3-時域分析法

1、第3章 時域分析法,本章的主要內容 3.1 典型的輸入激勵及性能指標 3.2 一階系統分析 3.3二階系統分析 3.4 穩(wěn)定性與代數判據 3.5穩(wěn)態(tài)誤差分析及誤差系數,3.1 典型輸入過程及性能指標,3.1.1 典型輸入信號及輸出波形 3.1.2 控制系統的性能指標,什么是時域分析? 指控制系統在一定的輸入下，根據輸出量的時域表達式，分析系統的穩(wěn)定性、瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。,⒈ 單位脈沖函數響應：

2、,⒉ 單位階躍函數響應：,⒊ 單位斜坡函數響應：,⒋ 單位拋物線函數響應：,典型響應：,3.1.2控制系統的性能指標,在典型信號作用下，控制系統的時間響應是由動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。所以控制系統的性能指標，通常由動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成。,1.動態(tài)過程和動態(tài)性能,動態(tài)過程（過渡過程、暫態(tài)過程）：在典型輸入信號作用下，系統從初態(tài)到終態(tài)的響應過程。動態(tài)響應過程有三種情況：衰減型、發(fā)散型、等幅振蕩型,動態(tài)性能：當系統的時間響應c(

3、t)中的瞬態(tài)分量較大而不能忽略時，稱系統處于動態(tài)或過渡過程中，這時系統的特性。,階躍響應的性能指標：在測定或計算系統的動態(tài)性能指標時，由于階躍函數可以表征系統受到的最嚴峻的工作狀態(tài)，動態(tài)性能指標，一般由階躍響應的性能指標來描述。,（3） 最大超調量（簡稱超調量） ：,（1） 上升時間 ：,輸出響應第一次達到穩(wěn)態(tài)值y(∞)所需的時間?；蛑赣煞€(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間。,輸出響應超過穩(wěn)態(tài)值達到第一個峰值yma

4、x所需要的時間。,（2） 峰值時間 ：,（4）調節(jié)時間或過渡過程時間 ：,當 和 之間的誤差達到規(guī)定的范圍之內[比如 或 ]，且以后不再超出此范圍的最小時間。,2.穩(wěn)態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)性能,穩(wěn)態(tài)過程是指當時間t趨近于無窮大時，系統輸出狀態(tài)的表現形式。它表征系統輸出量最終復現輸入量的程度，提供系統有關穩(wěn)態(tài)誤差的信息，用穩(wěn)態(tài)性能來描

5、述。,通常討論在階躍、斜坡、加速度函數作用下的系統穩(wěn)態(tài)誤差；穩(wěn)態(tài)誤差用來衡量系統的控制精度或抗擾動性能。,ess=c期望- c（ ）,快速性指標：上升時間和峰值時間 穩(wěn)定性指標：超調量和調節(jié)時間,3.2 一階系統分析,3.2.1 一階系統的數學模型 3.2.2 一階系統的單位階躍系統 3.2.3 一階系統的單位斜坡系統 3.2.4 一階系統的單位脈沖系統,3.2 .1一階系統的數學模型,以一階微分方程作為數學模型的控制系

6、統，稱為一階系統。如圖所示的一階系統，其傳遞函數為,,,其閉環(huán)傳遞函數為：,式中， ,稱為時間常數。,3.2 2 一階系統的單位階躍響應,,,單位階躍響應函數：,其單位階躍響應曲線如圖所示。輸出響應從零開始按指數規(guī)律上升，最后趨于1。,可見，調整時間只與時間常數T有關。T越小，系統特征根離虛軸越遠，調節(jié)時間越短。,3.2.3一階系統的單位斜坡響應,,設系統的輸入信號為單位斜坡函數，即 。則可求得輸出的拉氏變換為

7、,,,,,c(t),T,0,T,t,一階系統單位斜坡響應曲線如圖,輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時間而增大，最后趨于常值T，慣性（T值）越小，跟蹤的準確度越高。,3.2 4 一階系統的單位脈沖響應,,,當輸入信號為理想單位脈沖函數時，由于R(s)=1所以系統輸入量的拉氏變換與系統的傳遞函數相同，即,,這時系統的輸出稱為脈沖響應，其表達式為,,,可見，單位脈沖響應中只包含瞬態(tài)分量。,3.3 二階系統分析,3.3.1二階系統的數學模型 3

