統計學專業(yè)畢業(yè)論文-數學模型在人口預測中的應用

1、<p>　　學 士 學 位 論 文</p><p>　　論 文 題 目： 數學模型在人口預測中的應用 </p><p>　　年 級 專 業(yè)： 統計學 </p><p>　　學 生 姓 名： </p><p>　　學 號： </p><p

2、>　　指 導 教 師： </p><p>　　評 閱 教 師： </p><p>　　完 成 日 期： </p><p>　　數學模型在人口預測中的應用</p><p><b>　　學 生: </b&

3、gt;</p><p>　　專 業(yè): 統計學</p><p><b>　　指導教師: </b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　人口問題是我國發(fā)展的關鍵因素之一。無論是對我國目前經濟發(fā)展狀況的認識，還是對未來經濟發(fā)展的預測，人口問題的研究都具有十分重要的意義。人口

4、規(guī)劃是城市和土地利用總體規(guī)劃的一項重要的控制性指標，人口模型是否合理，將對未來的地區(qū)經濟和社會發(fā)展造成影響，影響各方面的協調可持續(xù)發(fā)展，因此準確的預測未來人口發(fā)展的趨勢，制定合理的人口規(guī)劃和人口布局方案具有重大的理論意義和現實意義。運用馬爾薩斯人口模型、Logistic 增長模型和線性回歸分析方法 ,利用《吉林市統計年鑒》人口數據對磐石市2010～2020 年的人口發(fā)展規(guī)模做出預測。預測結果顯示3種模型均取得了良好的模擬效果，但馬爾薩斯

5、模型和Logistic模型的模擬精度比線性回歸更理想，在模型驗證過程中，前兩者的平均先對誤差較小。故采用馬爾薩斯模型和Logistic模型的平均模型對人口進行預測，結果為2010年達到人口549055人，至2020年磐石市人口人數達到563320人。</p><p>　　關鍵詞：人口預測；馬爾薩斯模型；Logistic增長模型；擬合檢驗</p><p><b>　　，</b

6、></p><p>　　APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN PREDICATION OF THE POPILATION </p><p>　　Name: Hongjian Xu </p><p>　　Major:Statistic</p><p>　　Tutor: Yujing Du</p&

7、gt;<p><b>　　Abstract </b></p><p>　　Population is one of the key factors of our country's development. Population studies are of great significance both for our understanding of current

8、 economic development situation and forecast of future economic development. The population planning is an important controlling indicator for urban and land use planning. Demographic model is important for future region

9、al economy, social development and all-round sustainable development, so accurate prediction the future trend of population develop</p><p>　　Key Words：Population prediction, The Malthusian model, Logistic gr

10、owth model, Fitting testing</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　前言1</b></p><p&g

11、t;　　1 磐石市理念人口變化趨勢分析2</p><p>　　1.1 總人口及其增長率的變化趨勢2</p><p>　　1.2 人口指標的變化趨勢4</p><p>　　2 模型預測4</p><p>　　2.1 馬爾薩斯人口模型5</p><p>　　2.2 Logistic 增長模型7

12、</p><p>　　2.2.1 模型介紹7</p><p>　　2.2.2 模型參數求解8</p><p>　　2.2.3 人口預測9</p><p>　　2.3 線性回歸分析11</p><p>　　2.3.1 回歸模型12</p><p>　　2.3.2 結果預測1

13、4</p><p>　　2.4 模型驗證情況14</p><p>　　3 未來人口規(guī)模的預測結果15</p><p><b>　　結論16</b></p><p><b>　　參考文獻17</b></p><p><b>　　致謝18</b&g

14、t;</p><p><b>　　前言</b></p><p>　　人口問題是制約我國經濟發(fā)展的一個重要問題之一。無論是對我國目前經濟發(fā)展狀況的認識，還是對未來經濟發(fā)展的預測，人口問題都具有十分重要的意義。振興東北老工業(yè)基地的建設發(fā)展是加快全國經濟發(fā)展的一項重要措施，磐石市地區(qū)位于東北地區(qū)的吉林省，正處在經濟快速增長的過程中，同時也面臨著人口、資源和環(huán)境的壓力。不論人

15、口問題、資源問題，還是環(huán)境與發(fā)展問題，最終都是因為人口數量失控而引起的，所以適度的人口規(guī)模是經濟、社會、資源和環(huán)境保護協調發(fā)展的強有力保證。人口預測是指以規(guī)劃區(qū)域或單位現有人口現狀為基礎，并對未來人口發(fā)展趨勢提出合理的控制要求和嘉定條件即參數條件，來獲得對未來人口數據提出預報的技術或方法。一般對于人口預測，我們需要充分采集資料、確定預測參數，通過建立預測模型來進行，包括數量、性別、年齡等。人口預測方法有很多，比如：馬爾薩斯模型、logi

