隨機變量的函數及其分布

1、第六章 隨機變量的函數及其分布,第一節(jié) 一維隨機變量的函數及其分布,第二節(jié) 二維隨機變量的函數的分布,§6.1 一維隨機變量的函數及其分布,一、隨機變量的函數的分布,在許多實際問題中,常常需要研究隨機變量的函數的分布問題, 例:,☆測量圓軸截面的直徑d,而關心的卻是截面積：,d為隨機變量,☆統(tǒng)計物理中, 已知分子的運動速度x的分布, 求動能：,1. 背景,S是隨機變量的函數,,,x為隨機變量,y是隨機變量的函數,,

2、,一般地， 若隨機變量X的取值在一元實函數y = g(x)的 定義域內，則Y = g(X)成為隨機變量X的函數， 且它也是一隨機變量。,隨機變量及其函數間的關系,隨機變量X,分布函數F(x),密度函數f(x),隨機變量的函數Y = g(X),FY(x),fY(x),,,,,,還是隨機變量,,若X為離散型隨機變量, 其分布律為,則隨機變量X的函數Y = g(X)的分布律為,注意：如果g(xi )與g(xj )的值

3、相同，此時應 將這兩項合并，且對應的概率相加．,二、離散型隨機變量的函數的分布,,,概率,例：設隨機變量X的分布律為,求Y = 2X2+1的分布律．,解：,將表格延伸：,故 Y = 2X2+1的分布律為：,,,概率,,,概率,解：,由題設可得如下表格,例：設圓半徑R的分布律為,求周長及面積的分布律．,,,周長,,,面積,概率,設X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數為f (x). y = g(x)是一個連續(xù)函數，則

4、：,(1) 求隨機變量Y = g(X)的分布函數 FY (y)為：,(2) 隨機變量Y = g(X)的概率密度函數 fY (y)為：,三、連續(xù)型隨機變量的函數的分布,例：設隨機變量X的密度函數為,求隨機變量Y = 2X+8的概率密度.,(1) 先求Y = 2X+8的分布函數FY (y),解：,(2) 求Y = 2X+8的概率密度,,,即 Y服從[19，21]上的均勻分布．,Y = 0.1X+10的密度函數為：,X的密度函數為,例：

5、設隨機變量服從[90，110]上的均勻分布, 求Y = 0.1X+10的密度函數.,解:,解：,先求分布函數 FY (y),例：設隨機變量X服從正態(tài)分布 ， 求Y = aX+b的概率密度.,當 時，,所以，,當 時，,所以，,推論,定理1,正態(tài)分布的線性函數仍服從正態(tài)分布,正態(tài)分布的標準化方法,若隨機變量X及其函數Y = g(X)的密度函數分

6、別為fX (x), fY (y), 且g(x)是嚴格單調函數，則：,定理2,其中x = G(y)為y = g(x)的反函數.,下課了！今天就到這里吧！,一、二維隨機變量的函數的分布,(1) (X, Y)是二維隨機變量,Z的分布函數為：,問：如何確定隨機變量Z的分布呢？,§6.2 二維隨機變量的函數及其分布,假設：,(2) (X, Y)的聯合分布函數為F(x, y),(3) Z = g(X, Y)是隨機變量X, Y的二元

7、函數,二、二維離散型隨機變量的函數的分布,設(X, Y)是二維離散型隨機變量，其聯合分布律為,g(x, y)是一個二元函數，Z = g(X, Y)是二維隨機變量(X, Y)的函數，則隨機變量Z的分布律為：,例：設(X, Y)的聯合分布律為：,請求出：(1) X+Y的分布律； (2) X-Y的分布律； (3) X2+Y-2的分布律.,解：,由(X, Y)的聯合分布律可得

8、如下表格,概率,解得所求的各分布律為：,三、二維連續(xù)型隨機變量的函數的分布,Z的分布密度函數為：,(1) (X, Y)是二維隨機變量,Z的分布函數為：,假設：,(2) (X, Y)的聯合分布函數為F(x, y),(3) Z = g(X, Y)是隨機變量X, Y的二元函數,例：設二維隨機變量(X, Y)的概率密度為,求隨機變量 Z = X+2Y 的分布密度函數,解：,當 時，,當 時，,分布函數為,分布密度函數為,