小波變換及應用畢業(yè)論文

1、<p><b>　　小波變換以及應用</b></p><p><b>　　引言</b></p><p>　　小波分析是80年代中后期發(fā)展并成熟起來的一種信號處理分析方法，它有效完成了信號的時間與空間的局部化，對于信號處理是一個強有力的方法。</p><p>　　圖像是多媒體系統(tǒng)中非常重要的一部分，相當多的多媒體信

2、息是以靜止圖像和動態(tài)視頻圖像的信息表達出來的。人們?yōu)榱烁玫卦诙嗝襟w創(chuàng)作中使用圖像，就必然要研究圖像的壓縮和如何豐富圖像的表現(xiàn)效果。本文對小波變換做了簡單的介紹并簡單地介紹了小波變換在圖象邊緣析取、圖象壓縮和圖象拼接和鑲嵌方面的應用。</p><p><b>　　小波分析的起源</b></p><p>　　長期以來，無論是信號處理界，還是數(shù)學界，人們力圖尋求信號表示方

3、法，綜合三角函數(shù)系與Haar系兩者優(yōu)點的某種函數(shù)來分解任意函數(shù)。我們知道，這兩個函數(shù)系在以下意義上占據了兩個極端位置。三角函數(shù)系中的函數(shù)在頻率即在Fourier變量域上是完全局部化的，但在空間或時間域上無任何局部性卻很差，這是因為它缺乏正則性與震蕩性所致。</p><p>　　我們都曾使用過傅立葉變換，都知道傅立葉變換能把信號分解成各種頻率的正弦和余弦函數(shù)，也就是說它能實現(xiàn)頻率的局部化，但大家有是否注意到它所分解

4、出的每個三角函數(shù)的有效域都是（-∞,+∞），也就是說它在時間域上無任何局部性可言，可是，我們所面對的各種信號如圖象、地震波等往往有著強烈的局部相關性，要研究處理這些相關性，就需要更好的數(shù)學工具，小波分析正是在這個背景下發(fā)展起來的。它有效地分析了信號時域與頻域的局部性，成為信號分析的一個強有力的方法。所謂“小”，正是指小波函數(shù)在時域上的局部性，所謂“波”正是指小波函數(shù)的波動性也就是說在頻域上的局部性。</p><p&g

5、t;　　小波分析的方法的提出，可以追溯到1910年Haar提出的小“波”規(guī)范正交基及1938年Littlewood-Parley對Fourier級數(shù)建立的L-P理論，即按二進制頻率成分分組Foureier變換的相位變化本質上不影響函數(shù)的形狀及大小。其后，Calderon于1975年用其早年發(fā)現(xiàn)的再生公式給出拋物型空間上H1的原子分解，這個公式后來成了許多函數(shù)分解的出發(fā)點，它的離散形式已接近小波展開，只是還無法得到組成一正交系的結論。19

6、81年Stromberg對Haar系進行了改進，證明了小波函數(shù)的存在性。1982年Battle在構造量子場理論中使用了類似Calderon再生公式的展開。值得注意的是，1984年法國地球物理學家Morlet在分析地震波的局部性質時，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的Fourier變換難以達到要求，因此他引入小波概念于信號分析中對信號進行分解。隨后，理論物理學家Grossman對Morlet的這種信號按一個確定函數(shù)的伸縮，平移系展開的可行性進行了研究，這無疑為小

7、波分析的形成開了先河。</p><p>　　真正的小波熱開始于1986年，當時Meyer創(chuàng)造性地構造出了具有一定衰減性的光滑函數(shù)ψ，其二進制伸縮與平移構成L2(R)的規(guī)范正交基。在那以前，人們或許認為具有如此好性質的小波函數(shù)時一個數(shù)學神話而對其存在性發(fā)生了動搖。事實上，Daugechies、Grossman和Meyer在此之前的工作就退而研究函數(shù)ψ及數(shù)a0與b0使函數(shù)系構成L2(R)的框架的條件去了。</p

