教學案例 留數(shù)在定積分計算中的應用

1、教學案例教學案例15留數(shù)在定積分計算中的應用留數(shù)在定積分計算中的應用留數(shù)定理是復變函數(shù)的定理，若要在實變函數(shù)定積分中應用此定理，必須將實變函數(shù)化為復變函數(shù)。這就要利用解析延拓的概念。留數(shù)定理又是針對回路的積分，對定積分計算，就必須將定積分積分區(qū)間變?yōu)榛芈分械囊徊糠?。如圖，對于實積分，變量x定義在閉區(qū)間[ab]，此區(qū)間應是回路的一部分。實積分要變?yōu)閺妥兒瘮?shù)回路積分，則實函數(shù)必須解析延拓到復平面上包含回路的一個區(qū)域中而實積分成為復變函數(shù)沿回

2、路積分的一部分。2()()()bllafzdzfxdxfzdz?????A1.形如20(sincos)Rd?????令，則?iez?izdzddiedzi??????，izz2sin1????2cos1???zz?其中是的有理分式，當時，沿單位圓????cossinR??cossin??20??z的正向繞行一周，因此有1?zizdzizzzzRdRz)22()cos(sin20111????????????留數(shù)定理為1||1()d2πR

3、es[()]nkkzfzzifzz?????A0ab1l2l0?2?01?1ii???????????1212161213121zZdzzziizdzzzI被積函數(shù)在內只有一階極點161)(2???zzzf1?z，由公式830??z241]16[1lim])([Re200???????zzzzfszz故由留數(shù)定理222412?????iiI2.形如型積分?????dxxR)(其中為有理分式函數(shù).??)()(zQzPzR?例3計算積分??

4、??0222)1(xdxx解因為被積分函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以?????????????2222220222)1()()1(21)1(zzzfdxxxxdxx它一共有兩個二階極點，在上半平面只有一個極點，由公式iz??iz?得??.)]()[(lim)!1(1][Res10100??????mmmzzdzzfzzdmzzf???)][Resizf4)(lim22iizziz?????????????故???????????????????