8、.3.2二階系統的單位階躍響應3.3.3高階系統的時域分析,3.3.1 二階系統的數學模型,,,二階系統：以二階微分方程作為運動方程的控制系統.這是最常見的一種系統，很多高階系統也可簡化為二階系統。系統典型 結構和傳遞函數為：,,,,稱為典型二階系統的傳遞函數，稱為阻尼系數， 稱為無阻尼振蕩圓頻率或自然頻率。,,,特征方程為：,⒈ 當時 ，特征方程有一對共軛的虛根，稱為零(無)阻尼系統，系統的階躍響應為持續(xù)

9、的等幅振蕩。,⒉ 當時 ，特征方程有一對實部為負的共軛復根，稱為欠阻尼系統，系統的階躍響應為衰減的振蕩過程。,⒊ 當 時，特征方程有一對相等的實根，稱為臨界阻尼系統，系統的階躍響應為非振蕩過程。,⒋ 當 時，特征方程有一對不等的實根，稱為過阻尼系統，系統的階躍響應為非振蕩過程。,3.3.2 二階系統的單位階躍響應,,,,,,當輸入為單位階躍函數時，

10、 ，有：,[分析]：,1.欠阻尼情況,極點的負實部 決定了指數衰減的快慢，虛部 是振蕩頻率。稱 為阻尼振蕩圓頻率。其周期為:,,,,,,,指標計算:,1.上升時間:,,即：,當,一定時，,越大則,越大,當,一定時，,越大則,越小,2.超調量 :,,即：,,上式表明超調量σ的大小只決定于阻尼比值,,,,即：,當,一定時，,越大則,越大,當,一定時，,越大則,越小,2

11、.超調量 :,,,超調量σ的大小只決定于阻尼比值,,,指標計算:,3.調節(jié)時間:,,4.達到穩(wěn)態(tài)的振蕩次數 :,,依,定義 忽略正弦因子影響，以包絡線進入,誤差帶的時刻為,,,討論：,,,減小時： 超調量增大，達到穩(wěn)態(tài)的振蕩次數增加，即系統振蕩的越厲害！此時，若 一定，則上升時間，峰值時間減小，但調節(jié)時間增加，即系統的響應加快，但穩(wěn)定性越差！,極點（特征根）的分布與穩(wěn)定性、響應快慢的關系？？,課本p203,,,,,,,討

12、論：,,,減小時： 超調量增大，達到穩(wěn)態(tài)的振蕩次數增加，即系統振蕩的越厲害！此時，若 一定，則上升時間，峰值時間減小，但調節(jié)時間增加，即系統的響應加快，但穩(wěn)定性越差！,極點（特征根）的分布與穩(wěn)定性、響應快慢的關系？？,課本p203,例題：,,,,,,2.無阻尼情況,極點為：,此時輸出將以頻率 做等幅振蕩，所以， 稱為無阻尼振蕩圓頻率。,3.臨界阻尼情況,極點為：,階躍響應函數為：,4.過阻尼情況,極點為：,

13、,其中，A1、A2、A3為待定系數。據此，可求得輸出響應的拉氏反變換 ：,,,當P1<<P2時，系統的動態(tài)性能主要由 決定，基本等價于一階系統。,上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統。其阻尼系數、特征根、極點分布和單位階躍響應如下表所示：,典型兩階系統的瞬態(tài)響應,典型兩階系統的瞬態(tài)響應,可以看出：隨著 的增加，c(t)將從無衰減的周期運動變?yōu)橛兴p的正弦運動，當

14、 時c(t)呈現單調上升運動(無振蕩)?？梢?反映實際系統的阻尼情況，故稱為阻尼系數。,,,例 設二階控制系統的單位階躍響應曲線如圖所示。試確定系統的傳遞函數。,,例3-2 設二階控制系統的單位階躍響應曲線如圖所示。試確定系統的傳遞函數。,解 首先明顯看出，在單位階躍作用下響應的穩(wěn)態(tài)值為3，故此系統的增益不是1，而是3。系統模型為：,,然后由響應的 、 及相應公式，即可換算出 、 。,（s）,,由

