數學史 (2)

1、三國時曹魏劉徽注，唐朝李淳風注，南宋楊輝著《詳解九章算法》選用《九章算術》中80道典型的題作過詳解并分類，清李潢(？～1811年)所著《九章算術細草圖說》對《九章算術》進行了校訂、列算草、補插圖、加說明，尤其是圖文并茂之作．現代錢寶琮(1892～1974年)曾對包括《九章算術》在內的《算經十書》進行了校點，用通俗語言、近代數學術語對《九章算術》及劉、李注文詳加注釋．80年代以來，今人白尚恕、郭書春、李繼閔等都有校注本出版．,劉徽,與希臘

2、數學的發(fā)展同步，中國數學也有了長足的進步．一系列的數學思想和著作開始流傳，到了西漢時代的《九章算術》，標志著中國數學已逐漸形成體系．　　流傳至今的最早的數學思想，當推墨經中的幾何學與邏輯學的敘述．《莊子》中的“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”，蘊涵了無限的數學思想．到公元前兩百年，已有數學著作流傳．1984年在湖北江陵張家山出土的《算數書》竹簡，總字數約7000余，有60余小標題，如“方田”，“稅田”，“金價”，“合分”，“約分”，“少

3、廣”，“程禾”，“賈鹽”等等，涉及面積計算、開方、分數運算等．由于全部竹簡尚未公開，其內涵有待進一步研究，與《算數書》幾乎同時的還有《周髀算經》，涉及天文學上的分數運算、比例、等差級數等問題，而以勾股定理的論述最為重要．此后還有《淮南子》，《三統(tǒng)歷》、《許商算術》、《杜忠算術》等著作，涉及數學問題．而集大成的，就是《九章算術》，就其內容和標題來分折，它是《算數書》的繼續(xù)與發(fā)展．,《九章算術》的作者不詳．很可能是在成書前一段歷史時期內通過

4、多人之手逐次整理、修改、補充而成的集體創(chuàng)作結晶．由于二千年來經過輾轉手抄、刻印，難免會出現差錯和遺漏，加上《九章算術》文字簡略有些內容不易理解，因此歷史上有過多次校正和注釋，其中重要的有：,《九章算術》的主要內容，按算術、代數和幾何三部分概要介紹：,一、《九章算術》中的算術部分1．分數2．最大公約數與最小公倍數 3· 比例算法 4．盈虧問題 二、《九章算術》中的代數部分 1．開平方和開立方2．二次方程問題3

5、．多元一次方程組及其解法4．正負數三、《九章算術》中的幾何部分 1．面積計算2．體積計算3．勾股定理及其應用,一、《九章算術》中的算術部分,1．分數　　《九章算術》中有比較完整的分數計算方法，包括四則運算，通分、約分、化帶分數為假分數(我國古代稱為通分內子，“內”讀為納)等等．其步驟與方法大體與現代的雷同．　　分數加減運算，《九章算術》已明確提出先通分，使兩分數的分母相同，然后進行加減．加法的步驟是“母互乘子，并以為實，母

6、相乘為法，實如法而一”這里“實”是分子．“法”是分母，“實如法而一”也就是用法去除實，進行除法運算，《九章算術》還注意到兩點：其一是運算結果如出現“不滿法者，以法命之”．就是分子小于分母時便以分數形式保留．其二是“其母同者，直相從之”，就是分母相同的分數進行加減，運算時不必通分，使分子直接加減即可．,關于分數乘法，《九章算術》中提出的步驟是“母相乘為法，子相乘為實，實如法而一”．　　《九章算術》對分數除法雖然沒有提出一般法則，但算法也

7、很清楚．,2．最大公約數與最小公倍數　　《九章算術》中還有求最大公約數和約分的方法．求最大公約數的方法稱為“更相減損”法，其具體步驟是“可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也．以等數約之．”這里所說的“等數”就是我們現在的最大公約數．可半者是指分子分母都是偶數，可以折半的先把它們折半，即可先約去2．不都是偶數了，則另外擺(即副置)分子分母算籌進行計算，從大數中減去小數，輾轉相減，減到余數和減數相等，即得等數