16、stic增長模型、GM（1,1）灰色模型法、時間序列法、回歸分析預測法、勞動平衡法、帶眷系數法等。本文運用馬爾薩斯人口模型、logistic增長模型和線性回歸分析的方法，對磐石市人口規(guī)模在未來10年的發(fā)展做預測。</p><p>　　1 磐石市理念人口變化趨勢分析</p><p>　　磐石市幅員面積3960平方公里，耕地9.2萬公頃，全市總人口54萬，城鎮(zhèn)人口20萬。該城市在吉林中南部

17、，地理條件優(yōu)越，交通便捷。隨著經濟的發(fā)展，人口數量在不斷增長，這是中國城市的共同特點。選擇磐石市作為本文人口預測的對象，具有一定的針對性和代表性。</p><p>　　1.1 總人口及其增長率的變化趨勢</p><p>　　磐石市人口從1949年的22.2977萬人增長到2009年的54.1395萬人，見下表一。建國50年時間增加了31.8418萬人，平均年增長率為1.82%。在這一過程

18、中，人口增長率總體趨勢是在下降，但也有些年份增長變動比較大。</p><p>　　磐石市1949年至今總人口的變化趨勢主要變現為：總人口數逐年增長；隔年之間的人口增長相對平穩(wěn)。其中，從1952年～1980年，年增長幅度比較大，年增長速度也比較迅速，年平均增長率為3.332%。但1990年比1989年相對增長比較大，年增長率為1.5569%，這是由于人口普查造成的數據異常；1991年～2009年，年增長速度比較緩慢

19、，且增長速度下降，年平均增長率0.061%。新世紀以來，磐石市總人口在原有基礎上，進入了一個更低的增長期，期間還出現了負增長，其中2003年，2005年，2009年的增長率分別為-0.015%，-0.03%和-0.059%，21世紀的年平均增長率0.3018%。下表1是考慮到數據的系列性，本文數據采用《吉林市統計年鑒》，圖1是年增長率的散點圖。今年來，磐石是人口增長速度比較緩慢，但是每年出生人口的絕對數還是在增加，未來人口數量龐大和人口

20、持續(xù)增長將在相當一段時間內并存。</p><p>　　表一 磐石市1949年-2009年的總人口表</p><p>　　(詳見參考文獻[1]、[7]、[8]、[10])</p><p>　　1.2 人口指標的變化趨勢</p><p>　　1995年人口自然增長率1.007%，出生率1.34%，死亡率0.44%,比1994年的年增長率提升了1

21、.784個百分點，成為在20世紀90年代后唯一一次人口的快速增長，但是相對與2004年相比，仍然低1.046個百分點。總之，從人口走勢圖2看，從1990年后，磐石市的人口自然增長率與出生率呈降低趨勢，其降低幅度較小，而人口死亡率變化較小，呈穩(wěn)定狀態(tài)。這表明磐石市人口指標基本處于穩(wěn)定的現代人口在生產類型，主要得益于振興老東北工業(yè)基地的經濟政策，以及人們在思想觀念、經濟、生活方式上發(fā)生的深刻變化，從而影響到全民婚育觀的轉變，這更容易地促進了

22、東北經濟的可持續(xù)性發(fā)展。</p><p><b>　　2 模型預測</b></p><p>　　磐石市的人口統計資料比較完整，為人口預測提供了較為充分的依據。本文選擇總人口指標，并以建國以來的人口歷史數據為依據進行人口預測，因為總人口受外界因素及政策的影響較小。本文選擇磐石市1949～2004年的統計數據來建立模型，選用2005～2009年的數據來驗證模型，采用馬

23、爾薩斯人口模型、logistic模型和線性回歸分析4種方法來預測磐石市未來規(guī)劃期內的總人口數。</p><p>　　2.1 馬爾薩斯人口模型</p><p>　　英國人口學家馬爾薩斯根據百余年的人口統計資料，于1978年提出著名的人口模型，是基于指數增長的模型。這個模型的基本假設是：人口的增長率是常數，即隨著時間的增加，人口按指數規(guī)律無限增長。模型如下：</p><p

24、><b>　　，</b></p><p>　　其中，為最初年人口數，r為年增長率，k為規(guī)劃年限，y為規(guī)劃年限為k的總人口數。</p><p>　　磐石市從1949年到2004年的平均人口增長率為1.65%，設定2001～2020年人口的自然增長率做高、中、低3個方案預測。其中，高方案認為2001～2020年的磐石市人口自然增長率保持現有水平1.65%；低方案認為

