幾類常微分方程的典型解法[開題報告]

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開題報告</b></p><p><b>　　數(shù)學與應用數(shù)學</b></p><p>　　幾類常微分方程的典型解法</p><p>　　一、選題的背景、意義(所選課題的歷史背景、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢)</p><p>　　常微分方程,是一個有長期歷史,而又正

2、在不斷發(fā)展的學科;是一個既有理論研究意義,又有實際應用價值的學科;是一個既得力于其他數(shù)學分支的支持,又為其他數(shù)學分支服務的學科,是一個表現(xiàn)客觀自然規(guī)律的工具學科,又是一個數(shù)學可以為實際服務的學科.</p><p>　　當牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立了微積分以后,數(shù)學家便開始謀求用微積分這一有力的工具區(qū)解決愈來愈多的物理問題,但他們很快發(fā)現(xiàn)不得不去對付一類新的更復雜的問題,這類問題不能通過簡單的積分解決,要解決這類問題需要專

3、門的技術(shù),這樣,微分方程這門學科就應運而生了.</p><p>　　常微分方程是17世紀與微積分同時誕生的一門理論性極強且應用廣泛的數(shù)學學科之一.文獻一中提到,常微分的發(fā)展主要可以分為四個階段: 常微分的經(jīng)典階段--以通解為主要研究內(nèi)容、常微分方程的適定性理論階段--以定解問題的適定性理論為研究內(nèi)容、常微分方程的解析理論階段--以解析理論為研究內(nèi)容、常微分方程的定性理論階段--以定性與穩(wěn)定性理論為研究內(nèi)容.<

4、;/p><p>　　微分方程的發(fā)展初期是對具體的常微分方程希望能用初等函數(shù)或超越函數(shù)表示其解,屬于“求通解”時代.萊布尼茲(Leibniz)曾專門研究利用變量變換解決一階微分方程的求解問題,而歐拉(Euler)則試圖用積分因子統(tǒng)一處理,伯努利(Bernoulli)、里卡蒂(Riccati)微分方程就是在研究初等積分時提出后人們以他們的名字命名的方程.早期的常微分方程的求解熱潮被劉維爾(Liouville)于1841年

5、證明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中斷.加上柯西(Cauchy)初值問題的提出,常微分方程從“求通解”轉(zhuǎn)向“適定性理論”階段.19世紀20年代,他建立了柯西問題解的存在唯一性定理.1873年,德國數(shù)學家李普希茲(Rudolph Lipschitz.1832-1903)提出著名的”李普希茲條件”,對柯西的存在唯一性定理做了改進.在適定性理論的研究中,與柯西、李普希茲同一時期的還有皮亞拿跟皮卡,他們先后于1875年和1876年給出常微分方程

6、的逐次逼近法,皮亞拿在僅僅要求在點領(lǐng)域連續(xù)的條件下證明了柯西問題解的存在性.后來這方面的理論有了很大的發(fā)展,這些基本理論包括:解的存在及唯一解,延展性,解的唯一</p><p>　　常微分方程的形成于發(fā)展是與力學、天文學、物理學及其他自然科學技術(shù)的發(fā)展相互促進和相互推動的.數(shù)學的其他分支的新發(fā)展如復變函數(shù)、組合拓撲學等都給常微分方程的發(fā)展已深刻地影響.當前計算機的發(fā)展為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工

7、具.現(xiàn)在,常微分方程在很多學科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應用,自動控制、各種電子學裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應過程穩(wěn)定性的研究等.這些問題都可以化為求常微分方程的解,或者化為研究解的性質(zhì)的問題.但是,數(shù)學家發(fā)現(xiàn),不是所有的微分方程的通解都能求出,從以前的“求通解”到“求解定解問題”的轉(zhuǎn)變,所以能求出問分方程的解是十分重要的.本文主要總結(jié)了幾種常微分方程的典型解法及其相關(guān)應用.</p><p&g

8、t;　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題</p><p>　　本文研究的基本內(nèi)容為:</p><p>　　緒論,主要包括常微分方程的背景、由來以及發(fā)展動態(tài).</p><p>　　幾類常微分方程的一般解法,主要內(nèi)容有常微分方程的基本概念、變量分離法、變量代換法、常數(shù)變易法.</p><p>　　幾類常微分方程的特殊解法,主要是介紹湊全微分法