8、．,如方田章第六題：“又有九十一分之四十九，問約之得幾何”．將更相減損這一運算寫成現代的圖式就是,法實質上是輾轉相減法．輾轉相減法與歐幾里得的輾轉相除法在步驟上雖然略有不同，但在理論上卻是一致的．,3·比例算法,在《九章算術》的第二、三、六等章內，廣泛地使用了各種比例解應用問題．粟米章的開始就列舉了各種糧食間互換的比率如下：“粟米之法：粟率五十，糲米三十，粺米二十七，糳米二十四，……”(圖1－23)這是說：谷子五斗去皮可得糙米

9、三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……．,例如，粟米章第一題：“今有粟米一斗，欲為糲米，問得幾何”．它的解法是：“以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一”．用現代的方式來表達，即為公式： 或所求數∶所有數=所求率∶所有率,這個題是欲將粟米換成糲米，其中“粟米一斗(十升)”是“所有數”，糲米數即為“所求數”，按規(guī)定“粟率五十”為“所有率”，糲米30為“所求率”．于是得所求數為10×30÷

10、;50=6(升)，這就是說一斗谷子可以礱得六升糙米．因而可以根據物與物的比率，再由今有數(所有數)即可求得未知數據(所求數)，因為這類應用問題大都依據“今有”的數據，問所求的數，因此我國古代數學家劉徽就用“今有術”作為這類比例問題解法的專用名詞．　　在《九章算術》中，今有術應用特別廣泛，是一種普遍的解題方法．與比率有關的其他一些算法一般都是在今有術的基礎上演化而來的．,《九章算術》中另一個常用的比率算法是衰分術，所謂“衰分”就是差分．

11、比例分配的意思，它是古代處理配分問題的一般方法，“衰分術曰，各置列衰(即所配的比率)，副并(得所配比率的和)為法，以所分乘未并者各自為實，實如法而一”，劉徽“注”說：“列衰各為所求率，副并(所得的和)為所有率，所分為所有數”，用“今有術”計算，就可以得到各所求數．,．例如衰分章第二題：“今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰，我羊食半馬(所食)，馬主曰，我馬食半牛(所食)，今欲衰償之，問各幾何”，依照羊主人、馬主人的話，牛、馬、羊

12、所食粟相互之比率是4∶2∶1，就用4、2、1各為所求率，4＋2＋1=7,4．盈虧問題,《九章算術》第七章“盈不足”專講盈虧問題及其解法其中第一題：“今有(人)共買物，(每)人出八(錢)，盈(余)三錢；人出七(錢)，不足四(錢)，問人數、物價各幾何”，“答曰：七人，物價53(錢)．”“盈不足術曰：置所出率，盈、不足各居其下．令維乘(即交錯相乘)所出率，并以為實，并盈，不足為法，實如法而一……置所出率，以少減多，余，以約法、實．實為物價，法

13、為人數”．如以算籌演算大致如圖1－24所示．,用現代的符號來表示：設每人出a1錢，盈b1錢；每人出a2錢，不足b2錢，求物價u和人數v．依據術文得下列二公式：,當然我們還可以算出每人應該分攤的錢數,因此上述的盈不足術實際上包含著三個公式．,二、《九章算術》中的代數部分,《九章算術》中的代數內容同樣很豐富，具有當時世界的先進水平． 　1．開平方和開立方,《九章算術》中講了開平方、開立方的方法，而且計算步驟和現在的基本一樣．所不同的是古代

