幾何背景分析在高等代數(shù)課程學習中的作用[開題報告]

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開題報告</b></p><p><b>　　信息與計算科學</b></p><p>　　幾何背景分析在高等代數(shù)課程學習中的作用</p><p>　　一、選題的背景、意義</p><p><b>　　1．選題的背景</b></p>

2、;<p>　　我們知道高等代數(shù)與解析幾何之間的重復現(xiàn)象，在高等代數(shù)、解析幾何與近世代數(shù)、微分方程之間又何嘗沒有。因此統(tǒng)籌考慮代數(shù)類與幾何類的課程體系改革是必要的又是可能的。高代與近代之間是關(guān)系非常緊密、內(nèi)容也有重疊。如多元多項式，Jordan標準形等。這些內(nèi)容在高代中論述相當之麻煩，而在近代中可簡捷明了論述清楚[1]。這樣在高代中棄之不講，而放在近世代數(shù)中可得到事半功倍之效。本世紀的微分幾何代表Cartan（卡當）、陳省身

3、所研究的問題經(jīng)常是整體的、大范圍的，故常稱為整體微分幾何。他們使用的研究方法，如活動標架法，外微分形式等與代數(shù)理論關(guān)系可以說是形影不離，微分幾何在一定意義上正在代數(shù)化。雖然大學微分幾何課主要講經(jīng)典微分幾何，以往的教法很少與代數(shù)聯(lián)系?，F(xiàn)在則盡量利用代數(shù)語言與方法，如用非代數(shù)方法講解結(jié)構(gòu)方程與基本定理；用對稱變換講解主方向，主曲率，Gauss曲率與平面曲率等。這些講法不僅和高等代數(shù)、解析幾何、近世代數(shù)緊密聯(lián)連，而且更貫穿了現(xiàn)代微分幾何的思想

4、與方法[2]。當然這也要求高等代數(shù)與解析幾何課更新有關(guān)內(nèi)容與之相適應(yīng)。這樣就強化了微分幾何與高等代數(shù)、解析幾何、近世代數(shù)的聯(lián)系，同時，也使古典微分幾</p><p><b>　　2．選題的意義</b></p><p>　　從數(shù)學發(fā)展史上看，代數(shù)與幾何關(guān)系已密不可分，相互依賴，早在歐式幾何原本那里，包括幾何數(shù)論和初等代數(shù)一些內(nèi)容，幾何與代數(shù)不加劃分，幾何學幾乎代表了全部

5、數(shù)學，事實上英文書名為《Elements》。故應(yīng)譯為《原本》，而《幾何原本》“幾何”二字由利瑪竇與徐光啟在1607年翻譯為中文時所添加上去。十四世紀初，人們承認原理數(shù)后就有了用數(shù)表示線段的長度，二、三維圖形的面積、體積等，阿拉伯人用代數(shù)方法解方程，然后用幾何圖形說明所做步驟的原理。這種做法展示了代數(shù)與幾何之并行不悖，這種并行性的進一步，充分發(fā)揚并導致解析幾何的產(chǎn)生[3]。誠然，解析幾何是以代數(shù)為工具來研究幾何問題，因而我們可本著“工欲善

6、其事，必先利其器”的原則，我們可否先討論高等代數(shù)，而后用之解決解析幾何問題？從本質(zhì)上看，解析幾何中的二次曲線，二次曲面的分類與線性代數(shù)中的二次型的分類可的說是一回事。至今解析幾何課一直先于或同時與高等代數(shù)開設(shè)。教師教得費心，學生學得辛苦。例如，解析幾何中的共線共面，二次曲面的導向，漸近方向，主方向，共軛方向等，有了線性代數(shù)知識后，介紹起來異常簡單。其實這些內(nèi)容只不過是低維空間的線性代數(shù)而已。單在解析幾何課中學</p>&l

7、t;p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題</p><p>　　2.1 高等代數(shù)和解析幾何</p><p>　　2.1.1 高等代數(shù)的組成</p><p>　　高等代數(shù)是大學數(shù)學科學學院（或數(shù)學系，應(yīng)用數(shù)學系）最主要的基礎(chǔ)課程之一。高等代數(shù)課程的教學內(nèi)容包括三個方面：線性代數(shù)，多項式理論，群、環(huán)、域的基礎(chǔ)概念。線性代數(shù)占的比重最大，它研究線性空間及其