25、2001～2020年人口的自然增長率為1949～2004年的正最小值0.002%，中方案取其平均值0.826%，則按照低、中、高方案得到2001～2020年人口自然增長率的三種方案</p><p>　　表二： 磐石市2001年～2020年平均人口增長率預測表</p><p>　　對應上述3組年平均人口自然增長率的方案，以2000年為基礎年，根據馬爾薩斯人口模型，可以得到2001～2020年

26、磐石市總人口的高、中、低3種不同方案的預測值，見圖3，橫坐標表示規(guī)劃年限k，縱坐標表示總人口數k</p><p>　　圖3： 2001～2020年磐石市三種方案預測曲線</p><p>　　比較上述的3種方案，低方案比較保守，預測結果比較偏低，趨勢基本處于平緩狀態(tài)，高方案的預測結果偏大，基數過于龐大，對現實以后的人口政策不是很符合，中方案預測介于兩種方案之間，預測結果始終，基數基本處于一個

27、平穩(wěn)狀態(tài)。綜合磐石市人口發(fā)展趨勢和人口發(fā)展目標，研究認為中方案預測是比較符合磐石未來人口發(fā)展的動態(tài)趨勢，經過人口預測能協調可持續(xù)發(fā)展。所以到2010年，磐石市的總人口規(guī)模為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　從而可以對磐石市2001～2020年的人口進行預測，到2020年為止，磐石市人口總數達到585190，見下表三。</p>

28、<p>　　表三：2001～2020年磐石市人口預測</p><p>　?。ㄔ斠妳⒖嘉墨I[1]、[3]、[8]）</p><p>　　2.2 Logistic 增長模型</p><p>　　2.2.1 模型介紹</p><p>　　人口問題是影響中國發(fā)展的重要因素，準確預測出未來人口的發(fā)展趨勢對區(qū)域的整體發(fā)展規(guī)劃有重要的指導意

29、義，考慮到中內對資源的競爭，可以假設人口增長率r是人口x（t）的函數r（x），即不同密度的人口有不同的凈增長率。Logistic假設r（x）是x（t）的減函數，且是x的線性函數，這里的r相當于x（t=0）時的增長率，即人口不受環(huán)境和資源限制的固有（內稟）增長率，顯然實際增長率，為了明確參數s的物理意義，引入最大人口數量。則當x=時，人口的增長率為零，即，在Logistic的線性假設下，有以下的Logistic模型[11]：</p&

30、gt;<p><b>　?。?）</b></p><p>　　Logistic模型是1938年Verhulst2Pearl在修正非密度方程時提出的，他認為實際增長率不是內稟增長率，而是在一定的環(huán)境中種群的增長總存在一個上限，當種群的數量逐漸向著上限上升時實際增長率就要逐漸地減少，因而也稱為Verhulst2Pearl方程。用變量分離法求得方程（1）：先由（1）求導得到，若要求此

31、方程，先求其，得到方程組，通過方程組得到下面的解：</p><p>　　=， （2）</p><p><b>　　其中。 </b></p><p>　　設初始人口<,對（1）求導得，令=0，得到人口增長率的極值點是，即當時人口增長率最大，前一半為快速增長長期，后一半為慢速增長期。解曲線有三個顯著

32、特征；一是單調遞增性；二是增長有限性；三是形狀為S形。</p><p>　　(詳見參考文獻[2]、[11])</p><p>　　2.2.2 模型參數求解</p><p>　　從公式（2）可以看出想要預測人口數量，需求參數，r或a，b，對人口增長過程利用曲線擬合，實點到模型的垂直距離的平方和（即殘差平方和）是最小值，即達到最佳擬合，采用最小二乘法求的最小值，其實就

33、是通過求并令兩者為零，即：</p><p>　　利用matlab軟件進行處理可以估算，r的值，對解進行倒數處理得到，利用等長度時間所對應的三個人口數量，利用時間的等差性求相關參數，則有：</p><p><b>　?。?）； </b></p><p><b>　?。?）；</b></p><p>

34、<b>　　取倒數得到 ， 。</b></p><p>　　相減有 （5）。</p><p><b>　　根據（5）得到 ，</b></p><p>　　從而我們有： （6

35、）。</p><p>　　以下用數值微分對函數采用線性擬合化的技術來估計參數 </p><p>　　由Logistic模型可知只要對參數進行估計即可，主要方法和步驟如下：</p><p>　　第一步，求參數，利用等時間長度的3個人口數量分別對應三個年份的人口總數，其中，則可以通過（5）得到的關系式求得r，通過關系式（6）求得； </p><p&