14、用籌算進行演算，現以少廣章第12題為例，說明古代開平方演算的步驟，“今有積五萬五千二百二十五步．問為方幾何”．“答曰：二百三十五步”．這里所說的步是我國古代的長度單位．,“開方(是指開平方，由正方形面積求其一邊之長．)術曰：置積為實(即指籌算中把被開方數放置于第二行，稱為實)借一算(指借用一算籌放置于最后一行，如圖1－25(1)所示用以定位)．步之(指所借的算籌一步一步移動)超一等(指所借的算籌由個位越過十位移至百位或由百位越過千

15、位移至萬位等等，這與現代筆算開平方中分節(jié)相當如圖1－25(2)所示)．議所得(指議得初商，由于實的萬位數字是5，而且22＜5＜32，議得初商為2，而借算在萬位，因此應在第一行置初商2于百位，如圖1－25(3)所示)．以一乘所借一算為法(指以初商2乘所借算一次為20000，置于“實”下為“法”，如圖1－25(4)所示)而以除(指以初商2乘“法”20000得40000，由“實”減去得：55225-40000=15225，如圖1－25(

16、5)所示)除已，倍法為定法，其復除，折法而下(指將“法”加倍，向右移一位，得4000為“定法”因為現在要求平方根的十位數字，需要把“借算”移至百位，如圖1－25(6)所示)．,復置借算步之如初，以復議一乘之，所得副，以加定法，以除(這一段是指：要求平方根的十位數字，需置借算于百位．因“實”的千位數字為15，且4×3＜15＜4×4，于是再議得次商為3．置3于商的十位．以次商3乘借算得3×100=300，與定

17、法相加為4000＋300=4300．再乘以次商，則得：3×4300=12900，由“實”減去得：15225-12900=2325．如圖1－25(7)所示，以所得副從定法，復除折下如前(這一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到個位，如圖1－25(8)所示；又議得三商應為5，再置5于商的個位如圖1－25(9)所示，以5＋460=465，再乘以三商5，得

18、465×5=2325經計算恰盡如圖1－25(10)所示，因此得平方根為235．),上述由圖1－25(1)～(10)是按算籌進行演算的，看起來似乎很繁瑣，實際上步驟十分清楚，易于操作．它的開平方原理與現代開平方原理相同．其中“借算”的右移、左移在現代的觀點下可以理解為一次變換和代換．《九章算術》時代并沒有理解到變換和代換，但是這對以后宋、元時期高次方程的解法是有深遠影響的．,例：,2．二次方程問題,《九章算術》勾股章第二十題：“

19、今有邑方不知大小，各中開門，出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木，問邑方幾何．”“答曰：二百五十步”．　　已知：如圖1－26所示，CD=20步，EB=14步，BF=1775步，求CE．,按題意，得,或 EC(CE＋CD＋EB)＝2CD·BF．　　設 x=EC．　　經整理，得x2＋34x=71000．,這是一個解數字二次方程的問題．這種二次方程有一個正系數的一次項在二次項后面，我國古代稱這個一次項為

20、“從法”．《九章算術》少廣章開平方術雖然專為開整平方而建立，但是也可以利用來解一般的二次方程問題．解這種二次方程只需開帶“從法”的平方，或簡稱為“開帶從平方”．從而即可求得方程的正根．因此上述勾股章第20題的解法為：“術曰以出北門步數乘西行步數倍之，(2CD·BF=2×20×1775=71000)為實，并出南門步數為從法(20+14=34)，開方除之，即邑方．”現列出開帶從平方的籌算步驟如圖1－27所示．(

21、注：為了不易搞錯，空位補上0),如果我們將上述開帶從平方的演算過程與55225的開平方的演算過程作一比較的話，我們就可以發(fā)現：在55225開平方過程中，議平方根的第二位和第三位數字時，所列的算式是一個有“從法”的開方式相當于我們分別用開帶從平方的方法解二次方程：,(不過要注意的是前者的正根是10x2=35，而后者的正根是x3=5.),3．多元一次方程組及其解法,《九章算術》方程章中所謂“方程”是專指多元一次方程組而言，與現在“方程”的含