8、線性映射（包括具有度量的線性空間及與度量有關(guān)的線性變換）。多項式理論是研究一元和多元多項式環(huán)。群、環(huán)、域的基本概念是緊密結(jié)合多項式理論和線性變換（包括與度量有關(guān)的線性變換）理論，水到渠成地介紹一元（多元）多項式環(huán)、矩陣環(huán)、線性變換環(huán)、模剩余類域、正交群、酉群和辛群【5】。</p><p>　　2.1.2 解析幾何的范圍</p><p>　　代數(shù)幾何是數(shù)學的一個分支，顧名思義，它把抽象代數(shù)

9、的方法，特別是交換代數(shù)，與幾何的語言和問題糅合在一起．在與復分析，拓撲，數(shù)論等有多重聯(lián)系的現(xiàn)代數(shù)學的各個領(lǐng)域中，代數(shù)幾何占據(jù)了中心位置。代數(shù)幾何最初研究多個變量的多項式方程組，它并不始于方程求解，而是至少掌握方程組的全部解，以得到某些解，這就把整個數(shù)學在概念和技術(shù)方面帶入了更深遠的領(lǐng)域，代數(shù)簇是它的最基本的研究對象。而分類問題又是代數(shù)幾何中的主要研究課題，它起著引導代數(shù)幾何發(fā)展和進步的作用?！?】</p><p>

10、;　　2.1.3 高等代數(shù)的幾何意義</p><p>　　線性代數(shù)實際上產(chǎn)生于解析幾何，線性代數(shù)的許多基本概念和方法都有很強的幾何背景，從幾何角度來學習線性比較容易理解，其效果比單純從代數(shù)角度來學習更好。幾何為代數(shù)提供直觀背景，代數(shù)為幾何提供研究方法。數(shù)理邏輯是科學研究擅長的思維方式，但人類對幾何圖形的直觀認識卻是與生俱來的，“數(shù)形結(jié)合”恰恰是聯(lián)系二者的橋梁。直觀的模型，形象的認識，輔以邏輯推理，將有利于數(shù)學結(jié)

11、論的理解和掌握。我們把通過對幾何圖形進行觀察，根據(jù)直觀認識的橫向遷移來解決其它數(shù)學分支相關(guān)問題的方法稱為幾何直觀方法[6]。高等代數(shù)是研究線性空間及其上的線性變換的學科，課程中大量的公式、定理、推論都是采用嚴格的演繹論證方法，抽象程度高，邏輯性強。學生在學習知識時很難深刻理解其中的抽象概念和復雜結(jié)論，學習效率不高[4]。利用幾何直觀方法，把抽象的問題形象化，結(jié)合直觀的形象對抽象內(nèi)容加以理解，可以幫助學生理解概念，發(fā)現(xiàn)研究思路，有效開展推

12、理、猜想，直至問題解決。因此，在教學中運用幾何直觀與演繹論證相結(jié)合的方法，不僅是學生學好高等代數(shù)的需要，而且對培養(yǎng)學生分析問題的能力和養(yǎng)成科學的思維品質(zhì)都具有十分重要的意義[7]。</p><p>　　2．2 幾何在高等代數(shù)中運用的實例</p><p>　　2.2.1 幾何在線性方程中的運用【1】</p><p>　　我們用解析幾何中直線的相交問題來解決代數(shù)中

13、有關(guān)線性方程組解的定理以及向量的線性相關(guān)性問題可以使代數(shù)問題變的很簡單，下面我們給出1個例題及其的3種解法。</p><p>　　例1 設(shè)，則三條直線，其中，交于一點的充要條件是（ ）</p><p>　?。ˋ）線性相關(guān) （B）線性無關(guān)</p><p>　?。–） （D）線性相關(guān)，線性無關(guān)</p><p>　　解法一 ：

14、首先，由條件知，</p><p>　　三條直線交于一點線性方程組有唯一解由唯一表示線性相關(guān)，且線性無關(guān)；</p><p>　　解法二 ：設(shè)矩陣，則三條直線交于一點線性方程組有唯一解線性相關(guān)，且線性無關(guān)；</p><p>　　解法三 ：三條直線交于一點線性方程組有唯一解，其中由有解線性相關(guān)，由有唯一解線性方程組的解空間為零空間，從而，得出線性無關(guān)；反之，由線性相關(guān)，且

15、線性無關(guān)由唯一表示，從而線性方程組有唯一解；</p><p>　　以上題目給出了二維幾何空間中的三條直線交于一點的一個充要條件，通過它的求解</p><p>　　可以幫助我們把很多東西總結(jié)歸納連起來，比如：</p><p>　　1.用到了線性方程組的三種形式：</p><p>　　常規(guī)形式向量形式，其中, 矩陣形式，其中</p>