8、><p>　　繼Meyer提出小波變換以后，Lemarie和Battle又分別獨立地給出了具有指數(shù)衰減的小波函數(shù)。1987年，Mallat巧妙地將計算機視覺領域內的多尺度分析的思想引入到小波分析中小波函數(shù)的構造及信號按小波變換及重構，從而成功地統(tǒng)一了在此之前的Stromberg、Meyer和Battle提出的具體小波函數(shù)的構造，研究了小波變換的離散化情形，并將相應的算法——現(xiàn)今稱之為Mallat算法有效地應用于圖象分

9、解與重構。與此同時，Daubechies構造了具有有限支集的正交小波基這樣，小波分析的系統(tǒng)理論初步得到建立。1988年，Arneodo及Grasseau等人將小波變換運用于混沌動力學及分形理論以研究遄流及分形生長現(xiàn)象。1990年崔錦泰和王建忠構造了基于樣條函數(shù)的所謂單正交小波函數(shù)，并討論了具有最好局部化性質的多尺度分析的生長函數(shù)及相應的小波函數(shù)。也是1990年Beylkin,Coifman等將小波變換應用于算子理論。1991年，Jaff

10、ard及Laurencot將小波變換應用于偏微分方程數(shù)值解，而Wickerhanser等將Mallat算法進一步深化，得到了小波包算法。其后，秦前清將小波</p><p>　　小波變換定義及其性質</p><p>　　定義1設且，則按如下方式生成的函數(shù)族{ψa,b}</p><p><b>　　（1）</b></p><p

11、>　　叫分析小波（Analyzing Wavelet）或連續(xù)小波，ψ叫基本小波或母小波（Mother Wavelet）。若ψ使雙窗函數(shù)(Double-window Function)。就叫ψ為窗口小波函數(shù)，今后我們恒假定ψ為窗口小波函數(shù)。</p><p>　　連續(xù)小波提供的局部化格式使變換著的，表現(xiàn)在高頻處的時間分辨率高。即具有“變焦”（Zooming）特性，這一特性決定了它在突變信號處理上的特殊地位及功能

12、。</p><p>　　現(xiàn)在我們來討論連續(xù)小波變換下信號處理的基本性質。</p><p>　　定義2設ψ是基本小波，{ψa,b}是按（1）式給出的連續(xù)小波，對，信號f的連續(xù)變換Wf(b,a)定義為</p><p><b>　　(2)</b></p><p><b>　　定義3設且滿足：</b>&

13、lt;/p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　則ψ叫做允許小波(Admission Wavelet),而條件（*）被稱為允許條件(Admissible Condition)。</p><p>　　注意到條件（*）蘊含著，因此允許小波一定是基本小波。反過來，若，且，則允許條件（*）成立。特別地，雙窗口函數(shù)一定是允許小波，

14、對于有允許小波產生的信號的連續(xù)小波變換，我們有如下關系式。</p><p>　　定理1設ψ是允許小波，則對一切，有</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　另外，對任意，若f在t處連續(xù)，則：</p><p><b>　　（4）</b></p><p>

15、;　　有時，為了數(shù)學上的方便起見，我們常用如下定義。</p><p>　　定義4我們把下列變換Wf(s,x)定義為的小波變換</p><p><b>　　（5）</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　?。?）</b></p>

16、<p>　　注意到，這里的定義在形式上雖與前面的定義有所不同，主要在于：</p><p><b>　　伸縮系數(shù)不同；</b></p><p><b>　　用卷積代替了相關。</b></p><p>　　但它們之間是可以相互轉換的。</p><p>　　不難驗證，以下函數(shù)是基本小波：<

17、;/p><p><b>　　Haar小波</b></p><p>　　(2)墨西哥帽狀小波</p><p>　　上面我們引入了連續(xù)小波及其概念變換的概念及性質。在實際應用中，特別是在計算機實際上，往往需要把上面提到的連續(xù)小波及其變化離散化，作為一種方便的形式，則是對變換進行二進制離散。把經過這種離散化后的小波和相應的小波變換，稱之為二進小波和二進小

