畢業(yè)論文構造法在中學數學解題中的應用

1、<p>　　題目:構造法在中學數學解題中的應用</p><p>　　年級：數統(tǒng)學院2011級2班</p><p>　　專業(yè)：數學與應用數學</p><p><b>　　姓名：</b></p><p>　　學號：20111021229</p><p>　　摘要：本文從構造方程、函數、圖形、

2、遞推數列這些常見構造出發(fā)，構造出解題的數學模型, 從而使問題得到解決。在構造法解題的過程中，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，在解題中被廣泛應用。它是一種極其富有技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，運用構造法解數學題可從中激發(fā)學生的發(fā)散思維，使學生思維和解題能力得到培養(yǎng)，對培養(yǎng)學生的多元化思維和創(chuàng)新精神大有裨益。</p><p>　　關鍵詞：構造、數學解題、轉化。 </p><p>&l

3、t;b>　　前言</b></p><p>　　構造法，即構造出使用公式或定理的條件，或對所解題目賦予幾何意義，或構造出題目所滿足的條件的具體事例來驗證結論的正確性或推翻結論等手段來解題的方法，是運用數學的基本思想, 經過認真的觀察, 深入的思考, 構造出解題的數學模型, 從而使問題得到解決。它內涵十分豐富, 沒有完全固定的模式可以套用, 它是以廣泛抽象的普遍性與現實問題的特殊性為基礎, 針對具體

4、的問題的特點而采取相應的解決辦法。在解題時，要善于將數與形結合，將式與方程、函數、圖形等建立聯系，構造出一種新的問題形式，架起一座連接條件和結論的橋梁，如方程、函數、圖形、模型等，在數學表達的幾種形式之間找出相互關系。從而使問題得以解決。 </p><p>　　構造法在數學中的應用</p><p><b>　　2.1 構造函數法</b></p><

5、p>　　在求解某些數學問題中，根據問題的條件，構想、組合一種新的函數關系，使問題在新的觀點下實行轉化并利用函數的有關性質解決原問題是一種行之有效的解題手段。在解決不等式的證明題時常常通過構造輔助函數，把原來問題轉化為研究輔助函數的性質，并利用函數的單調性、有界性、奇偶性等性質來解決。</p><p><b>　　例1：求證不等式：</b></p><p><

6、;b>　　證明：構造函數：</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以的圖像關于軸對稱。當時，，故；當時，依圖象的對稱性知.故當時，恒有.即 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　例2：已知，求證： </p>

7、<p>　　證明：構造函數，則，設,由</p><p>　　顯然：因為，所以-＜0，＞1，所以，</p><p>　　所以在上是單調遞增的，所以</p><p>　　以上兩題的實質上是用的函數的單調性、奇偶性來證明的，其中如何來構造恰當的函數是進一步證明的關鍵。</p><p><b>　　2.2構造遞推數列</

8、b></p><p>　　數列的通項公式是數列的核心內容之一，它如同函數中的解析式一樣，有了解析式便可研究其性質等；有了數列的通項公式便可求出任一項以及前項和等.因此，求數列的通項公式往往是解題的突破口、關鍵點。因此近年來的高考題中經常出現給出數列的解析式（包括遞推關系式和非遞推關系式），求通項公式的問題，常常用構造法(構造等差、等比數列)。</p><p>　　例3：數列中，，求通

9、項.</p><p>　　解：令且，得，則數列是以6為首項，2為公比的等比數列，所以，則.</p><p>　　本題是形如為非零常數）的，若，則為等差數列，否則，構造等比數列。</p><p>　　例4：已知數列滿足，，求通項.</p><p><b>　　解： </b></p><p>　　數列

10、是首項是3，公比為-2的等比數列.從而</p><p><b>　　即</b></p><p>　　本題形如為非零常數)，將其變形為</p><p>　　若，則是等差數列，公差為，可用公式求通項；若，則采用構造等比數列.</p><p>　　例5：已知數列滿足：，若數列是等比數列，求實數的值；求通項.</p>

11、<p><b>　　解：設</b></p><p><b>　　得</b></p><p><b>　　因為,所以</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　由已知可得，所以</b>&l

12、t;/p><p>　　則存在常數使得數列為等比數列.</p><p><b>　　所以，則.</b></p><p>　　本題形如為非零常數）的形式，解決此問題，一般將其構造為等比數列.</p><p>　　2.3構造方程或方程組</p><p>　　根據題設條件，利用方程的根的定義、根的判別式、韋達

13、定理等相關知識構造出方程或方程組，然后利用方程或方程組的有關知識，使問題得以解決。</p><p>　　例6：已知實數滿足 ，求的值。</p><p><b>　　解：由已知可得：</b></p><p>　　以為兩實數根，構造方程，因為方程有實根，所以</p><p>　　所以，所以方程有兩個相等的實數根，所以，于是有

14、，所以，所以.</p><p><b>　　例7：求證：</b></p><p><b>　　證明：設則：</b></p><p><b>　　當時，顯然成立.</b></p><p><b>　　當時</b></p><p>&l

15、t;b>　　所以：</b></p><p><b>　　2.4構造圖形法</b></p><p>　　數與形是和諧統(tǒng)一的，是數學教學中不可分割的兩方面，用數與形轉化思想解題，能充分利用幾何直觀性，且解法簡潔，在解題過程中能培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。要靈活運用數形結合的方法，必須對解析幾何中的公式及其各種變形有相當深刻的認識，也要對所求解的問題的數、式、形

16、等特征有比較準確的把握，敢于聯想，善于聯想是構造法的關鍵。</p><p>　　例8： 一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）. </p><p>　　A．3 B.4 C.3 D. 6</p><p><b>　　圖1</b></p>&l

17、t;p>　　解：構造一個棱長為1的正方體(如圖1) ，連，則四面體為符合題意的四面體，它的外接球的直徑即為正方體的對角線長.設該外接球的半徑為,則,所以此正四面體外接球的表面積為,故選A.</p><p><b>　　圖2</b></p><p>　　例9：已知全集，集合為真子集，若，，,則有（ ）</p><p>　　A.，

18、 B.，</p><p>　　C.， D.，</p><p>　　分析：由韋恩圖3知，三個集合的關系如下圖：一目了然，選答案C.</p><p><b>　　圖3</b></p><p><b>　　總結</b></

19、p><p>　　通過上述的例子說明了，構造法解題有著在你意想不到的功效，問題很快便可解決。它可以構造函數、方程、圖形甚至其它構造，就會促使學生要熟悉幾何、代數、三角等基本知識技能并多方設法加以綜合利用，這對學生的多元思維培養(yǎng)學習興趣的提高以及鉆研獨創(chuàng)精神的發(fā)揮十分有利。構造法解題的思維過程具有一定的靈活性和創(chuàng)造性，運用構造法解題需要掌握數學知識之間的互相關系，而且需要較強的思維能力和創(chuàng)新意識。</p>

20、<p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　[1] 薛金星. 怎樣解題[M]. 北京教育出版社，2004.205-214.</p><p>　　[2] 王桂青. 初中數學競賽中的構造法分析[J].考試周刊，2007，（1）：101-102.</p><p>　　[3] 黃加衛(wèi). 給數學構造性解題方法提個醒[J].中學數

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