16、<p>　　2.看到了線性方程組有唯一解的幾何背景；</p><p>　　3.通過類比、聯(lián)想可以得出幾何空間中很多幾何相關(guān)結(jié)論的代數(shù)判別方法，比如中四平面交于一點線性相關(guān)，線性無關(guān)；又比如 中一條直線與平面相交線性相關(guān)，且線性無關(guān)。</p><p>　　4.通過求解，能熟悉串聯(lián)代數(shù)中的相關(guān)命題，比如：</p><p>　　線性方程組，其中有唯一解由唯一

17、表示線性相關(guān)，且線性無關(guān)矩陣方程，其中有唯一解?！?】</p><p>　　2.2.2 幾何在矩陣乘冪計算中的運用【8】</p><p>　　矩陣是高等代數(shù)中的一個很重要的部分也是高等代數(shù)的難點，很多同學都感覺很困難，下面舉1例幾何法解矩陣乘冪的題目。</p><p>　　例二 ：計算，其中n是正整數(shù)。</p><p>　　解一 ：按照矩陣

18、正常的計算方法，先計算</p><p><b>　　由歸納法，得出</b></p><p>　　下面我們將之與幾何空間中平面的旋轉(zhuǎn)線性變換結(jié)合起來進行計算。</p><p>　　解二 ：設(shè)幾何空間中，為平面按逆時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)角的線性變換，則線性變換的具體坐標表達形式為：</p><p>　　又取中的自然基，由，求得線

19、性變換T在該基下的矩陣為。</p><p>　　則題目中所求的可以看成是線性變換的次冪即在中自然基下的矩陣；而在幾何上看就是平面按逆時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)個角即角的線性變換，故在自然基下的矩陣就是。</p><p><b>　　因此，有?！?】</b></p><p>　　歐幾里得空間中的向量線性運算</p><p>　　為

20、了把幾何空間中的向量長度與向量間夾角的概念推廣到高維線性空間，需要限制于實數(shù)域，再定義一個稱為向量內(nèi)積的實函數(shù)。這樣就得到了歐幾里得空間。歐幾里得空間總是有限維的，并且由于有了度量的概念。用歐幾空間的一些性質(zhì)可以可以簡化向量的運算，下面我們來看1例題?！?1】</p><p>　　例三 ：設(shè)是維歐氏空間，是的一個基，由此基得到的一個正交基的過程是：</p><p><b>　　。

21、</b></p><p>　　這一過程在二維幾何空間中的體現(xiàn)是：由兩個不共線（線性無關(guān)）的向量得到兩個相互垂直（正交）的向量，我們可以通過直觀圖示來展示正交化過程（見圖1）。</p><p><b>　　這里，</b></p><p>　　若在中體現(xiàn)上述正交化過程就是：由三個不共面（線性無關(guān)）的向量組得到三個兩兩垂直的向量組（正交組

22、），具體圖示（見圖2）?！?2】 </p><p><b>　　圖中，</b></p><p><b>　　是在上的正交投影，</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　高等代數(shù)里的幾何直觀法</p><p>　　數(shù)

23、學教學的目的是培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。直觀是抽象思維問題的信息源，又是途徑信息源，它不僅為抽象思維提供信息，而且由于直觀形象在認知結(jié)構(gòu)中有較強鮮明性，可以多思路、反復地給抽象思維以技巧。幾何直觀圖形的使用，可以幫助學生發(fā)現(xiàn)并理解數(shù)學問題,掌握數(shù)學發(fā)現(xiàn)的方法，有利于培養(yǎng)學甥的觀察能力和分析能力?！?】</p><p>　　例4 　數(shù)域上線性空間是高等代數(shù)中充分體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學的集合論思想和公理化方法

24、的概念,抽象程度高，一般的講解方法是：定義 到 的一個代數(shù)運算,稱為加法，滿足封閉性和交換律、結(jié)合律，在中存在加法零元和加法負元；又定義 到的映射，稱為數(shù)乘，滿足封閉性和四個算律，我們把這樣的集合 稱為數(shù)域上的一個線性空間。對此,許多初學者難以聽懂、理解和掌握。在教學中，我們輔助以幾何直觀圖式法就可使講解變得簡潔、直觀和明了。</p><p>　　運算封閉性直觀圖式：</p><p>&l

25、t;b>　　加法算律直觀圖式：</b></p><p><b>　　數(shù)乘算律直觀圖示：</b></p><p>　　這些幾何直觀圖式，既直觀又形象，再配合精辟的語言講解，學生們腦海里就可以迅速形成關(guān)于線性空間結(jié)構(gòu)的圖式，信息存貯就容易多了。類似的，在研究線性空間的同構(gòu)、線性變換的核與值域、不變子空間時，我們都可以采用幾何直觀圖式法，邊畫圖邊講解,最終