18、波變換。</p><p>　　定義5函數(shù)被稱為是一個二進小波(Dyadic Wavelet)，若存在二常數(shù)使得：</p><p>　　B a.e.(7)</p><p>　　條件（7）式被稱為穩(wěn)定條件(Stability Condition)。若A=B，則稱為最穩(wěn)定條件，而函數(shù)序列叫做f的二進小波變換，其中</p><p&g

19、t;<b>　?。?）</b></p><p>　　由卷積定理，我們有：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　由此（7）式等價于，對任意有：</p><p><b>　?。?0）</b></p><p>　　下面定理說明，二進

20、小波一定是一個允許小波。</p><p>　　定理2設ψ是一個二進小波，則它一定是一個允許小波，且</p><p><b>　?。?1）</b></p><p><b>　　A=B時有：</b></p><p><b>　　(12)</b></p><p&

21、gt;　　定理3由（7）式給出的算子V是I2(L2)到L2的有界線形算子，而且WV是I2(L2)到W(L2)的正交投影算子。</p><p>　　為了數(shù)學上的完美及實際運用的方便起見，我們引進下面概念及事實：</p><p>　　定義6設，若對一切，存在與f無關的常數(shù)，使得</p><p><b>　?。?3）</b></p>

22、<p>　　成立，則稱是空間L2的一組標架(Frame),B,A分別稱為此標架之上，下界。</p><p>　　為討論標架的性質，我們引進算子</p><p><b>　　（14）</b></p><p><b>　?。?5）</b></p><p>　　我們稱T為標架算子。</p

23、><p>　　定理4也是L2中的標架，稱之為標架的共軛標架，其上下界分別為A-1和B-1，且其標架算子為有：</p><p><b>　?。?6）</b></p><p>　　定理5緊標架成為正交基的充要條件是：</p><p>　　A = 1,且對一切</p><p>　　定義7如構成L2的一

24、個標架，則標架的上、下界B,A滿足下面的不等式</p><p><b>　?。?7）</b></p><p>　　下面討論一下數(shù)字信號的二進小波變換</p><p>　　假設是一個數(shù)字信號，不妨假定它由采樣而得，適當選用時間單位，在數(shù)學上我們總可以認為采樣密度為1，則我們可以以下面方式把模擬化。即令</p><p>&l

25、t;b>　　其中</b></p><p>　　這樣得f的確存在的，即我們有：</p><p>　　定理8任取，則存在使得</p><p><b>　　(18)</b></p><p>　　定義8設，f為滿足條件的函數(shù)，其中滿足</p><p><b>　?。?9）&

26、lt;/b></p><p><b>　　則稱</b></p><p>　　為的離散二進小波變換。</p><p>　　圖象的小波的變換處理</p><p>　　我們知道，在處理實際問題是，作為一種新的處理工具，它必須具備以盡可能少的數(shù)據反應該信號的盡可能多的信息，這其間當然包括盡可能消除混雜在信號中的噪聲。我們發(fā)

27、現(xiàn)小波變換確有這些優(yōu)良特性</p><p>　　1、二進小波變換對邊緣析取和回復的影響</p><p>　　我們主要定性地討論一下二進小波變換對圖象邊緣析取和回復圖象的影響。如以前分析過的，為了析取更精細的奇異性（即Lipschitz指數(shù)α<1）,則所選的小波函數(shù)應有較高階的消失矩，從而其支集也相應變大。這時，由二進小波變換極值所測定的奇異點位置往往不是圖象奇異點的正確位置，也就是會

28、發(fā)生邊緣偏移現(xiàn)象。反之，若選取支集較小的小波函數(shù)作為二進變換，則邊緣偏移的現(xiàn)象將大大減弱，但它對Lipsichitz指數(shù)α較高的邊緣無法檢測，因此在提取圖象邊緣上不如原來精確。這樣在進行圖象處理時，就需要根據問題的需要選擇合適的小波函數(shù)。此外，在迭代收斂速度上，消失矩高的小波的逼近威力強，收斂速度快于消失矩較小的小波函數(shù)，但前者的支撐集大雨后者，因而作為濾波器，前者的長度也長于后者。因此，在每一次分解運算時，所費時間也多于后者?？傊?，在