22、義并不相同．《九章算術》中多元一次方程組的解法，是將它們的系數和常數項用算籌擺成“方陣”(所以稱之謂“方程”)．消元的過程相當于現代大學課程高等代數中的線性變換．　　方程章第一題：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下禾一秉，實(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗．問上、中、下禾實一秉各幾何”，這一題若按現代的記法．設x、y、z依次為上、中、下禾各一秉的谷子數

23、，則上述問題是求解三元一次方程組：,《九章算術》用算籌演算：,《九章算術》方程章中共計18個題，其中二元的8題，三元的6題，四元、五元的各2題都用上述的演算法解決，直除法是我國古代解方程組的最早的方法．　“方程術曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，于右方．中、左行列如右方(圖1－28)以右行上禾徧乘(即遍乘)中行而以直除(這里“除”是減，“直除”即連續(xù)相減．)……(引文下略)”． 現將遍乘直除法解方程組的過程，按算

24、籌演算如圖1－29所示：,這題的答案《九章算術》方程章第一題“答曰：上禾一秉，九斗四,4．正負數,由于《九章算術》在用直除法解一次方程組過程中，不可避免地要出現正負數的問題，于是在方程章第三題中明確提出了正負術．劉徽在該術的注文里實質上給出了正、負數的定義：“兩算得失相反，要令‘正’、‘負’以名之”．并在計算工具即算籌上加以區(qū)別“正算赤，負算黑，否則以邪正為異”．這就是規(guī)定正數用紅色算籌，負數用黑色算籌．如果只有同色算籌的話，則遇到正數

25、將籌正放，負數時邪(同斜)放．宋代以后出現筆算也相應地用紅、黑色數碼字以區(qū)別正、負數，或在個位數上記斜劃以表示負數，如(即—1824)，后來這種包括負數寫法在內的中國數碼字還傳到日本．,關于正、負數的加減運算法則，“正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之．其異名相除，同名相益，正無入正之，負無人負之”．這里所說的“同名”、“異名”分別相當于現在所說的同號、異號．“相益”、“相除”是指二數相加、相減．術文前四句是減法運算法則

26、：　　(1)如果被減數絕對值大于減數絕對值，即a＞b≥0，　　則同名相除：(±a)-(±b)=±(a-b)，　　異名相益：(±a)-(b)=±(a＋b)．　　(2)如果被減數絕對值小于減數絕對值，即b＞a≥0．　　①如果兩數皆正　　則a-b=a-[a＋(b-a)]=-(b-a)．　　中間一式的a和a對消，而(b-a)無可對消，則改“正”為“負”，即“正無入負之”．“無入”就

27、是無對，也就是無可對消(或不夠減或對方為零)．　　②如果兩數皆負　　則(-a)-(-b)=－a-[(-a)-(b-a)］=+(b-a)．在中間的式子里(-a)和(-a)對消，而-(b-a)無可對消，則改“負”為“正”所以說“負無入正之”．　?、廴绻麅蓴狄徽回摚畡t仍同(1)的異名相益．,術文的后四句是指正負數加法運算法則．　　(1)同號兩數相加，即同名相益，其和的絕對值等于兩數絕對值和．　　如果a＞0，b＞0，　　則a+b=

28、a＋b，(-a)＋(-b)=-(a+b)　　(2)異號兩數相加，實為相減，即異名相除．如果正數的絕對值較大，其和為正，即“正無入正之”．如果負數的絕對值較大，其和為負，即“負無入負之”．用符號表示為　?、偃绻鸻＞b≥0，　　則 a+(-b)=［b＋(a-b)]＋(-b)=a-b，　　或 (-a)＋b=［(-b)－(a-b)]+b=-(a-b)．　　②如果b＞a≥0，　　則 a＋(-b)=a＋[(-a)-(b-a)]=-(b-