26、完成知識的迅速存貯與理解?！?2】</p><p>　　2．3 解空間結(jié)構(gòu)與幾何空間中線面關(guān)系的判定</p><p>　　2.3.1 平面與平面的關(guān)系</p><p>　　設(shè)幾何空間 中平面每個平面都可看成一個 中的2維線性流形，它們的方向子空間都是 中的2維線性子空間,則之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性方程組</p><p>　　的解的情況討論。

27、 具體地說,就是轉(zhuǎn)化為解集</p><p><b>　　與解集</b></p><p>　　的結(jié)構(gòu)討論,其中 就是線性方程組的解空間。當時, 是以 為方向子空間的線性流形。</p><p>　　設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為, 增廣矩陣為， 則自然有或。 現(xiàn)在根據(jù) 與 來討論之間的各種關(guān)系。</p><p><b>

28、　　(i)當時，</b></p><p>　　是一個2維線性子空間，即的方向子空間相交成一個平面，</p><p>　　故之間關(guān)系是:其中至少有兩個平行,其余的與這兩個或重合或平行。</p><p>　?。╥i）當時是一個1維線性子空間(過原點的直線) ,即πi 的方向子空間相交成過原點的一條直線,故之間關(guān)系是:任兩個平面的交線(若有的話) 互相平行且至

29、少有兩條交線。 以為例的關(guān)系如圖1。</p><p>　　(iii)當時(這里首先要求,此時) , 是一個0維線性子空間(即為原點) ,即 的方向子空間相交于原點,故之間關(guān)系是:至少有三個平面相交于一點且該點至少不屬于其余平面中的一個。 以為例, 的關(guān)系如圖2。</p><p>　　(iv) 當 時(此時) , 是一個2 維線性子空間(過原點的平面) ,故 是2 維的線性流形(平面) ,

30、 即 重合。</p><p>　　(v) 當 時(此時) , 是一個1 維線性子空間(過原點的直線) ,故 是1 維的線性流形(直線) , 即相交成一條直線。</p><p>　　(vi) 當時(此時 ) , 是一個0 維線性子空間(原點) ,故 是0 維的線性流形(單點集) ,此時相交成一點。 以為例,如圖3 所示?！?】</p><p>　　2.3.2 二

31、條直線之間的關(guān)系【11】</p><p><b>　　設(shè)</b></p><p>　　都是 中的1 維線性流形,設(shè)它們的方向子空間分別為</p><p>　　這里，則與的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性方程組</p><p>　　的解的情況討論。 具體就是轉(zhuǎn)化為解集</p><p><b>　　與解集&l

32、t;/b></p><p><b>　　的結(jié)構(gòu)討論。</b></p><p>　　設(shè)線性方程組(ii) 的系數(shù)矩陣為, 增廣矩陣為 , 則自然有。</p><p>　　(i) 當 時(此時) , 是一個1維線性子空間(直線) ,即與的方向子空間 相交成一條直線,故與關(guān)系是:平行。</p><p>　　(ii) 當

33、 時(此時)，是一個0 維線性子空間(原點) ,即 與的方向子空間相交成一個原點,故與關(guān)系是:異面。</p><p>　　(iii) 當時(此時) , 是一個1 維線性子空間(直線) ,即 的是1 維的線性流形(直線) ,故與關(guān)系是:重合。</p><p>　　(iv) 當時(此時) , 是一個0 維線性子空間(原點) ,即 是0 維的線性流形(單點集) ,故與關(guān)系是:相交。</p&

34、gt;<p>　　2.3.3 一條直線與一個平面【15】</p><p><b>　　設(shè)</b></p><p>　　是中的1 維線性流形, 是中的2 維線性流形,設(shè)它們的方向子空間分別為</p><p>　　則 與的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性方程組</p><p><b>　　（3）</b>&l

35、t;/p><p>　　的解的情況討論。 具體即轉(zhuǎn)化為解集</p><p><b>　　與解集</b></p><p><b>　　的結(jié)論討論。</b></p><p>　　設(shè)線性方程組(3) 的系數(shù)矩陣為, 增廣矩陣為, 則自然有 。</p><p>　　(i) 當 時(此時)

