畢業(yè)論文-淺談均值不等式在生活中的應(yīng)用價(jià)值

1、<p>　　淺談均值不等式在生活中的應(yīng)用價(jià)值</p><p>　　[摘 要] 均值不等式是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的不等式，它的許多性質(zhì)對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題都有很大的幫助，在現(xiàn)實(shí)生活中也有著廣泛的應(yīng)用.而且形式眾多，主要體現(xiàn)在度量方面、造價(jià)銷售方面、決策判斷方面、足球射門等方面，只要我們善于思考，必將發(fā)現(xiàn)均值不等式在生活中有更多更廣的應(yīng)用價(jià)值.</p><p>　　[關(guān)鍵詞] 均值不等式　平均

2、數(shù) 最值 生活 應(yīng)用</p><p><b>　　一、引言</b></p><p>　　均值不等式是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的不等式.它的許多性質(zhì)對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題都有很大的幫助，在現(xiàn)實(shí)生活中也有著廣泛的應(yīng)用.可以說(shuō)，均值不等式的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和應(yīng)用也是數(shù)學(xué)文化的精髓所在.這對(duì)于我們來(lái)說(shuō)是一項(xiàng)巨大的財(cái)富.但是我們要注意，求解最值時(shí)請(qǐng)一定要注意相等的條件，若多次利用均值不等式求解最

3、值，則必須注意這些不等式等號(hào)成立的條件是否一致，只有在一致的條件下才有可能達(dá)到最值.</p><p>　　二、均值不等式的有關(guān)概念與結(jié)論</p><p><b>　　幾種平均數(shù)的概念</b></p><p>　　這幾種平均數(shù)在高中的課程中就已經(jīng)有介紹了，分別為算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù).，它們的定義如下：</p>

4、<p>　　定義一：若均為正數(shù)，我們就稱為的算術(shù)平均數(shù).</p><p>　　定義二： 若均為正數(shù)，我們就稱為的幾何平均數(shù).</p><p>　　定義三：若均為正數(shù)，我們就稱為的調(diào)和平均數(shù).</p><p>　　定義四:若均為正數(shù)，我們就稱為的平方平均數(shù).</p><p>　　(二)均值不等式的重要結(jié)論</p>&

5、lt;p>　　均值不等式是不等式中比較重要的一類不等式，也是應(yīng)用比較廣的一類不等式，下面將給出一般的結(jié)論和常用的結(jié)論，以及均值不等式在求最值時(shí)實(shí)用的定理.均值不等式在數(shù)學(xué)中不同的地方有不同的具體形式，但是萬(wàn)變不離其宗，它們都是有規(guī)律可循的.</p><p>　　對(duì)于上述四種平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù)的大小比較，我們有一般的結(jié)論：</p><p><b

6、>　　,</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取“”號(hào)，這幾個(gè)數(shù)依次為調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算數(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù).在實(shí)際解題中，和兩種情況是最常見(jiàn)的，特闡述如下：</p><p>　　當(dāng)時(shí)，我們可以得到一個(gè)一般的二元均值不等式</p><p><b>　　，</b></p><p><

7、;b>　　通常寫作</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　但是通常我們用的最多的是上述的變式，如</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　特別地，

8、當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述的“”才成立.</p><p>　　當(dāng)時(shí)，我們可以得到一個(gè)一般的三元均值不等式：</p><p>　　，同二元均值不等式一樣，也有變式如下：</p><p><b>　??；</b></p><p><b>　　；</b></p><p><b>　　

9、.</b></p><p>　　特別地，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述的“”才成立.</p><p>　　有上述的一般結(jié)論和變式可以推得：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，其其乘積有最大值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的乘積一定時(shí)，其和有最小值，我們稱其為最值定理.</p><p>　　三、利用均值不等式解決應(yīng)用性問(wèn)題</p><p>　　生活中經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題，如為資源

10、不能合理利用而發(fā)愁，因?yàn)椴荒茏龀龊侠淼臎Q策而傷腦筋等等問(wèn)題，只要我們善于發(fā)現(xiàn)，這些問(wèn)題就可以被均值不等式所征服.生活中有很多這樣的問(wèn)題都可以用均值不等式來(lái)解決，主要體現(xiàn)在度量方面、造價(jià)銷售方面、決策判斷方面、足球射門方面，比如怎么合理地使用已知的材料去獲得最大的需求，或者給出已知的要求怎么安排才能讓使用材料最少，主要有關(guān)于度量、造價(jià)和銷售方面的問(wèn)題.</p><p>　?。ㄒ唬?yīng)用均值不等式解決度量類問(wèn)題<

