數(shù)學基礎1.3方向余弦陣

1、理論力學CAI版權所有, 2000 (c) 上海交通大學工程力學系,理論力學 CAI,數(shù)學基礎,方向余弦陣,前言矩陣矢量方向余弦陣平面矢量,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,2,方向余弦陣,方向余弦陣的定義 方向余弦陣的性質,方向余弦陣,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,3,方向余弦陣,方向余弦陣的定義 方向余弦陣的性質,方向余弦陣,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,4,方向

2、余弦陣的定義,問題的提出方向余弦陣定義,方向余弦陣/定義,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,5,方向余弦矩陣/定義,問題的提出,,,,同一個矢量在不同基下坐標陣的關系,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,6,方向余弦矩陣/定義,問題的提出,,,,同一個矢量在不同基下坐標陣的關系,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,7,方向余弦矩陣/定義,問題的提出,,,,～,不等但有關系,2024年3月19

3、日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,8,方向余弦矩陣/定義,方向余弦矩陣的定義,,,,對于兩個不同的基,定義如下3*3標量陣為基 關于基 的方向余弦矩陣,方向余弦矩陣的元素是兩基基矢量夾角的余弦,,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,9,方向余弦矩陣/定義,方向余弦陣的元素的幾何意義,,行陣的轉置是基 的基矢量在基 下的坐標陣,,坐標陣,基矢量,,,,,2024年3月19日,

4、理論力學CAI 數(shù)學基礎,10,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素的幾何意義,列陣是基 的基矢量在基 下的坐標陣,,坐標陣,基矢量,,,,,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,11,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素的幾何意義,基 關于基 的方向余弦矩陣對應于如下的表,,列陣是基 的基矢量在基 下的坐標陣,小結,2024年3月19日,理論力學CAI

5、 數(shù)學基礎,12,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素的幾何意義,[例]已知基 的三個基矢量在基 的坐標陣分別為,,,求基 關于基 的方向余弦陣,[解]由定義，基 關于基 的方向余弦陣,,,,,,,,,,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,13,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素的幾何意義,[例]求圖示基 對基 方向余弦陣

6、,,,其中:AB=AD=DP=1,[解] 基 基矢量 關于基 的坐標陣,,,,A,D,C,B,P,,,,,,,,,,,,,基 關于基 的方向余弦陣,,,,,,,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,14,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關系,方向余弦陣元素間的關系,,,單位基矢量,,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,15,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素

7、間的關系,,,三基矢量正交,,,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,16,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關系,,,三基矢量正交(右旋),,,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,17,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關系,,,三基矢量正交(右旋),三基矢量正交,,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,18,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關系,方向余弦陣九個元素應滿足六個的代數(shù)方

8、程,,三基矢量正交,方向余弦陣九個元素中只有三個是獨立的,單位基矢量,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,19,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關系,[例] 已知矢量 與 在基 下的坐標陣為,,,如果基 的基矢量 和 分別與 和 的方向一致,求 基 關于基 的方向余弦陣,,,,,,,,,,,,,2024

9、年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,20,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關系,[解],,,,,,,,,,,,,,,基矢量 和 基 下的坐標陣為,在基 下的坐標陣為,模,基矢量,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,21,方向余弦矩陣/定義/ 方向余弦陣元素間的關系,基矢量 , j=1,2,3, 在基 下的坐標陣為,,,,,,,,,,,,,,,基

10、 關于基 的方向余弦陣,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,22,方向余弦陣,方向余弦陣的定義 方向余弦陣的性質,方向余弦陣,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,23,方向余弦陣的性質,方向余弦陣/性質,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,24,方向余弦陣/性質,性質1:,基 關于基 的方向余弦陣 與基 關于基

11、 的方向余弦陣 互為轉置,證明,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,25,方向余弦矩陣/性質,性質2:,,,當兩個基的基矢量的兩兩方向一致，則它們的方向余弦陣為三階單位陣,證明,,,,,,,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,26,方向余弦矩陣/性質,性質3:,,,若有三個基 、 與 。其中基 關于基 和基 關于基

12、 的方向余弦陣分別為 與 ，則基 關于基 的方向余弦陣 為,此關系可推廣到有限個基的方向余弦陣轉換,,,,,,,,,證明,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,27,方向余弦矩陣/性質,性質4:,,方向余弦陣是一正交陣,證明,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,28,方向余弦矩陣/性質,性質5:,不同基下坐標陣之間的關系式為,,,證明,20

13、24年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,29,,,方向余弦矩陣/性質,性質6:,,不同基下的坐標方陣之間的關系式為,考慮矢量式 的坐標陣的運算式,證明,,,引入任意矢量,對于任意矢量,,,,,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,30,基 關于基 的方向余弦陣,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關系,[例] 已知矢量 與 的坐

14、標陣,,,求標量 與 在基 下的坐標陣表達式,[解],,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,31,方向余弦矩陣/性質,性質7:,,方向余弦陣的行列式等于1,,證明,,,,,,,2024年3月19日,理論力學CAI 數(shù)學基礎,32,方向余弦矩陣/性質,[例]求矢量 在基 與基 的坐標陣與坐標方陣,,,其中:AB=AD=DP=1,,,,A,D,C,B,P,,,,,,,,,