36、, 是一個1 維線性子空間(直線) ,即與的方向子空間與相交成一條直線,故與關(guān)系是:直線與平面平行。</p><p>　　(ii) 當 時(此時) , 是一個1 維線性子空間(直線) ,即是1 維的線性流形(直線) ,故與關(guān)系是:直線在平面內(nèi)。</p><p>　　(iii) 當 時(此時) , 是一個0維線性子空間(原點) ,即是0維的線性流形(單點集) ,故與關(guān)系是:直線與平面相交。

37、【15】</p><p>　　三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點，預(yù)期達到的目標</p><p><b>　　1．研究內(nèi)容</b></p><p>　　1、全面闡述高等代數(shù)與解析幾何課程內(nèi)容特點，真切理解課程主旨思想，即：“幾何為代數(shù)提供背景，代數(shù)為幾何提供解決問題的方法”。</p><p>　　2、在課程主旨思想下，站

38、在學生學習的角度，從數(shù)學學習方法的思維特點、數(shù)學方法論的思想理論角度出發(fā)，結(jié)合實際內(nèi)容事例，全面論述幾何背景分析在高等代數(shù)課程學習中的作用。</p><p>　　3、論文的書寫必須要理論與實踐相結(jié)合，應(yīng)該對學生的學習有一個真真切切的幫助。</p><p>　　2．研究方法及技術(shù)路線</p><p>　　本論文主要以查找資料，以現(xiàn)有的知識水平，在前人的研究論述基礎(chǔ)上，

39、把代數(shù)內(nèi)容同幾何方法聯(lián)系起來，主要的紐帶就是意義上不同的兩個數(shù)X、Y 形成的有序?qū)崝?shù)對直角坐標平面內(nèi)墊的對應(yīng)、聯(lián)系（或有序?qū)崝?shù)組與三位空間中點的聯(lián)系），對于代數(shù)問題中的一些難點，如能用幾何方法來解決，好多時候事半功倍。采取了從大量閱讀已有的數(shù)據(jù)資料——然后對這些內(nèi)容進行總結(jié)——最后運用相關(guān)知識能夠把不同領(lǐng)域的內(nèi)容方法聯(lián)系起來。</p><p><b>　　3.研究難點</b></p&g

40、t;<p>　?。?）對高等代數(shù)和解析幾何的掌握不夠深入；</p><p>　?。?）由于論題比較深奧，很難有獨創(chuàng)或新穎之處；</p><p>　?。?）內(nèi)容比較廣方法比較多，本文只講述重要常用的。</p><p><b>　　4.預(yù)期達到的目標</b></p><p>　　通過這次論文的撰寫了解代數(shù)內(nèi)容以

41、幾何形式來體現(xiàn)，在數(shù)學內(nèi)容中集中體現(xiàn)在函數(shù)與解析幾何方面，函數(shù)概念及其表達式本來是純代數(shù)內(nèi)容,但對函數(shù)一些性質(zhì)的理解、掌握常借助于函數(shù)圖像，結(jié)合函數(shù)圖像解決一些代數(shù)問題自然顯示了解析幾何的特點。幾何與代數(shù)的統(tǒng)一是解決數(shù)學問題的重要思想方法，同時又是培養(yǎng)良好數(shù)學素質(zhì)的基礎(chǔ)。所以在數(shù)學內(nèi)容時，應(yīng)建立、熟悉、應(yīng)用這種思想方法，重視解決代數(shù)問題時幾何方法的應(yīng)用。</p><p>　　四、論文詳細工作進度和安排</p

42、><p>　　第七學期11周（2010年11月18號）至第七學期18周（2011年1月6號）</p><p>　　完成畢業(yè)論文文獻檢索、文獻綜述、文獻翻譯及開題報告。</p><p>　　第七學期18周2011年1月7號）至第八學期3周（2011年3月11號）</p><p>　　完成畢業(yè)論文的論文初稿。</p><p>

43、　　第八學期4周（2011年3月14號）至第八學期11周（2011年5月3號）</p><p>　　1、進入實習單位進行畢業(yè)實習，對論文進行修改；</p><p>　　2、第11周（2011年5月3日）前必須返校，完成畢業(yè)實習返校，并遞交畢業(yè)實習報告，進一步完善畢業(yè)論文；</p><p>　　第八學期14周（2011年5月23號）至第八學期15周（2011年6月3號

44、）完成第一輪畢業(yè)論文答辯；</p><p>　　第八學期15周（2011年6月5日）至第八學期16周（2011年6月10日）</p><p>　　第一輪畢業(yè)論文答辯未通過的學生完成第二輪畢業(yè)論文答辯，并隨機抽取部分完成較好地畢業(yè)論文進行校級答辯。</p><p><b>　　五、主要參考文獻</b></p><p>　　

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