11、/p><p>　　隨著地球上人口越來(lái)越多，諸多的徒弟問(wèn)題也接踵而來(lái)，如住房問(wèn)題、資源問(wèn)題等，怎樣省錢，怎樣合理的利用資源是當(dāng)今要解決的問(wèn)題。為了解決這些問(wèn)題，運(yùn)用均值不等式,你可以輕松得到合理的利用資源的方法. </p><p>　　例1 有個(gè)半徑為的球形材料，現(xiàn)在我們想利用這個(gè)材料制作一個(gè)最大體積的正三棱錐工藝品（不得拼裝），求這個(gè)工藝品的最大體積值.</p><p

12、>　　分析 首先我們要把應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，然后再用數(shù)學(xué)知識(shí)解決.</p><p>　　解 如圖1，設(shè)球的內(nèi)接正三棱錐為，為其高，為底面的中心，則必須經(jīng)過(guò)球心，延長(zhǎng)交球于，設(shè)正的半徑為.</p><p>　　易知，，由圓的性質(zhì)：</p><p>　　所以

13、 </p><p>　　, 圖1 </p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng) ，即時(shí)，取最大值. </p><p>　　因此這個(gè)工藝品的最大體積值為.</p><p>　　毫無(wú)疑問(wèn)，本題利用了上述的結(jié)論3

14、：如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.不同的是，本題是三元的均值不等式，將兩邊同時(shí)立方，就得到，所以本題能輕松的求出正三棱錐的體積最大值.</p><p>　　例2 一段長(zhǎng)為的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各位多少時(shí)，菜園的面積最大？最大的面積是多少？</p><p>　　解 設(shè)垂直于墻的一邊為，則平行于墻的一邊為，其中,其面積</p><p>

15、;<b>　　,</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng) ，即時(shí)菜園面積最大，</p><p>　　即菜園平行于墻的一邊為，垂直于墻的一邊為時(shí)，菜園面積最大值為. </p><p>　?。ǘ?yīng)用均值不等式解決造價(jià)費(fèi)用問(wèn)題</p><p>　　例3 某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為，深為，如果池底每的造價(jià)為元，

16、池壁每的造價(jià)為元，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低造價(jià)是多少元？</p><p>　　解 設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為，則另一邊的長(zhǎng)度為，又設(shè)水池的總造價(jià)為元，根據(jù)題意，得</p><p>　　當(dāng)，即時(shí)，有最小值.</p><p>　　因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是元.</p><p>　　本題利用這個(gè)不等

17、式，簡(jiǎn)潔方便，清晰明了.</p><p>　　例4 某工廠購(gòu)買某種設(shè)備時(shí)費(fèi)用為萬(wàn)元,每年的設(shè)備運(yùn)營(yíng)費(fèi)為千元,設(shè)備的維修費(fèi)為第一年千元,第二年千元……依每年千元遞增,問(wèn)該設(shè)備使用多少年報(bào)廢最合算?(使用多少年平均費(fèi)用最少).</p><p>　　解 設(shè)該設(shè)備使用年報(bào)廢，前年的平均費(fèi)用為萬(wàn)元.</p><p>　　由題知，每年的使用費(fèi)及維修費(fèi)總和構(gòu)成首項(xiàng)為公差為的等

18、差數(shù)列，有等差數(shù)列求和公式得，前年的總使用費(fèi)及維修費(fèi)為元，</p><p><b>　　則前年的平均費(fèi)用為</b></p><p><b>　　當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，.</b></p><p>　　因此，該設(shè)備使用年報(bào)廢最合算.</p><p>　　在這個(gè)解題過(guò)程中，除了應(yīng)用等差數(shù)列求和的有關(guān)知識(shí)，還應(yīng)用了

19、均值不等式求最值，即 .</p><p>　　例5 圍建一個(gè)面積為的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為的進(jìn)出口，如圖所示.已知舊墻的維修費(fèi)用為元/，新墻的造價(jià)為元/.設(shè)利用的舊墻長(zhǎng)度為(單位：)，修建此矩形場(chǎng)地圍墻總費(fèi)用為(單位：元).</p><p><b>　　將表示為的函數(shù)；</b>&