29、a)，　　或 (-a)＋b=(-a)+［a＋(b-a)]=b-a．,關于正負數的乘除法則，在《九章算術》時代或許會遇到有關正負數的乘除運算．可惜書中并未論及，直到元代朱世杰于《算學啟蒙》(1299年)中才有明確的記載：“同名相乘為正，異名相乘為負”，“同名相除所得為正，異名相除所得為負”，因此至遲于13世紀末我國對有理數四則運算法則已經全面作了總結．至于正負數概念的引入，正負數加減運算法則的形成的歷史記錄，我國更是遙遙領先．國外首先承

30、認負數的是七世紀印度數學家婆羅門岌多(約598-？)歐洲到16世紀才承認負數．,三、《九章算術》中的幾何部分,《九章算術》總結了生產、生活實踐中大量的幾何知識，在方田、商功和勾股章中提出了很多面積、體積的計算公式和勾股定理的應用，現分別介紹如下,1．面積計算,《九章算術》方田章主要論述平面圖形直線形和圓的面積計算方法．,《九章算術》方田章第一題“今有田廣十五步，從(音縱zong)十六步．問為田幾何．”“答曰：一畝”．這里“廣”就是寬，“

31、從”即縱，指其長度，“方田術曰：廣從步數相乘得積步，(得積步就是得到乘積的平方步數)以畝法二百四十步(實質應為積步)除之，即畝數．百畝為一頃．”當時稱長方形為方田或直田．稱三角形為圭田，面積公式為“術曰：半廣以乘正從”．這里廣是指三角形的底邊，正從是指底邊上的高，劉徽在注文中對這一計算公式實質上作了證明：“半廣者，以盈補虛，為直田也．”“亦可以半正從以乘廣”(圖1－30)．盈是多余，虛乃不足．“以盈補虛”就是以多余部分填補不足的部分，這

32、就是我國古代數學推導平面圖形面積公式所用的傳統(tǒng)的“出入相補”的方法，由上圖“以盈補虛”變圭田為與之等積的直田，于是得到了圭田的面積計算公式．,方田章第二十七、二十八題把直角梯形稱為“邪田”(即斜田)它的面積公式是：“術曰：并兩邪(即兩斜，應理解為梯形兩底)而半之，以乘正從……，又可半正從……以乘并．”劉徽在注中說明他的證法仍是“出入相補”法．在方田章第二十九、三十題把一般梯形稱為“箕田”，上、下底分別稱為“舌”、“踵”，面積公式是：“術

33、曰：并踵舌而半之，以乘正從”．　　至于圓面積，在《九章算術》方田章第三十一、三十二題中，它的面積計算公式為：“半周半徑相乘得積步”．這里“周”是圓周長，“徑”是指直徑．這個圓面積計算公式是正確的．只是當時取徑一周三(即π≈3)．于是由此計算所得的圓面積就不夠精密．,除了上述面積計算公式以外，《九章算術》中還有近似計算公式，方田章第三十六題中有弧田(指現在的弓形)面積計算公式：“術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一”(圖1－31)．用

34、現代的記號表　　綜上所述，可以認為《九章算術》時代關于常見的平面圖形(直線形與圓)面積計算已經大都可以轉化為運用上述公式來進行計算了．,2．體積計算,《九章算術》商功章提到城、垣、堤、溝、塹、渠，因其功用不同因而名稱各異，其實質都是正截面為等腰梯形的直棱柱，他們的體積計算方法：“術曰：并上、下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺”．這里上、下廣指橫截面的上、下底(a，b)高或深(h)，袤是指城垣……的長(l)．因此城、垣…的體積計

35、算術公式　　劉徽在注釋中把對于平面圖形的出入相補原理推廣應用到空間圖形，成為“損廣補狹”以證明幾何體體積公式．　?。?劉徽還用棋驗法來推導比較復雜的幾何體體積計算公式．所謂棋驗法，“棋”是指某些幾何體模型即用幾何體模型驗證的方法，例如長方體本身就是“棋”[圖1－32(1)]斜解一個長方體，得兩個兩底面為直角三角形的直三棱柱，我國古代稱為“塹堵”[圖1－32(2)]，所以塹堵的體積是長方體體積的二分之一,再解開右后邊的塹堵[圖1－32

