精細積分方法的改進及其在動力學(xué)與控制中的應(yīng)用.pdf

1、常微分方程組的數(shù)值計算一直是備受人們關(guān)注的領(lǐng)域，對此已發(fā)展了豐富的數(shù)值方法。近年來，精細積分方法得到廣泛關(guān)注，已擴展到時變、非線性微分方程、偏微分方程的求解，并成功地應(yīng)用到結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)、隨機振動、波導(dǎo)、熱傳導(dǎo)以及最優(yōu)控制等領(lǐng)域，為不同領(lǐng)域的數(shù)值計算提供了一個高精度、高穩(wěn)定性的算法平臺，值得深入研究。另一方面，控制領(lǐng)域?qū)?shù)值計算的關(guān)注度和重要性意識正在加強，而合適的理論框架對于構(gòu)造高性能算法有重要意義?，F(xiàn)代控制論所奠基的狀態(tài)空間法的起點至

2、少也應(yīng)回溯到Hamilton正則方程體系，表明經(jīng)典力學(xué)與現(xiàn)代控制論有共同的數(shù)學(xué)形式和理論基礎(chǔ)，兩個學(xué)科的問題是相互對應(yīng)的。因此，借鑒力學(xué)中成熟的有限元、子結(jié)構(gòu)分析等方法，展開對最優(yōu)控制領(lǐng)域數(shù)值方法和控制系統(tǒng)設(shè)計的研究是有意義的。本論文以發(fā)展高效、可靠的數(shù)值算法為主線，改進了精細積分算法平臺的性能，研究了時滯、時變、非線性系統(tǒng)最優(yōu)控制的數(shù)值計算和控制器設(shè)計等問題，開發(fā)了最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計工具箱并將其應(yīng)用于衛(wèi)星編隊飛行控制的研究。主要工作如下

3、：
　　 (1)采用矩陣函數(shù)逼近理論，提出了基于Pade級數(shù)逼近的矩陣指數(shù)精細積分方法中加權(quán)參數(shù)N和級數(shù)展開項數(shù)q的遞推自適應(yīng)選擇算法，提高了精細積分方法的計算效率。并與MATLAB內(nèi)置函數(shù)expmO進行了比較，表明本文方法在達到相同的效率的同時具有更高的精度和穩(wěn)定性。
　　 (2)提出了動力初值問題中非齊次項產(chǎn)生的Duhamel積分響應(yīng)矩陣的擴展精細積分方法(EPIM)，該方法不需對系統(tǒng)矩陣(或相關(guān)動力矩陣)求逆。當(dāng)非

4、齊次項為多項式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正/余弦函數(shù)及其組合函數(shù)的形式時，可以得到計算機意義上的精確解。并推廣應(yīng)用于：1)與虛擬激勵法結(jié)合，應(yīng)用于隨機振動響應(yīng)的計算；2)結(jié)合傳統(tǒng)數(shù)值積分技術(shù)(如Taylor級數(shù)單步法和Adams多步法)，構(gòu)造了求解非線性微分方程的顯式/隱式算法；3)利用系數(shù)周期性交化的特點，導(dǎo)出了周期時變Floquet轉(zhuǎn)移矩陣和一類非線性周期系統(tǒng)響應(yīng)的計算格式；等。算例表明，基于擴展精細積分方法構(gòu)造的算法提高了數(shù)值穩(wěn)定性和適用范

5、圍，具有高效、高精度、高穩(wěn)定性的優(yōu)點。
　　 (3)提出了兩點邊值問題中非齊次項產(chǎn)生的區(qū)段響應(yīng)矩陣的擴展精細積分方法(EPIM)，當(dāng)非齊次項為多項式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正/余弦函數(shù)及其組合函數(shù)的形式時，可以得到計算機意義上的精確解。在此基礎(chǔ)上，研究了一班非齊次項的處理方法以及在無限長區(qū)段和變系數(shù)兩點邊值問題中的應(yīng)用。還結(jié)合周期時變Floquet轉(zhuǎn)移矩陣的擴展精細積分方法，導(dǎo)出了周期變系數(shù)Riccati、Lyapunov、Sylves

6、ter等矩陣微分方程的保結(jié)構(gòu)算法，數(shù)值算例驗證了算法的有效性。
　　 (4)對時滯系統(tǒng)的凰最優(yōu)控制和濾波進行了研究。首先采用擴展精細積分方法對連續(xù)時滯系統(tǒng)方程和性能指標離散化，以最大程度地保證與原系統(tǒng)的等價性。然后引入合適的增維向量，化為不顯含時滯的標準離散形式，采用區(qū)段混合能方法和擴展W-W算法進行計算分析，增強了增維方法的可行性，從而為時滯Ho最優(yōu)控制和濾波系統(tǒng)的分析和設(shè)計提供了一套精確、穩(wěn)定的算法。并導(dǎo)出了含輸入時滯的尼。

7、全信息控制器，應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)的減振控制，仿真顯示對于不同的時滯量和地震激勵形式，結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)都得到了有效抑制，驗證了控制器的有效性。
　　 (5)時變、非線性最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計導(dǎo)出Hamilton系統(tǒng)兩點邊值問題，其數(shù)值算法應(yīng)該保辛。本文在區(qū)段分析的框架下，提出了時變Hamilton兩點邊值問題基于常值精·細積分的保辛攝動方法，導(dǎo)出了零階、攝動系統(tǒng)分別基于區(qū)段混合能矩陣和區(qū)段傳遞矩陣的組合公式以及對應(yīng)關(guān)系，指出前者具有內(nèi)在的穩(wěn)定

8、性從而是更好的選擇。進一步提出了時變非齊次Hamilton兩點邊值問題的保辛攝動方法，并應(yīng)用于非線性最優(yōu)控制問題的迭代計算，結(jié)果表明，迭代過程中關(guān)鍵算法的改進顯著地提高丁收斂速度，降低了對初始迭代值的敏感性，說明保辛攝動方法是一種高精度和穩(wěn)定的算法。
　　 (6)傳統(tǒng)終端控制器往往存在終端高增益或奇異現(xiàn)象，只好在靠近終端區(qū)段采用開環(huán)控制。本文引入終端“軟約束項”改進了性能指標，并利用Lagrange乘子的常數(shù)本質(zhì)，構(gòu)造了非奇異的

9、、兩個區(qū)段都具有反饋.前饋控制結(jié)構(gòu)的終端控制器。分析了引入的“軟約束項”對構(gòu)造反饋結(jié)構(gòu)控制器的重要影響，對于最小能量控制問題尤為重要。進一步利用區(qū)段混合能矩陣構(gòu)造了反饋增益矩陣和控制系統(tǒng)方程的閉合解，導(dǎo)出了保結(jié)構(gòu)遞推算法，方便了控制器的設(shè)計與實現(xiàn)。并將該方法推廣應(yīng)用于離散時間系統(tǒng)的終端控制器設(shè)計。
　　 (7)針對當(dāng)前主流商業(yè)控制系統(tǒng)設(shè)計軟件MATLAB缺乏有限長時間時變最優(yōu)控制器設(shè)計功能的現(xiàn)狀開發(fā)了PIMCSD Toolbox