9、、積分因子法.</p><p>　　幾類解法的應用,主要是應用前面的幾類解法來求解伯努利方程.</p><p>　　常微分方程是17世紀與微積分同時誕生的一門理論性極強且應用廣泛的數(shù)學學科之一.20世紀以來,隨著大量的邊緣學科諸如電磁流體力學、化學流體力學、動力氣象學、海洋動力學、地下水動力學等的產(chǎn)生和發(fā)展,出現(xiàn)不少新型的微分方程.70年代隨著數(shù)學向化學和生物學的滲透,出現(xiàn)了大量的反應擴散

10、方程.現(xiàn)在微分方程已經(jīng)在各個方面的應用越來越廣泛.后來數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)微分方程有無窮多個解,但發(fā)覺不是所有的微分方程的通解都能求解出來.從以前的“求通解”到“求定解問題”的轉(zhuǎn)變,所以能求出微分方程的解是十分重要的.所以,本文通過總結(jié)幾類常微分方程的典型解法,來加深對其的了解.</p><p>　　通過查閱文獻,了解常微分方程歷史背景、發(fā)展現(xiàn)狀,同時,在了解常微分方程的定義及其基本解法的基礎(chǔ)上,總結(jié)出幾類常微分方程的典

11、型解法.并且將這幾種典型解法應用于求解伯努利方程之中.</p><p>　　三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點,預期達到的目標</p><p>　　一、本課題的研究以綜述法為主,采用的技術(shù)路線是:首先在大量閱讀文獻的基礎(chǔ)上,了解常微分方程的歷史背景、發(fā)展動態(tài)、研究意義.然后在了解常微分方程的定義及其基本解法的基礎(chǔ)上,總結(jié)歸納出幾種典型解法,掌握它們的特點,并將它們應用到伯努利方程的求解當中

12、.</p><p>　　二、研究的主要難點是在幾種典型解法的歸納總結(jié)以及將他們應用于伯努利方程的求解.</p><p>　　三、預期達到的目標,通過本課題的研究,總結(jié)歸納出前人研究所得的成果,總結(jié)出幾種比較典型的解法,形成自己的觀點和認識.并將這些典型解法應用于伯努利方程的求解當中,鞏固對這些解法的理解.</p><p>　　四、論文詳細工作進度和安排</p&

13、gt;<p>　　（一）第七學期第9-10周:</p><p>　　確定論文題目;開始查閱文獻資料,收集各種紙質(zhì)、電子文件信息、材料并對其進行加工整理,形成系統(tǒng)材料;確定外文翻譯資料;</p><p>　?。ǘ┑谄邔W期第11-12周:</p><p>　　收集常微分方程求解的相關(guān)資料,仔細研讀,分析資料,完成外文翻譯;</p><

14、p>　?。ㄈ┑谄邔W期第13-17周:</p><p>　　認真閱讀文獻資料,加以歸納總結(jié),深入了解常微分方程的典型解法,完成文獻綜述及開題報告; </p><p>　　（四）第七學期第18周:</p><p>　　完成網(wǎng)上確認;上傳外文翻譯,文獻綜述、開題報告. </p><p><b>　?。ㄎ澹┖倨陂g:</b&g

15、t;</p><p>　　全面開展課題研究,按照研究方案和路線撰寫論文,對常微分方程的典型解法做具體的分析、總結(jié)及相關(guān)應用,完成論文初稿;</p><p>　　（六）第八學期第1-3周:</p><p>　　修改論文初稿,繼續(xù)完善論文初稿,把常微分方程的典型解法做詳細整理,對常微分方程的解法進行相關(guān)應用,完成研究任務,并確定進入實習階段;</p>&l

16、t;p>　　（七）第八學期第4-10周:</p><p>　　進入實習單位進行畢業(yè)實習,對論文再次進行修改;</p><p>　?。ò耍┑诎藢W期第11周:</p><p>　　完成畢業(yè)實習返校,并遞交畢業(yè)實習報告;</p><p>　　（九）第八學期第12-14周:</p><p>　　對論文進一步修改,并定稿;

17、</p><p>　?。ㄊ┑诎藢W期第15-16周:</p><p>　　準備并完成畢業(yè)答辯.</p><p><b>　　五、主要參考文獻:</b></p><p>　　[1] 張良勇,董曉芳.常微分方程的起源與發(fā)展[J].高等函授學報(自然科學版).2006,20(3):34-39.</p><p

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