有限元答案

1、1.1有限單元法中“離散”的含義是什么？有限單元法是如何將具有無限自由度的連續(xù)介質問題轉變成有限自由度問題的？位移有限元法的標準化程式是怎樣的？（1）離散的含義即將結構離散化，即用假想的線或面將連續(xù)體分割成數目有限的單元，并在其上設定有限個節(jié)點；用這些單元組成的單元集合體代替原來的連續(xù)體，而場函數的節(jié)點值將成為問題的基本未知量。（2）給每個單元選擇合適的位移函數或稱位移模式來近似地表示單元內位移分布規(guī)律，即通過插值以單元節(jié)點位移表示單元

2、內任意點的位移。因節(jié)點位移個數是有限的，故無限自由度問題被轉變成了有限自由度問題。（3）有限元法的標準化程式：結構或區(qū)域離散，單元分析，整體分析，數值求解。1.3單元剛度矩陣和整體剛度矩陣各有哪些性質？各自的物理意義是什么兩者有何區(qū)別單元剛度矩陣的性質：對稱性、奇異性（單元剛度矩陣的行列式為零）。整體剛度矩陣的性質：對稱性、奇異性、稀疏性。單元Kij物理意義Kij即單元節(jié)點位移向量中第j個自由度發(fā)生單位位移而其他位移分量為零時，在第j個

3、自由度方向引起的節(jié)點力。整體剛度矩陣K中每一列元素的物理意義是：要迫使結構的某節(jié)點位移自由度發(fā)生單位位移，而其他節(jié)點位移都保持為零的變形狀態(tài)，在所有個節(jié)點上需要施加的節(jié)點荷載。2.2什么叫應變能？什么叫外力勢能？試敘述勢能變分原理和最小勢能原理，并回答下述問題：勢能變分原理代表什么控制方程和邊界條件？其中附加了哪些條件？(1)在外力作用下，物體內部將產生應力σ和應變ε，外力所做的功將以變形能的形式儲存起來，這種能量稱為應變能。(2)外力

4、勢能就是外力功的負值。(3)勢能變分原理可敘述如下：在所有滿足邊界條件的協調位移中，那些滿足靜力平衡條件的位移使物體勢能泛函取駐值，即勢能的變分為零δΠp=δUεδV=0此即變分方程。對于線性彈性體，勢能取最小值，即δ2ΠP=δ2Uεδ2V≧0此時的勢能變分原理就是著名的最小勢能原理。勢能變分原理代表平衡方程、本構方程和應力邊界條件，其中附加了幾何方程和位移邊界條件。2.3什么是強形式？什么是弱形式？兩者有何區(qū)別？建立弱形式的關鍵步驟是

5、什么？等效積分形式通過分部積分，稱式∫ΩCT(v)D(u)dΩ∫ΓET(v)F(u)dΓ為微分方程的弱形式，相對而言，定解問題的微分方程稱為強形式。區(qū)別：弱形式得不到解析解。建立弱形式的關鍵步驟：對場函數要求較低階的連續(xù)性。2.4為了使計算結果能夠收斂于精確解，位移函數需要滿足哪些條件？為什么？只要位移函數滿足兩個基本要求，即完備性和協調性，計算結果便收斂于精確解。2.6為什么采用變分法求解通常只能得到近似解？變分法的應用常遇到什么困難

6、？Ritz法收斂的條件是什么？（1）在Ritz法中，N決定了試探函數的基本形態(tài)，待定參數使得場函數具有一定的任意性。如果真實場函數包含在試探函數之內，則變分法得到的解答是精確的；如果試探函數取自完全的函數序列，則當項數不斷增加時，近似解將趨近于精確解。然而，通常情況下試探函數不會將真實場函數完全包含在內，實際計算時也不可能取無窮多項。因此，試探函數只能是真實場函數的近似。可見，變分法就是在某個假定的范圍內找出最佳解答，近似性就源于此。（

7、2）采用變分法近似求解，要求在整個求解區(qū)域內預先給出滿足邊界條件的場函數。通常情況下這是不可能的，因而變分法的應用受到了限制。（3）Ritz法的收斂條件是要求試探函數具有完備性和連續(xù)性，也就是說，如果試探函數滿足完備性和連續(xù)性的要求，當試探函數的項數趨近于無窮時，則Ritz法的近似解將趨近于數學微分方程的精確解。3.1構造單元形函數有哪些基本原則？形函數是定義于單元內坐標的連續(xù)函數。單元位移函數通常采用多項式，其中的待定常數應該與單元節(jié)

8、點自由度數相等。為滿足完備性要求，位移函數中必須包括常函數和一次式，即完全一次多項式。多項式的選取應由低階到高階，盡量選擇完全多項式以提高單元的精度。若由于項數限制而不能選取完全多項式時，也應使完全多項式具有坐標的對稱性，并且一個坐標方向的次數不應超過完全多項式的次數。有時為了使位移函數保持一定階次的完全多項式，可在單元內部配置節(jié)點。然而，這種節(jié)點的存在將增加有限元格式和計算上的復雜性，除非不得已才加以采用。形函數應保證用它定義的位移函

9、數滿足收斂要求，即滿足完備性要求和協調性條件。3.1構造單元形函數有哪些基本原則？試采用構造單元的幾何方法，構造T10單元的形函數，并對其收斂性進行討論。通常單元位移函數采用多項式，其中的待定常數由節(jié)點位移參數確定，因此其個數應與單元節(jié)點自由度數相等。根據實體結構的幾何方程，單元的應變是位移的一次導數。為了反映單元剛體位移和常應變即滿足完備性要求，位移函數中必須包含常數項和一次項，即完全一次多項式。3.3何謂面積坐標？其特點是什么？為什

