數(shù)列的綜合應用

1、第十六節(jié) 數(shù)列的綜合應用 [自我反饋]1．已知正項等差數(shù)列{an}滿足：an＋1＋an－1＝a2(n≥2)，等比數(shù)列{bn}滿足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，則 log2(a2＋b2)＝( )A．－1 或 2 B．0 或 2C．2D．1解析：選 C 由題意可知，an＋1＋an－1＝2an＝a2，解得 an＝2(n≥2)(由于數(shù)列{an}每項都是正數(shù))，又 bn＋1bn－1＝b2＝2bn(n≥2)，所以 bn＝2(n≥

2、2)，log2(a2＋b2)＝log24＝2.2．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝m(m 為正整數(shù))，an＋1＝若 a6＝1，則 m 所有可能的取值為()A．{4,5}B．{4,32}C．{4,5,32}D．{5,32}解析：選 C an＋1＝注意遞推的條件是 an(而不是 n)為偶數(shù)或奇數(shù)．由 a6＝1 一直往前面推導可得 a1＝4 或 5 或 32.3．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＝6，若將 a1，a4，a5都加上同一個數(shù)，所得

3、的三個數(shù)依次成等比數(shù)列，則所加的這個數(shù)為________．解析：由題意知等差數(shù)列{an}的公差 d＝＝2，則 a4＝8，a5＝10，設所加的數(shù)為 x，依題意有(8＋x)2＝(2＋x)(10＋x)，解得 x＝－11.答案：－114．某住宅小區(qū)計劃植樹不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的 2 倍，則需要的最少天數(shù) n(n∈N*)等于________．解析：設每天植樹的棵數(shù)組成的數(shù)列為{an}，由題意可知它是等

4、比數(shù)列，且首項為 2，公比為 2，所以由題意可得≥100，即 2n≥51，而 25＝32,26＝64，n∈N*，所以 n≥6.答案：65．已知數(shù)列{an}的前 n 項和為 Sn，且 Sn＝n2，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且首項 b1＝1，b4＝8.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)若數(shù)列{cn}滿足 cn＝abn，求數(shù)列{cn}的前 n 項和 Tn.解：(1)∵數(shù)列{an}的前 n 項和為 Sn，且 Sn＝n2，∴當 n≥2

5、 時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.當 n＝1 時，a1＝S1＝1 亦滿足上式，故 an＝2n－1(n∈N*)．又數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，設公比為 q，1【規(guī)律方法】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略 【規(guī)律方法】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標 分析已知條件和求解目標,確定為最終解決問題需要首先求解的中間問題 確定為最終解決問題需要首先求解的中間問題,如為求和需要 如為求和需要先

6、求出通項、為求出通項需要先求出首項和公差 先求出通項、為求出通項需要先求出首項和公差(公比 公比)等,確定解題的順序 確定解題的順序.(2)注意細節(jié) 注意細節(jié).在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中 在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中,如果 如果等比數(shù)列的公比不能確定 等比數(shù)列的公比不能確定,則要看其是否有等于 則要看其是否有等于 1 的可 的可能,在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一 在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示

7、等 個公式表示等,這些細節(jié)對解題的影響也是巨大的 這些細節(jié)對解題的影響也是巨大的.提醒 提醒:在不能使用同一公式進行計算的情況下要注意分 在不能使用同一公式進行計算的情況下要注意分類討論 類討論,分類解決問題后還要注意結(jié)論的整合 分類解決問題后還要注意結(jié)論的整合.【變式訓練】 【變式訓練】(2016·天津模擬 天津模擬)已知等差數(shù)列 已知等差數(shù)列{an}的公差和首項都不等于 公差和首項都不等于 0,且 a2,a4,a8成等比數(shù)

8、列 成等比數(shù)列,則 則 1 5 92 3a a aa a+ ++= ( )A.2 B.3 C.5 D.6【加固訓練】 【加固訓練】1.等比數(shù)列 等比數(shù)列{an}的公比為 的公比為 q,前 n 項和為 項和為 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列 成等差數(shù)列,則公比 則公比 q 為 為 ( )A.-2 B.1C.-2 或 1 D.2 或-1