29、使用小波變換時，適當選取小波函數(shù)時十分重要的。</p><p>　　2、正交變換、小波包與圖象數(shù)據壓縮</p><p>　　雖然圖象數(shù)據的數(shù)據量時非常巨大的，但是鄰近的象素的灰度（將它看成隨機變量）往往是高度相關的。因此，下面利用這一性質對圖象數(shù)據進行有效的壓縮。</p><p>　　設在我們所考慮的問題中每一張圖片分成個像素，并取包含M張圖片的樣本集合s={s1,

30、……，sm},M應足夠大，以保證所取樣本對所討論的問題具有統(tǒng)計代表性。因為每一張圖片分成了N個像素，故每一樣本Sk(k=1,……，M)可以看成是一個N維的隨機變量，記為{Sn(n)},n = 1,……，N。它的分量表示第n個像素的灰度，其值為0---27-1之間的一正整數(shù)。由于代表鄰近像素灰度之分量之間具有很大的相關性。因此，我們可通過統(tǒng)計的各種分析法，如回歸分析、方差分析、主因子分析、向前向后回歸分析法等手段以選取具有代表性的像素進行

31、壓縮數(shù)據。這里我們一一談到是不可能的，而且沒有必要。我們的做法是采用適當?shù)淖鴺俗儞Q使在新坐標系下各分量之間的相關性盡可能小。</p><p>　　首先，我們介紹一下多元正交小波及構造。一個簡單而有效地生成多元小波基的方法是張量積方法。為說明構造原理我們僅以二元情況為例。</p><p>　　設是一個已知的L2(R)的多尺度分析，是它的標準正交生成元。</p><p>

32、;　　對于L2(R2)，我們知道，張量是L2(R2)中的子空間，而且</p><p><b>　　…………</b></p><p>　　是L2(R2)中的空間序列，記，則這一空間貫滿足</p><p>　　由于是Vj中的標準正交基，從而</p><p>　　構成了的一組標準正交基。因此。我們看到了一個二元的多尺度分析，其

33、生成元為</p><p>　　現(xiàn)在，我們來構造L2(R2)的小波子空間的正交分解。</p><p>　　設是L2(R)中對應于的正交小波子空間列。則</p><p><b>　　由于</b></p><p><b>　　因此</b></p><p><b>

34、;　　令</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　于是，我們得到</b></p><p>　　由此得到了L2(R2)中的一個小波子空間的正交分解。不難驗證：中的標準正交基是中的標

35、準正交基是中的標準正交基是。總括起來：</p><p>　　構成了L2(R2)的標準正交小波基。</p><p><b>　　這樣，任取，有</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　為便于離散處理，記L2(R2)到的正交投影算子為Pm,則當m充分大時，。在數(shù)學上，不妨設

36、m = 0,從而有：</p><p>　　從而二元情形的正交分解和回復算法可由下面公式得到：設,記</p><p><b>　　后，我們有</b></p><p><b>　　重構程序則是</b></p><p>　　但正如前面所指出的那樣，當j減小時必然導致相應小波基的頻譜窗口增寬的缺點，因此我們

37、可利用正交小波包進一步分解，并根據使目標函數(shù)H取極小值的原則在其中選取最佳的基。利用這種基作正交變換來壓縮數(shù)據，效果就要比單純用正交小波基好的多。鑒于二維情形小波包的表示式過于復雜，我們就在此略過。</p><p>　　3、正交小波變換在圖象拼接和鑲嵌中的應用</p><p>　　圖象的拼接和鑲嵌是圖象處理的一個重要內容，比如從兩個航天飛船上拍攝的行星圖片，往往要拼接成一個全軌圖。又如，為