10、么稱其為自然坐標或局部坐標？（1）三角形單元中，任一點P(xy)與其3個角點相連形成3個子三角形其位置可以用下述稱為面積坐標的三個比值來確定：L1=A1AL2=A2AL3=A3A其中A1A2A3分別為P23P31P12的面積。（2）面積坐標的特點：aT3單元的形函數Ni就是面積坐標Lib面積坐標與三角形在整體坐標系中的位置無關。8.2何謂平板型殼單元？在分析這種單元時都做了哪些假設？應用平板型殼單元可能會出現什么問題，如何解決？簡述形成

11、平板型殼單元剛度矩陣的基本思路。將殼體劃分為有限個單元，它們都是曲面單元。但是，當網格足夠小時，殼塊將足夠扁平，可近似地視為平板單元，它們拼成的折板體系可近似代替原來的光滑殼體結構，每一個足夠小的網格就稱為平板型殼單元。假設：（1）理論假設：薄殼發(fā)生微笑變形時，忽略沿殼體厚度方向的擠壓變形，且認為直法線假設成立，即變形后中面法線保持為直線且仍為中面的法線。（2）折板假設（3）非耦合假設。出現的問題：1。單元共面問題整體剛度矩陣∥k∥=0

12、.2.虛擬旋轉剛度為排除∥k∥=0.而無法求解的困難，可在局部坐標系內建立上述特殊節(jié)點，（交于某節(jié)點的所有單元都位于同一平面內）的平衡方程，并刪去Qz方向的平衡方程0=0，另采用在這些特殊節(jié)點上給以任意的虛擬剛度系數KQ2Qz=0。經坐標變換，整體坐標于該節(jié)點平衡方程條件有唯一解。3新型平面膜單元采用虛擬旋轉剛度零判斷是否單元共面，故增加編程復雜性，在平面膜元角上增加旋轉自由度Qz使其有對應的剛度。8.3面內變形與彎曲變形之間非耦合的假

13、設是針對什么提出的？試說明單元組裝時，面內效應與彎曲效應兩者的耦合將會出現。面內變形與彎曲變形之間非耦合的假設是針對局部坐標系下的單元提出的。9.1減少問題自由度的措施有哪些？各自的基本概念如何？恰當的利用結構的對稱性、采用子結構技術等，可以使求解方程組上的自由度數大為降低。結構的對稱性：假想地將結構沿其中的某平面對折，若兩部分的形狀、材料性質和約束條件完全重合，則稱該平面為對稱面，稱該結構為對稱結構。若荷載隨結構對折后相互重合，則稱為

14、對稱荷載；若須將對稱面某一邊的荷載改變正負號后才與另一邊的荷載重合，則稱為反對稱荷載。子結構技術：在大型復雜結構的有限元分析中，可將原結構分成若干區(qū)域，每個區(qū)域作為一個子結構，這些子結構在其公共邊界上互相連接起來。結構計算可分幾步進行：首先逐個分析各子結構，并凝聚掉各自的內部自由度；然后把全部子結構組合起來進行整體分析，從而得到總體求解方程。采用子結構法的關鍵之處在于，內部節(jié)點的自由度在子結構的剛度矩陣形成以后可以凝聚掉，因此子結構實質

15、上是具有內部自由度的超單元。9.3為什么說位移法中應力解的精度低于位移解？如何改善等參單元的應力結果？如何改善常應變三角形單元的應力結果？在位移有限單元法中，位移沿單元邊界是連續(xù)的，而位移的導數通常是不連續(xù)的，因此在單元邊界上應力是不連續(xù)的；基本未知量是位移，而單元應變和應力是由位移求導得到的，因此應力的精度要比位移的精度低。對于等參單元的應力，采用單元內應力修勻或分片應力修勻。對于三角形常應變單元，通常采用應力平均的方法處理計算結果。

16、9.4在無法獲得精確解的條件下，如何進行誤差估計？試說明這樣做的合理性？由于無法獲得精確解，故一般是以修勻后的改進值作為“精確解”來進行誤差估計。通過與精確值誤差范數對比，發(fā)現這樣做是非常有效的。9.6什么是階譜單元？階譜單元（hierarchicalelement）就是在低階單元形函數不變的情況下，構造新增節(jié)點的形函數，從而增加形函數的階次。25、有限元法的基本思想：有限元法把連續(xù)體離散成有限個單元，每個單元的場函數只包含有限個待定節(jié)

17、點參量的簡單場函數，這些單元場函數的集合就能近似代表整個連續(xù)體的場函數。根據能量方程或加權參量方程可建立有限個待定參量的代數方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數值解。26、構造單元形函數有哪些基本原則？形函數是定義于單元內坐標的連續(xù)函數。單元位移函數通常采用多項式，其中的待定常數應該與單元節(jié)點自由度數相等。為滿足完備性要求，位移函數中必須包括常函數和一次式，即完全一次多項式。多項式的選取應由低階到高階，盡量選擇完全多項式以提高單元

18、的精度。若由于項數限制而不能選取完全多項式時，也應使完全多項式具有坐標的對稱性，并且一個坐標方向的次數不應超過完全多項式的次數。有時為了使位移函數保持一定階次的完全多項式，可在單元內部配置節(jié)點。然而，這種節(jié)點的存在將增加有限元格式和計算上的復雜性，除非不得已才加以采用。形函數應保證用它定義的位移函數滿足收斂要求，即滿足完備性要求和協調性條件。27、何為剪切閉鎖現象？為何會出現？剪切閉鎖現象：計算得到的撓度等于零。之所以出現這種現象，是因