高中數學論文 圖形計算器應用能力測試活動學生 淺談卡西歐圖形計算器在常用函數圖象上的應用

1、<p>　　淺談卡西歐圖形計算器在常用函數圖象上的應用</p><p>　　摘要：指出形象思維的重要性，給出了高考高頻函數題圖象定量具體分析的方法，應用圖形計算器在集中復雜函數題中靈活運用，使復雜抽象函數簡單化具體化，方便加深印象，使函數的學習方法更加靈活便捷，學習效率大大提高。本文從函數定義及出發(fā)，將具體常用常見函數的圖象性質進行總結，歸納類比，得出普遍結論。在已知函數基礎上進行擴展，體會極坐標中圖象

2、的魅力，以及圖像繪制的，簡便性、優(yōu)越性，由以推廣至其他學科領域中的廣泛應用。</p><p>　　關鍵詞：形象思維、指數函數、冪函數、復合函數、高斯函數、極坐標系下的曲線、圖像特點</p><p>　　對于數學學科來說，我們在學習上主要運用的是左腦的抽象思維，但從數學思維模式呈現出的事實來看，我們圖形理解能力的形象思維是最早出現的，而它也是數學不斷發(fā)展至今的前提，并在數學的研究學習中騎著舉

3、足輕重的作用。可見如果人們不具備形象思維能力，很難會有較高的抽象思維能力，其發(fā)展也將會受到限制。正像數學家柯爾莫戈洛夫所言：“只要有可能，數學學者都應該盡力把他們正盡力研究的問題從幾何圖形上視覺化?！币虼嗽谟屑夹g設備支持下的今天，圖形的精準繪制給我們帶來了一場深刻的變革——應用圖形計算器解決圖象問題，在有關函數的傳統(tǒng)教學中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應用圖形計算器速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提學

4、習效率 、拓寬我們的認知范圍、開拓我們的解題思路，培養(yǎng)我們的想象力和形象思維的理解能力。直觀、準確、全面地針對考試中的問題給予完備解答。</p><p>　　那么，在高中數學的學習中圖形計算器有哪些應用呢？作為一名高中生筆者在此予以介紹:</p><p>　　圖形計算器在指冪對函數及其簡單復合函數中的應用</p><p>　　1.指數函數的一般形式是y=a^x(a&

5、gt;0且≠1) (x∈R），值域為（0, )。a=1時也可以，此時值域恒為1。是在定義域上的單調下凸，連續(xù)函數。當a>1時，指數函數對于x的負數值平坦，對于x的正數值迅速攀升。當0<a<1時，指數函數對于x的負數值迅速攀升，對于x的正數值平坦，，恒過（0,1）。在x處的切線的斜率等于此處y的值乘上lna。即： 。函數圖象總是在某一個方向上無限趨向于X軸。由指數函數y=a^x與直線x=1相交于點（1，a)可知：在y軸右

6、側，圖像從下到上相應的底數由小變大，相反同理，當a>1時，曲線由左向右逐漸上升，即a>1時，函數在R上是增函數；當0<a<1時，曲線逐漸下降即0<a<1時，函數在 R上是減函數。</p><p>　　2.對數函數是指數函數的反函數可表示為x=a^y，函數y=log(a)x，（其中a是常數，a>0且a不等于1）。恒過點（1，0），其中負數和零沒有對數。</p>

7、<p>　　3.反函數的性質：定義域和值域與原函數互換，圖像關于直線y=x對稱即原函數過（m，n）反函數過（n,m），原函數與反函數具有相同單調性，具有相同的奇函數性質（只有單調函數才有反函數偶函數一般無反函數，若要求則分段求解）。</p><p>　　例：解決y=a^x與y=x交點問題：一般方法如下，設A（x，y）在曲線上求導切線斜率為k=a^xlna，解出切線方程令其過原點解得x=1/lna，k=

8、elna，討論當k=1即a≈1.4時相切，當a＞1.4時相離0＜a＜1.4時相割?？梢杂脠D形計算器根據函數的解析式快速作出函數的圖象，并可以在同一個坐標系中作出多個函數的圖象直觀比較各圖象的形狀和位置，對偶記憶。應用圖形計算器的“動態(tài)圖”功能，更能方便看出圖象隨變量a的變化而反映出其變化趨勢，對此提出有關猜想并繼續(xù)得到證實，用以全面了解函數加深對底數a的幾何意義認了解，更實在地把握函數。</p><p>　　指、