36、gt;　　第二步：求參數a，b，將的值帶入（2）式并變形為，兩端取對數得，令，則較為繁瑣的指數形式的解就可變換為線性函數，利用MATLAB軟件可以擬合出A、B的值，從而求出的值，進而確定出人口模型解的具體形式。得出a=1.428，b=0.1536。</p><p>　　(詳見參考文獻[1]、[3]、[9])</p><p>　　2.2.3 人口預測</p><p>

37、;　　根據1949～2009年人口數據，從中抽取3個年份數據進行參數求解，根據3個等年間隔數據取，其中，取t=30，分別以1949年，1979年，2009年數據進行參數估計，其中使用matlab進行求解，得到r=0.1536,；通過r，求出=541460，把計算得到的帶入（2）采用第三部分的線性變換并擬合一步，估算a=1.428；b=-0.1536從而求出人口預測的具體形式為 （7）</p><p>　　可以直觀

38、地看到數值變化情況，（見圖4）</p><p>　　3）模型檢測：我們用2005年～2009年的磐石市人口進行檢驗，詳見表四，</p><p>　　表四：2001～2009年磐石市預測人口和實際人口的比較</p><p>　　從表四看出此模型相比其他的模型有一定的優(yōu)越性</p><p>　　4)預測結果：從模型預測的數據分析看出，磐石市人口在

39、長時間的發(fā)展過程后趨于穩(wěn)定，人口波動幅度沒有與建國以后的人口基數那樣具有比較大的變化幅度。從此模型預測結果可以看出磐石市人口將在未來10年之內趨于一個穩(wěn)定的狀態(tài)54～55萬人口，能促進磐石市的可持續(xù)發(fā)展</p><p>　　表五：2000～2020年磐石市人口logistic模型預測表</p><p>　　2.3 線性回歸分析</p><p>　　回歸分析研究的主

40、要對象是客觀事物變量間的統計關系，它是建立在對客觀事物進行大量試驗和觀察的基礎上，用來尋找隱藏在那些看上去是不確定的現象中的統計規(guī)律性的統計方法?；貧w分析是通過建立統計模型研究變量間相互關系的密切程度、結構狀態(tài)、模型預測的一種有效工具。</p><p>　　回歸分析方法在生產實踐中的廣泛應用是它發(fā)展和完善的根本動力?；貧w分析預測中常用的方法之一，是將已知的統計數據作為變量抽樣的觀察結果，通過考察這些數據之間存在的

41、數量關系，設想出表達這種關系的方程時，然后通過最小二乘來估計方程中的參數，由此確定變量之間數學模式。由于客觀經濟現象是錯綜復雜的，一種經濟現象很難用有限個因素來準確說明，隨機誤差項可以概括表示由于人們的認識以及其他客觀原因的局限而沒有考慮的種種偶然因素。隨機誤差項主要包括下列因素的影響：1.由于人們認識的局限或時間、費用、數據質量等制約未引入回歸模型但又對回歸被解釋變量y有影響的因素；2、樣本數據的采集過程中變量觀測值的觀測誤差的影響；

42、3、理論模型設定誤差的影響；4、其他隨即因素的影響。</p><p>　　(詳見參考文獻[1]、[5]、[8])</p><p>　　2.3.1 回歸模型</p><p>　　采用線性回歸分析模型預測人口變化趨勢，首先根據畫散點圖5，</p><p>　　根據散點圖知模型為：，</p><p>　　其中Y表示總人口數

43、；X表示年份序號，1949年為1，1950年為2，以此類推，2004年為58；a和b為待定系數。</p><p>　　1949～2004年的磐石市總人口數據帶入，進行線性擬合，求得模型的參數估計值為： </p><p>　　a=5423，b=285870；</p><p><b>　　因此回歸方程為：</b></p><

44、;p><b>　　，</b></p><p>　　模型檢驗：a的置信區(qū)間是[2.5587,3.1586]，b的置信區(qū)間是[0.0458,0.0626]；</p><p><b>　　殘差圖為：</b></p><p>　　表明模型建立結果相對比較理想。</p><p>　　圖5：一次線性回歸曲

45、線擬合圖</p><p>　　2.3.2 結果預測</p><p>　　將2001～2020年的序號55～74分別帶入方程，可以預測出2010～2020年各年份的總人口數（見表六）。</p><p>　　表六：線性回歸模型預測2010～2020年磐石市人口數</p><p>　　(詳見參考文獻[3]、[4]、[8]、[9])</p&g