38、了得到星系或星云圖的詳圖，需要分別拍攝各個局部照片，然后拼接成一個整體圖片。生物醫(yī)學中，用顯微鏡拍攝的細胞圖片等都需要拼接技術，而圖形鑲嵌則可以創(chuàng)造人工合成圖象。</p><p>　　圖象拼接和鑲嵌的一個技術問題是如何拼接的二幅圖象在拼接后不出現(xiàn)明顯的拼接縫，一般地在拼接邊界上，兩端圖象灰度值上的細微差別都會導致十分明顯的拼縫，在實際成象過程中，被拼接圖片在拼接邊界上的灰度的細微差別是幾乎不可避免的，照像角度的差

39、異、背景的微小差別、成象手段的改變等等都是造成這種灰度差的原因，因此在拼接過程中，需要一種技術能修正兩圖片在拼接縫附近的灰度值，使拼接后的像在拼縫處有一個光滑的過渡。從數(shù)學上看，若把圖片賦以平面坐標，像的灰度值看作函數(shù)I(x,y),則每幅像片對應一個二元函數(shù)，兩幅像片的拼接，好比使兩個曲面的光滑連接。</p><p>　　但實際上圖象拼接與曲面的光滑連接不同。因為圖像的光滑化表現(xiàn)為對圖像的模糊化。因此，光滑化手段

40、會導致圖像模糊不清。實踐證明：在拼接部分，若圖像的空間頻率的覆蓋幅度是由Wmax到Wmin的話，記Tl與Ts分別為Wmax與Wmin對應的波長，則為了使拼接后圖像的拼縫不顯現(xiàn)，拼接寬度（即灰度影響修正范圍）應不小于Tl，而為了使拼接后的圖片清晰，不致于使人有兩次暴光的感覺，拼接寬度應不大于Ts的兩倍。顯然當圖像在拼接邊界附近的空間頻率的頻帶稍寬一些的話（即Wmax>2Wmin），要找出一個合適的拼接寬度是不可能的。</p&g

41、t;<p>　　利用正交小波變換可以較好地解決上述問題。由于小波變換函數(shù)實際是一個帶通濾波器，在不同尺度下的小波變換分量，實際上占有一定的頻寬，j越大，該分量的頻率越高。因此每一個小波分量所具有的頻寬不大，把要拼接的兩幅圖像先按分解的方法把它們分解為不同頻率的小波分量，然后在不同尺度下，選取不同不同的拼接寬度，把兩個圖像按不同尺度下的小波分量先拼接下來，然后再用程序重構整個圖像。這樣得到的圖像可以很好地兼顧清晰度和光滑度兩

42、個方面的要求。</p><p>　　具體做法如下：設圖像A與圖像B是需要拼接或鑲嵌的。圖像A的像數(shù)為，圖像B的數(shù)據為，利用有限正交小波變換，我們得到</p><p><b>　　令</b></p><p>　　K(x,y)的樣本值為,它在各尺度下的光滑化分量為。令</p><p>　　現(xiàn)取為拼接后圖像的有限正交

43、小波變換，則由重構算法，可以得到拼接圖像。</p><p>　　注意當濾波器H的長度為L，而k,l離邊界的值大于γL/2時，為1或0視而定，因此拼縫的實際寬度是由H的長度決定。在實際應用中，我們可選用H為線形樣條構成的正交小波基對應的H或緊支集正交小波基對應的H。對前者而言，它雖然不是有限長的，但是有指數(shù)衰減速度，因此實際上可視為有限長的。</p><p>　　產生光滑因子的H還可以用其它

44、的方法得到，不一定強調它的正交性，因為只要它起對邊緣光滑的作用即可，這樣的濾波器可以有多種選取方法，這里就不一一詳述了。</p><p><b>　　[參考文獻]</b></p><p>　　[1]Multiresolution Compression And Reconstruction Oliver G.Staadt, Markus H.Gross, Roger

45、 Weber Computer Science Department ETH Zurich </p><p>　　[2]實用小波分析 秦前清 楊宗凱 西安電子科技大學出版社</p><p>　　[3]Novel nonlinear Predictive imge coding algorithm Tian-Hu ,Yu Sanjit K.Mitra Electronic Imaging

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