36、(3)]．得一個底面為長方形而有一棱和底面垂直的四棱錐(古代稱之為“陽馬”)和一個底面為直角三角形而有一棱和底面垂直的三棱錐(古代稱之為“鱉臑”(臑音鬧)[圖1－32(4)]這個陽馬又可以對分為兩個“鱉臑”[圖1－32(5)]，如果原長方體為正方體的話，則極容易看出：由一個塹堵分解出來的三個鱉臑是等積的．劉徽可以證明在長方體的情況下，由一個塹堵分解出來的三個鱉臑仍然是等積的．于是陽馬體積應是長方體體積的三分之一．,這樣我們可以把正四棱錐

37、(古代稱為“方錐”)分解為四個陽馬，因此方錐體積為正四棱臺(古代稱為“方亭”)可分解為一個正四棱柱，四個塹堵和四個陽馬，因此《九章算術》商功章還有圓錐、圓臺(古代稱“圓亭”)的體積計算公式．甚至對三個側面是等腰梯形，其他兩面為勾股形的五面體(古代稱“羨除”)[圖1－33(1)]，上、下底為矩形的擬柱體(古代稱“芻童”)以及上底為一線段，下底為一矩形的擬柱體(古代稱“芻甍”)(甍音夢)［圖1－33(2)]等都可以計算其體積．,3．勾

38、股定理及其應用,《九章算術》以前雖然已經有了勾股定理，但主要是在天文方面的應用．在《九章算術》中已經用得很廣，而且在勾股章一開始就先講了勾股定理及其變形，前三個題的“勾股術曰：勾股各自乘，并而開方除之，即弦．又股自乘，以減弦自乘，其余開方除之，即勾．又勾自乘，以減弦自乘，其余開方除之，即股”．如果以a、b、c各表示直角三角形的勾、股、弦．則上述三句話即相當于：因此，勾股術可以理解為已知直角三角形兩邊推求第三邊的方法．,(劉徽在注文

39、中，曾對勾股定理用出入相補原理來論證這一定理，可惜所繪的弦圖早已散失，沒有能夠和注文一起留傳下來.),《九章算術》勾股章除了勾股定理及其變形的三個題以及涉及勾股容方、容圓各一題以外，其余十九個題全是應用問題．　　例如勾股章第六題“今有池方一，葭(音jia，一種蘆葦類植物)生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何．”“答曰：水深一丈二尺；葭長一丈三尺．”　　術曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，減之，余，倍出水除之，即得

40、水深、加出水數，得葭長”．　　如圖1－34所示，設池方為2a，水深為b，葭長為c，　　　　現代解法：設水深為x尺，則葭長為x+1，　　按題意由勾股定理，得 52+x2=(x+1)2．　　整理，得 2x=52-12，∴ x=12．　　兩種解法相比較，可見實質解法步驟完全一致．　　印度古代有著名的“蓮花問題”，其中除了只有數據與《九章算術》的“葭生中央問題”不同以外，其余完全相同．但要比中國《九章算術》晚了一千多年．,我國古代數

41、學巨著《九章算術》流傳至今已達兩千余年之久，不僅指導著我國數學的發(fā)展，而且早已流傳到世界各地，翻譯成日、英、俄、德等多種文字，對世界數學的發(fā)展也有不可估量的巨大貢獻和影響．把《九章算術》與西方最早的一本數學名著歐幾里得的《幾何原本》相對照，就可以發(fā)現從形式到內容都各有特色和所長，形成東、西方數學的不同風格．《幾何原本》以形式邏輯方法把全部內容貫穿起來，而《九章算術》則按問題的性質和解法把全部內容分類編排．《幾何原本》中極少提及應用問題