第二章 數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)

1、第二章數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)13第二章第二章數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)第一節(jié)第一節(jié)數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史一、數(shù)學(xué)史的研究對(duì)象一、數(shù)學(xué)史的研究對(duì)象數(shù)學(xué)史的研究對(duì)象是數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，及其與社會(huì)政治、經(jīng)濟(jì)和一般文化的聯(lián)系。簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程及規(guī)律。二、數(shù)學(xué)發(fā)展史的四個(gè)階段二、數(shù)學(xué)發(fā)展史的四個(gè)階段1、數(shù)學(xué)形成時(shí)期、數(shù)學(xué)形成時(shí)期（公元前6世紀(jì)以前）2、常量數(shù)學(xué)時(shí)期、常量數(shù)學(xué)時(shí)期（公元前6世紀(jì)——公元

2、17世紀(jì)）常量數(shù)學(xué)時(shí)期也稱初等數(shù)學(xué)時(shí)期。3、變量數(shù)學(xué)時(shí)期、變量數(shù)學(xué)時(shí)期（公元17世紀(jì)——19世紀(jì)）變量數(shù)學(xué)時(shí)期也稱近代數(shù)學(xué)時(shí)期。第三個(gè)時(shí)期的基本結(jié)果，如解析幾何、微積分、微分方程，高等代數(shù)、概率論等已成為高等學(xué)校數(shù)學(xué)教育的主要內(nèi)容。4、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（公元19世紀(jì)70年代——）現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期的結(jié)果，部分地成為高校數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容，并被工作者所使用。第二節(jié)第二節(jié)數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)、一、一、

3、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)學(xué)最重要的貢獻(xiàn)之一是發(fā)現(xiàn)了畢達(dá)哥拉斯定理（在中國(guó)被稱為勾股定理或商高定理），即：直角三角形斜邊長(zhǎng)度的平方等于二直角邊長(zhǎng)度的平方和。而我國(guó)古代《周髀算經(jīng)》卷上記載西周開國(guó)時(shí)期（公元前11世紀(jì)）商高答周公問(wèn)時(shí)提到“勾廣三，股修四、經(jīng)隅五”，這是勾股定量的特例。三國(guó)時(shí)期的趙爽，他在《周髀算經(jīng)注》中，作“勾股圓方圖”，其中的弦圖，相當(dāng)于運(yùn)用面積的“割補(bǔ)”方法，證明了勾股定理。畢達(dá)哥拉斯

4、學(xué)派的基本信條是“萬(wàn)物皆數(shù)”（Everythingisnumber）。這樣，錯(cuò)誤結(jié)論就是，任意兩條線段都是可公度的，也就是說(shuō)，對(duì)任意給定的兩條線段，都可以找到第三條線段，以它為單位線段能將給定的那兩條線段劃分為整數(shù)份。反例就是：在等腰直角三角形中，兩直角邊，斜邊為，由于1??bac，那么。是一個(gè)實(shí)實(shí)在在的線段長(zhǎng)，但它能不能表示成整2222???bac2?cc數(shù)的比呢？若它可表示為兩個(gè)整數(shù)的比，不妨設(shè)(，是互素的整數(shù))，則有???c??，

5、。即，為偶數(shù)。不妨設(shè)，于是，即??c?22222?????c???2?2224???。于是，也是偶數(shù)。222????所以，，均為偶數(shù)，這與它們互素的最初假設(shè)矛盾。??也就是說(shuō)，不能表示成兩個(gè)整數(shù)的比，或者說(shuō)是不可公度的。這樣就c2第二章數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)14出現(xiàn)了不同于“萬(wàn)物皆數(shù)”結(jié)論的危機(jī)。約公元前500年發(fā)現(xiàn)之后，人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了許多其它的無(wú)理數(shù)。最終2危機(jī)的解決辦法是，無(wú)理數(shù)與數(shù)系的擴(kuò)張。二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)1、危

6、機(jī)的產(chǎn)生和發(fā)展牛頓（IssacNewton16421727）和萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz16461716）發(fā)明微積分。但無(wú)法給出“無(wú)窮小量”明確的解釋，這樣，微積分理論在邏輯上的明顯缺陷，這標(biāo)志著第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。2、危機(jī)的解決19世紀(jì)70年代，“數(shù)學(xué)分析之父”維爾斯特拉斯給出了無(wú)窮小量的嚴(yán)格定義：設(shè)函數(shù)的某一去心鄰域內(nèi)有定義.對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論它多么0)(xxf在點(diǎn)?小)總存在正數(shù)使得當(dāng)x滿足不

7、等式時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都?????00xx)(xf滿足不等式那么稱時(shí)的無(wú)窮小量，記作??)(xf0)(xxxf?為當(dāng).)(0)(0)(lim00xxxfxfxx????當(dāng)或三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)1、集合論19世紀(jì)末，集合論出現(xiàn)了。人們感覺(jué)到，集合論有可能成為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。2、羅素的“集合論悖論”引發(fā)危機(jī)羅素悖論引發(fā)的危機(jī)，就稱為第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。羅素悖論的通俗化——“理發(fā)師悖論”：某村的一個(gè)理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自

8、己刮臉的人刮臉。問(wèn)：理發(fā)師是否給自己刮臉？如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。4危機(jī)的消除為了消除悖論，數(shù)學(xué)家們要將康托“樸素的集合論”加以公理化；并且規(guī)定構(gòu)造集合的原則。悖論消除了。但是，新的系統(tǒng)的相容性尚未證明。因此，龐加萊在策梅洛的公理化集合論出來(lái)后不久，形象地評(píng)論

9、道：“為了防狼，羊群已經(jīng)用籬笆圈起來(lái)了，但卻不知道圈內(nèi)有沒(méi)有狼”。這就是說(shuō)，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，并不是完全令人滿意的。四、三次數(shù)學(xué)危機(jī)與四、三次數(shù)學(xué)危機(jī)與“無(wú)窮無(wú)窮”的聯(lián)系的聯(lián)系第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，其要害是不認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是2無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)是無(wú)窮小量的解釋，其要害是極限理論的邏輯基礎(chǔ)不完善，即還沒(méi)有給出極限的概念。???第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是認(rèn)為集合論是一切數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其要害是“所有不屬于自身的集合”這樣界定