廣義測(cè)度空間上的模糊度量及其收斂問(wèn)題研究.pdf

1、廣義測(cè)度（包含非可加測(cè)度和模糊測(cè)度）作為模糊集理論的一個(gè)分支，最早形成于20世紀(jì)70年代，它與廣義積分是經(jīng)典測(cè)度與積分的延拓，與調(diào)和分析、微分方程、差分方程和最優(yōu)化理論有著緊密聯(lián)系，同時(shí)在多準(zhǔn)則決策、信息集成、模式識(shí)別和回歸分析等方面也有著廣泛應(yīng)用.模糊度量空間理論是模糊拓?fù)鋵W(xué)中的一個(gè)重要組成部分.近十年來(lái)基于三角模的模糊度量理論備受關(guān)注.學(xué)者們?cè)谕陚浠?、收斂、緊致性、一致連續(xù)、不動(dòng)點(diǎn)等方面取得一系列漂亮的結(jié)果.另外，模糊度量空間理論還

2、與廣義測(cè)度、Domain理論、圖像處理等結(jié)合繁衍出許多新的研究課題.
　　收斂問(wèn)題是測(cè)度論和拓?fù)鋵W(xué)中的核心問(wèn)題，而利用度量理論研究測(cè)度的收斂問(wèn)題，更是拓?fù)錅y(cè)度研究的重要領(lǐng)域，也是拓?fù)鋵W(xué)與測(cè)度論密切聯(lián)系的重要體現(xiàn).本文主要研究廣義測(cè)度與模糊度量之間的聯(lián)系，通過(guò)在廣義測(cè)度空間上構(gòu)造模糊度量，研究廣義測(cè)度空間上的收斂問(wèn)題及其在廣義測(cè)度擴(kuò)張上的應(yīng)用.因此，本文研究結(jié)果將進(jìn)一步豐富和完善廣義測(cè)度理論和模糊度量理論，并為廣義測(cè)度論的應(yīng)用提供更

3、為堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).
　　本文以關(guān)注度較高的兩類廣義測(cè)度（可分解測(cè)度和模糊測(cè)度）為研究對(duì)象，主要圍繞以下三個(gè)問(wèn)題展開(kāi)研究:(1)廣義測(cè)度與模糊度量相互誘導(dǎo)的方法;(2)廣義測(cè)度空間與模糊度量空間性質(zhì)的相互刻畫;(3)應(yīng)用上述結(jié)果研究廣義測(cè)度空間上的收斂、擴(kuò)張等問(wèn)題.全文共六章，主要研究工作分四個(gè)部分:
　　第一部分研究可分解測(cè)度空間上的廣義度量.在可測(cè)集上定義一個(gè)等價(jià)關(guān)系，并在其構(gòu)造的商集上誘導(dǎo)一個(gè)廣義度量;討論所誘導(dǎo)的廣義度

4、量空間的連續(xù)性、完備性等性質(zhì);研究所構(gòu)造的廣義度量空間與σ-⊥-可分解測(cè)度空間性質(zhì)的相互刻畫.研究發(fā)現(xiàn)，σ-⊥-可分解測(cè)度空間上的μ-可分性、無(wú)原子的性質(zhì)在廣義度量空間中可以得到有效刻畫.
　　第二部分研究模糊測(cè)度空間上的模糊度量.通過(guò)在模糊可測(cè)空間上定義模糊可測(cè)集的模糊度量，探討所構(gòu)造的模糊度量空間與在模糊可測(cè)空間上構(gòu)造的模糊測(cè)度空間之間性質(zhì)的相互刻畫.沿用第一部分的研究思路，基于給定的模糊測(cè)度，通過(guò)在模糊可測(cè)集上構(gòu)造等價(jià)類，并

5、在其商集上定義模糊度量;討論所構(gòu)造的模糊度量的完備性、連續(xù)性等性質(zhì);證明了模糊測(cè)度空間的無(wú)原子性質(zhì)在所構(gòu)造的模糊度量空間上可以很好地刻畫.結(jié)論表明，當(dāng)t-模取min時(shí)，經(jīng)典結(jié)果可以在模糊背景上得到推廣.
　　第三部分研究可分解測(cè)度擴(kuò)張的廣義偽度量方法.應(yīng)用第一部分的研究結(jié)果，給出σ-⊥-可分解測(cè)度從A到S(A)上的擴(kuò)張，即為所誘導(dǎo)的廣義偽度量空間上子集的閉包.研究廣義偽度量方法擴(kuò)張與σ-⊥-可分解測(cè)度完備化以及Carathédor

6、y擴(kuò)張之間的關(guān)系.結(jié)果表明，利用廣義偽度量方法的σ-⊥-可分解測(cè)度擴(kuò)張與σ-⊥-可分解測(cè)度的完備化以及Carathédory擴(kuò)張結(jié)果是一致的，但是廣義偽度量方法更加直觀、有效.
　　第四部分研究可分解測(cè)度空間上的Vitali-Hahn-Saks定理.應(yīng)用第一部分的研究結(jié)果討論可分解測(cè)度序列的集合式收斂問(wèn)題.利用廣義度量空間上的Baire定理等重要結(jié)論，證明可分解測(cè)度空間上的Vitali-Hahn-Saks定理，Nikodym定理.