46、t;<p>　　2.4 模型驗證情況</p><p>　　本文利用磐石市1949～2004年統計數據建立預測模型，預測2000～2020年的人口發(fā)展規(guī)模，通過2000～2009年的人口預測值與實際統計值之間的比較，得出預測誤差的大小。</p><p>　　表七：三種模型方案預測結果比較表</p><p>　　通過誤差對比分析，得到線性回歸的平均相對誤

47、差為12.043%，馬爾薩斯人口模型的平均相對誤差為1.352%，Logistic模型的平均相對誤差為1.039%，從此看出，馬爾薩斯模型和logistic模型比較于線性回歸模型還是有一定的優(yōu)越度的，綜合考慮各方面因素，本文采用此兩種模型的均值來預測磐石市人口。</p><p>　　3 未來人口規(guī)模的預測結果</p><p>　　本文采用馬爾薩斯人口模型和Logistic模型預測值的平

48、均值作為預測結果，預測到在2010年磐石市人口將達到549055人，在2015年人口基數將達到556105，凈增長人數為1425人，在隨后的年份變化中，凈增長人數基本上趨于穩(wěn)定，人口基數也逐漸穩(wěn)定，這樣的人口更有利于磐石市的經濟，生活水平全方位的協調可持續(xù)發(fā)展。</p><p>　　表八：模型對未來人口的預測結果</p><p><b>　　結論</b></p&

49、gt;<p>　　總結本文3種模型在研究中的模擬及其預測結果，可以發(fā)現：</p><p>　　線性回歸模型和馬爾薩斯人口模型、logistic模型均能滿足預測精度要求；</p><p>　　線性回歸模型與另外兩個模型相比，預測精度略低，但是在實際操作中顯得比較直觀，簡單易行，適用于基層簡便要求精度比較低的預測中。</p><p>　　馬爾薩斯人口模型和

50、Logistic模型，在本研究中是較高精度的，比較適用于較專業(yè)研究中。人口增長和人口預測受多方位因素影響，現實中的人口增長模型都不能由一個具體模型完全的體現和預測出來，具體采用何種模型，應該按照實際的情況選擇確定，如能將各種定性和定量模型有機的結合將是比較理想的預測的方法。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]李秋紅，何先平. 數學

51、模型在人口增長中的應用[J]太原師范學報，2008,7（2）</p><p>　　[2]李振福. 長春市城市人口的Logistic模型預測[J].吉林師范大學學報，2003（1）</p><p>　　[3]劉衛(wèi)國. MATLAB程序設計教程[M].中國水利水電出版社2005（1）</p><p>　　[4]王能超. 計算方法——算法設計及其MATLAB實現（M）.高

52、等教育出版社2005（1）</p><p>　　[5]何曉群，劉文卿. 應用回歸分析（M）中國人民大學出版社2007[2]</p><p>　　[6]楊麗霞，楊桂山，苑韶峰.數學模型在人口預測中的應用——以江蘇省為例[J]，長江流域資源與環(huán)境，2006,15（3）</p><p>　　[7] 王萬茂. 土地利用規(guī)劃學[M]。北京：中國大地出版社，2000</

53、p><p>　　[8] 吉林市統計局.統計年鑒：1949～2009[Z].吉林市：吉林市統計出版社</p><p>　　[9]胡良劍，孫曉君. MATLAB數學實驗[M].高等教育出版社</p><p>　　[10]李長虹，宋占先. 大學應用文寫作教程[M].吉林人民出版社2005（1）</p><p>　　[11]李華中.Logistic模型在

54、人口預測中的應用[J].江蘇石油化工學院學報，1998,10（2）</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　本研究及學位論文是在我的導師杜宇靜教授的親切關懷和悉心指導下完成的，她嚴肅的科學態(tài)度，嚴謹的教學精神，精益求精的工作作風，深深地感染激勵我，從課題的選定到論文最后的落定，杜老師都始終給予我細心的指導和不懈的支持，從開題報告的撰寫到論文初稿上

55、交，以及二稿的修改，一直到定稿，杜老師百忙之中孜孜不倦地幫助我深刻徹底地理解模掌握模型的核心。在她悉心指導下，我從對logistic模型的一知半解到現在的分析理解，這些一切都離不開杜老師的幫助和支持。</p><p>　　感謝李光楠、黃京等同學在我撰寫論文期間給予的幫助，感謝他們在我遇到困難和問題的時候幫我解決問題或提出一些建設性的建議，這篇論文的成功落稿離不開他們的幫助。</p><p>