9、對數的復合函數：設y=f(u）的定義域為Du函數u=g(x）的定義域為Dx，值域為Mx,那么對于Dx內的任意一個x經過u；有唯一確定的y值與之對應，因此變量x與y之間通過變量u形成的一種函數關系，記為：y=f[g(x)]。當指、對數函數與二次函數復合時：有以f（x）為x底的對數、以x為底f（x）的對數、以a為底f（x）的指數等。需要看定義域以及參考復合函數增減性關系（同增異減）或奇偶性原則（內奇則奇，內偶同外）配合求解或證明，應用圖形計

10、算器推理得到普遍規(guī)律，概念理解易如反掌，做題事半功倍。而當求解復合函數根的分布時圖形計算器體現了極大優(yōu)勢，變量取值、直觀分析全圖，簡練明快，精準詳細。</p><p>　　冪函數是形如y=x^a(a常為有理數）的函數，即以底數為自變量，冪為因變量，指數為常量的函數。冪函數具有以下通性：所有的冪函數在（0，+∞）上都有各自的定義，并且圖像都過點（1,1）和(0,0）。在第一象限內，函數值隨x的增大而增大；a>

11、1時，圖像開口向上；0<a<1時，圖像開口向右。圖像不過第四象限。在第一象限內，當x從右趨于(0,0）時，圖象在y軸上方趨向于(0,0）時，圖像以y軸為漸近線，當x趨于+∞時，圖象圖像以x軸為漸近線。冪函數的特殊性：當a≤-1且a為奇數時，函數在第一、第三象限為減函數；當a≤-1且a為偶數時，函數在第二象限為增函數；當a=0且x不為0時，函數圖象平行于x軸且y=1、但不過(0,1)；當0<a<1時，函數是增函數；

12、當a≥1且a為奇數時，函數是奇函數當a≥1且a為偶數時，函數是偶函數。</p><p>　　利用圖形計算器來分析高斯函數的性質</p><p>　　高斯函數（y=Intg x)：設，用[x]表示不超過的最大整數。則稱為高斯函數，也叫取整函數。顯然，的定義域是R，值域是離散的Z。任一實數都能寫成整數部分與非負純小數之和，即，因此，，這里，為的整數部分，</p><p>

13、;　　高斯函數圖象性質：每段函數定義域左閉右開，“階梯”向上不減的無界函數，當時，有。。類似還有鋸齒狀的而（x-Intg x）用{χ}表示x的非負純小，數其定義為的小數部分。定義域為實數集值域為[0,1)。周期為1，在每一段圖像（指[n，n+1)n為整數）上為單調遞增。并且[{x}]值恒為0。類似y=Intg x還有y=Int x</p><p>　　其圖象關于原點對稱，在正實數上的圖像與y=Intg x重合，

14、即在x軸負半軸上兩圖像關于y=x對稱。y=Frac x，其圖象關于原點對稱在x軸正半軸上與y=x-Intg x圖像重合，在x軸負半軸將y=x-Intg x圖像向上平移1個單位得到的。關于高斯函數的復合函數：[f（x）]，f（[x]）其圖象在f（x）附近波動。</p><p><b>　　極坐標系中的曲線</b></p><p>　　極坐標系為高考中的選考題目，與平面幾

15、何聯系非常密切，據此應用圖形計算器做出圖象更加深印象對此進行直觀深刻的理解。其在平面內由極點、極軸和極徑組成的坐標系。可根據x=ρcosθ、y=ρsinθ由笛卡爾系轉化而來，以下介紹幾種較為經典的函數圖象。</p><p>　　阿基米德螺線，ρ=aθ（a＞0）改變參數a將改變螺線形狀，b控制螺線間距離，阿基米德螺線有兩條螺線，一條θ > 0，另一條θ < 0。兩條螺線在極點處平滑地連接，互為鏡像?？梢?/p>

16、想象一只小蟲在勻速旋轉盤上由中心沿半徑勻速向外爬行則其運動軌跡為該螺線。</p><p>　　圓錐曲線：橢圓，展示了半正焦弦圓錐曲線方程如下：r=l/(1-e cosθ)其中l(wèi)表示半正焦弦，e表示離心率。 如果e < 1，曲線為橢圓，如果e = 1，曲線為拋物線，如果e > 1，則表示雙曲線。其中e表示離心率，p表示焦點到準線的距離。</p><p>　　心形線：ρ=a（1-c

17、osθ）（a＞0，0≤θ≤2π）圖形和心臟的截面輪廓相似，關于極軸對稱（3）雙紐線(二葉玫瑰線、伯努利雙紐線)：指動點到兩相聚為定長的定距離之積為定值的動點軌跡，點笛卡爾坐標方程為(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)。極坐標方程為ρ^2=a^2(cos2θ)（a＞0）。</p><p>　　以上介紹了比較典型的圖象應用，總地來說，圖形計算器在高中學習中有很大用途：在幾何中根據函數的解析式快速作出各種