20、lt;/p><p>　　試確定，使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用.</p><p>　　解 如圖2，設(shè)垂直于墻的一邊為，</p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由已知,</b

21、></p><p>　　得 </p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以 圖2</p><p>　　. 圖2</p&g

22、t;<p><b>　　因?yàn)?，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　故 </p><p><b>　??；</b></p>&l

23、t;p>　　且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.</p><p>　　當(dāng)時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是元.</p><p>　?。ㄈ?yīng)用均值不等式處理決策判斷類問(wèn)題</p><p>　　眾所周知，商界競(jìng)爭(zhēng)激烈，很多時(shí)候都要面臨著選擇，為企業(yè)的生存和發(fā)展披荊斬棘.合理的決策將有利于企業(yè)的立足和發(fā)展,如果不合理，企業(yè)必將虧損，甚至有可能直接導(dǎo)致企業(yè)的破產(chǎn)，所以企業(yè)在策劃

24、這方面時(shí),應(yīng)該運(yùn)用均值不等式檢測(cè)是否合理.</p><p>　　例6 某商品計(jì)劃兩次提價(jià)，有甲、乙、丙三種方案，其中，</p><p>　　經(jīng)兩次提價(jià)后，哪一種方案的提價(jià)幅度最大？為什么？</p><p>　　分析 均值不等式也可以用在價(jià)格方面，比如成本價(jià)和銷售價(jià)之間的關(guān)系如何平衡才能使利潤(rùn)最大，這是基本所有商人都追求的.本題就是借助均值不等式來(lái)解決此類問(wèn)題的.

25、</p><p>　　解 根據(jù)判斷丙方案的提價(jià)幅度最大，理由如下：</p><p>　　設(shè)原價(jià)為元，那么請(qǐng)看兩次提價(jià)后的價(jià)格分別為</p><p><b>　　甲方案 元；</b></p><p><b>　　乙方案 元；</b></p><p>　　丙方案

26、 元.</p><p>　　顯然甲乙方案提價(jià)后的價(jià)格一樣，所以提價(jià)幅度一樣，所以只要比較甲丙兩個(gè)方案.</p><p>　　用作差法得到結(jié)果如下：</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　，且；

27、</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故

28、</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此，丙方案的提價(jià)幅度最大.</p><p>　　本題就是利用了上面結(jié)論2：如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.將兩邊同時(shí)平方，就得到，從而輕易地就得到.</p><p>　　例7 今有一臺(tái)壞天平，兩臂長(zhǎng)不等，其余均精確，有人說(shuō)要用它稱物體

29、的重量，只需將物體放在左右托盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實(shí)重量.這種說(shuō)法對(duì)嗎？并說(shuō)明你的結(jié)論？</p><p>　　解 設(shè)左右臂長(zhǎng)分別為、，物體放在左右托盤稱得的重量分別為、，真實(shí)重量為，由杠桿平衡原理有：</p><p><b>　　由得，</b></p><p><b>　　所以 ；</b><

30、;/p><p><b>　　由，得，</b></p><p><b>　　由均值不等式知</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　故此種說(shuō)法不對(duì)，物體的真實(shí)重量為兩次稱量結(jié)果的幾何平均值.</p><p>　　例8 某養(yǎng)殖場(chǎng)需定

31、期購(gòu)買飼料，已知該廠每天需要飼料公斤，每公斤飼料的的價(jià)格元，飼料的保管與其他費(fèi)用為平均每公斤每天元，購(gòu)買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)元，假設(shè)養(yǎng)殖場(chǎng)每次均在用完飼料的當(dāng)天購(gòu)買.</p><p>　　求該養(yǎng)殖場(chǎng)每多少天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最?。?lt;/p><p>　　(2)若提供飼料的公司規(guī)定，當(dāng)一次購(gòu)買飼料不少于噸時(shí)其價(jià)格可享受八五折優(yōu)惠(即原價(jià)的).問(wèn)該養(yǎng)殖場(chǎng)是否考慮利用此優(yōu)惠條件，請(qǐng)

32、說(shuō)明理由.</p><p>　　解 設(shè)該養(yǎng)殖場(chǎng)每天購(gòu)買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為元.</p><p>　　因?yàn)轱暳系谋９芘c其他費(fèi)用每天比前一天少（元）</p><p>　　所以天飼料的保管與其他費(fèi)用共是（元）</p><p><b>　　從而有</b></p><p><b>