15、公式得,,換算求解得：,,,,,,,,,,,,,3.3.3 傳遞函數零極點與控制系統性能TF Poles&Zeros and CS Performance,,,,,,,,,,,,主極點的定義,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,分母,閉環(huán)傳遞函數,系統振蕩程度變弱，慣性變大！,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,相位超前，為何？,,,,,,,,,,,,改善二階系統動態(tài)性能的措施,什么變化了？,什么變化了？,,,

16、3.2 高階系統的時域分析,,,,,,3.2 高階系統的時域分析,,,,,,高階系統的傳遞函數為：,寫成零極點形式：,單位階躍響應為：,對上式進行部分分式展開,對上式拉氏變換得：,高階系統有如下結論： （1）高階系統瞬態(tài)響應各分量的衰減快慢由指數衰減系數 和 決定。如果某極點遠離虛軸，那么其相應的瞬態(tài)分量比較小，且持續(xù)時間較短。,（2）高階系統各瞬態(tài)分量的系數 和 不僅與復平面中極點的位置有關，而與零

17、點的位置有關。,（3）在系統中，如果距虛軸最近的極點，其實部的絕對值為其他極點實部絕對值的1/5甚至更小，并且在其附近沒有零點存在，則系統的瞬態(tài)響應將主要由此極點左右。,,3.4線性系統的穩(wěn)定性及其判據,一個自動控制系統要能正常工作,必須首先是一個穩(wěn)定的系統。例如,電壓自動調解系統中保持電機電壓為恒定的能力;電機自動調速系統中保持電機轉速為一定的能力以及火箭飛行中保持航向為一定的能力等。具有穩(wěn)定性的系統稱為穩(wěn)定系統。穩(wěn)定性的定

18、義為：當系統受到外界干擾后,顯然它的平衡被破壞,但在外擾去掉以后,它仍有能力自動地在平衡態(tài)下繼續(xù)工作。如果一個系統不具有上述特性，則稱為不穩(wěn)定系統。,,,也可以說,系統的穩(wěn)定性就是系統在受到外界干擾后,系統狀態(tài)變量或輸出變量的偏差量(被調量偏離平衡位置的數值)過渡過程的收斂性,用數學方法表示就是式中，?x(t)為系統被調量偏離其平衡位置的變化量;?為任意小的規(guī)定量。如果系統在受到外擾后偏差量越來越大,顯然它不可能是一個穩(wěn)定

19、系統。,,,(1)必要條件,說明：,,,例1,,不穩(wěn)定,不穩(wěn)定,可能穩(wěn)定,對于1階2階系統，此為充分 必要條件,(2) 勞斯（Routh）判據,勞斯表,勞斯表第一列元素均大于零時系統穩(wěn)定，否則系統不穩(wěn)定 且第一列元素符號改變的次數就是特征方程中正實部根的個數,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,s5s4s3s2s1s0,,,,,5,25,0,0,10,出現全零行時：用上一行元素組成輔助方程，將其對S求導一次，

20、用新方程的系數代替全零行系數，之后繼續(xù)運算。,25,0,列輔助方程：,例 D(s)=s5+ 3s4+ 12s3+20s2+35s+25=0,出現全零行時，系統可能出現一對共軛虛根；或一對符號相反的實根；或兩對實部符號相異、虛部相同的復根。,3.5 線性系統的穩(wěn)態(tài)誤差,1 誤差與穩(wěn)態(tài)誤差,計算穩(wěn)態(tài)誤差的一般方法,（1）判定系統的穩(wěn)定性,按輸入端定義的誤差,按輸出端定義的誤差,穩(wěn)態(tài)誤差,動態(tài)誤差：誤差中的穩(wěn)態(tài)分量,

21、靜態(tài)誤差：,（2）求誤差傳遞函數,（3）用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差,,補：,開環(huán)傳遞函數,,控制作用r(t)下的閉環(huán)傳遞函數,,,干擾n(t)作用下的系統閉環(huán)傳遞函數,,,系統的總輸出及總偏差（由疊加原理）,,,例1 系統結構圖如圖所示，已知 r(t)=n(t)=t，求系統的穩(wěn)態(tài)誤差。解．,例 2 系統結構圖如圖所示，求 r(t)分別為A·1(t), At, At2/2時系統的穩(wěn)態(tài)誤差。解．,系統自身的結構參數,影響 e