用的工具-平面網(wǎng)格圖和雙線圖.接著，我們得到了這一部分的第一個結(jié)果，給出了矩陣乘法半群的比較小的一類生成元-廣義初等Jacobi矩陣.最后，把全正矩陣與叢代數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系推廣到具有某種“正性質(zhì)”的矩陣類上面，在這里我們主要考慮的是正定矩陣，并且