33、;　　,</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值.</p><p>　　每天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最小.</p><p>　　(2)若該養(yǎng)殖場(chǎng)利用此優(yōu)惠條件，則至少每天購(gòu)買一次飼料，設(shè)該養(yǎng)殖場(chǎng)利用此優(yōu)惠條件，每天購(gòu)買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為元，則</p><p><b>　　,<

34、;/b></p><p><b>　　因此 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上是增函數(shù).</p><p>　　所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，而.</p><p>　　因此該養(yǎng)殖場(chǎng)應(yīng)該接受此優(yōu)惠條件.</p>

35、<p>　　例9 甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度行走，另一半時(shí)間以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一把路程以速度行走，如果，問(wèn)甲乙兩人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)？</p><p>　　解 設(shè)從出發(fā)點(diǎn)到指定地點(diǎn)的路程為.</p><p>　　甲、乙兩人走完這段路程所用時(shí)間分別為、，依題意有</p><p><b>　

36、　，.</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　

37、，</b></p><p>　　所以 .</p><p>　　從而知甲比乙首先到達(dá)指定地點(diǎn).</p><p>　　本題利用了一般結(jié)論：</p><p><b>　　,</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取“=”號(hào)，這幾個(gè)數(shù)依次為調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、

38、算數(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù).顯然，調(diào)和平均數(shù)小于算數(shù)平均數(shù).</p><p>　　應(yīng)用均值不等式解決足球射門問(wèn)題</p><p>　　球場(chǎng)如戰(zhàn)場(chǎng),合理的戰(zhàn)術(shù),巧妙的技術(shù)往往是致勝的關(guān)鍵.如把握好入射距離、踢球的力道和入射角度是進(jìn)球得分，戰(zhàn)勝對(duì)手的關(guān)鍵.具體事例如</p><p>　　例10 設(shè)海牛隊(duì)邊鋒在左線位置，距底線距離為，即，并設(shè)球門寬，禁區(qū)線到球門柱距，再設(shè)入

39、射范圍角，，，且，，求入射角的最大值.</p><p><b>　　解 如圖3所示</b></p><p>　　， 圖3 </p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，最大. </p><p>　　又，所以入射角最大.</p><p>

40、<b>　　.</b></p><p><b>　　故入射角的最大值為</b></p><p><b>　　總結(jié)語(yǔ)</b></p><p>　　通過(guò)以上的例題，我們不難發(fā)現(xiàn)均值不等式在生活中的應(yīng)用只要是和定積大與積定和小兩方面的應(yīng)用，在這其中，又摻雜了二元均值不等式與三元均值不等式在生活中的應(yīng)用.除了

41、上述的應(yīng)用，均值不等式也在其他方面都有著廣泛的應(yīng)用，例如在住房問(wèn)題、交通運(yùn)輸、污水處理、商品銷售等方面也有著廣泛的應(yīng)用.我們已經(jīng)應(yīng)用均值不等式解決一系列問(wèn)題，但是均值不等式形式眾多，變化多樣，只要我們善于思考，必將發(fā)現(xiàn)均值不等式在生活中有更多更廣的應(yīng)用價(jià)值.</p><p><b>　　[參考文獻(xiàn)]</b></p><p>　　[1]黃文.例說(shuō)均值不等式的應(yīng)用.數(shù)學(xué)大

42、世界（高中版）,2005,12.40-41頁(yè)</p><p>　　[2]鄭傳枝.用均值不等式判斷生活中的幾個(gè)問(wèn)題.高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2005,2.44-45頁(yè)</p><p>　　[3]田祥高.教材動(dòng)態(tài)全解（高二數(shù)學(xué)）.第二版.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社,2006年</p><p>　　[4]趙存善.例說(shuō)利用均值不等式解應(yīng)用問(wèn)題.數(shù)學(xué)通訊,2003,20.20頁(yè)<

43、/p><p>　　[5]張荷芳.均值不等式在實(shí)際生活中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)通訊,2002,2.90-91頁(yè)</p><p>　　Discusses the Application of Mean inequality in Life worth</p><p><b>　　Cai Lei</b></p><p>　　[Abstrac

44、t] Average inequality is an important inequation in mathematics. It is the number of the size relations, is our knowledge required for further study mathematics and other disciplines, and the basis and according to many

45、of the properties of inequality in the solving math problems are great help, not only so, it in real life also in a wide range of applications. Say, average inequality discovery, validation and application is the quintes