高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽平面幾何講座(非常詳細(xì))

1、1第一講注意添加平行線(xiàn)證題在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線(xiàn)叫平行線(xiàn).平行線(xiàn)是初中平面幾何最基本的也是非常重要的圖形.在證明某些平面幾何問(wèn)題時(shí)若能依據(jù)證題的需要添加恰當(dāng)?shù)钠叫芯€(xiàn)則能使證明順暢、簡(jiǎn)潔.添加平行線(xiàn)證題一般有如下四種情況.1、為了改變角的位置、為了改變角的位置大家知道兩條平行直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截同位角相等內(nèi)錯(cuò)角相等同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).利用這些性質(zhì)?？赏ㄟ^(guò)添加平行線(xiàn)將某些角的位置改變以滿(mǎn)足求解的需要.例1、設(shè)P、Q為線(xiàn)段BC上兩點(diǎn)且BP＝C

2、QA為BC外一動(dòng)點(diǎn)(如圖1).當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使∠BAP＝∠CAQ時(shí)△ABC是什么三角形？試證明你的結(jié)論.答：當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使∠BAP＝∠CAQ時(shí)△ABC為等腰三角形.證明：如圖1分別過(guò)點(diǎn)P、B作AC、AQ的平行線(xiàn)得交點(diǎn)D.連結(jié)DA.在△DBP＝∠AQC中顯然∠DBP＝∠AQC∠DPB＝∠C.由BP＝CQ可知△DBP≌△AQC.有DP＝AC∠BDP＝∠QAC.于是DA∥BP∠BAP＝∠BDP.則A、D、B、P四點(diǎn)共圓且四邊形ADBP為等腰梯形

3、.故AB＝DP.所以AB＝AC.這里通過(guò)作平行線(xiàn)將∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四點(diǎn)共圓使證明很順暢.例2、如圖2四邊形ABCD為平行四邊形∠BAF＝∠BCE.求證：∠EBA＝∠ADE.證明：證明：如圖2分別過(guò)點(diǎn)A、B作ED、EC的平行線(xiàn)得交點(diǎn)P連PE.由ABCD易知△PBA≌△ECD.有PA＝EDPB＝EC.顯然四邊形PBCE、PADE均為平行四邊形.有∠BCE＝∠BPE∠APE＝∠ADE.由∠BAF＝∠BCE可

4、知∠BAF＝∠BPE.有P、B、A、E四點(diǎn)共圓.于是∠EBA＝∠APE.所以∠EBA＝∠ADE.這里通過(guò)添加平行線(xiàn)使已知與未知中的四個(gè)角通過(guò)P、B、A、E四點(diǎn)共圓緊密聯(lián)系起來(lái).∠APE成為∠EBA與∠ADE相等的媒介證法很巧妙.2、欲、欲“送”線(xiàn)段到當(dāng)處線(xiàn)段到當(dāng)處利用“平行線(xiàn)間距離相等”、“夾在平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等”這兩條?？赏ㄟ^(guò)添加平行線(xiàn)將某些線(xiàn)段“送”到恰當(dāng)位置以證題.例3、在△ABC中BD、CE為角平分線(xiàn)P為ED上任意一點(diǎn).過(guò)P

5、分別作AC、AB、BC的垂線(xiàn)M、N、Q為垂足.求證：PM＋PN＝PQ.證明：證明：如圖3過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線(xiàn)交BD于F過(guò)點(diǎn)F作BC的∥＝ADBPQC圖1PEDGABFC圖2ANEBQKGCDMFP圖33對(duì)比(1)、(2)、(3)有AP＝AQ.顯然AD為PQ的中垂線(xiàn)故AD平分∠PDQ.所以∠FDA＝∠EDA.這里原題并未涉及線(xiàn)段比添加BC的平行線(xiàn)就有大量的比例式產(chǎn)生恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這些比例式就使AP與AQ的相等關(guān)系顯現(xiàn)出來(lái).4、為了線(xiàn)段相等的傳

6、遞、為了線(xiàn)段相等的傳遞當(dāng)題目給出或求證某點(diǎn)為線(xiàn)段中點(diǎn)時(shí)應(yīng)注意到平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理用平行線(xiàn)將線(xiàn)段相等的關(guān)系傳遞開(kāi)去.例6在△ABC中AD是BC邊上的中線(xiàn)點(diǎn)M在AB邊上點(diǎn)N在AC邊上并且∠MDN＝90.如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2求證：AD2＝(AB2＋AC2).41證明：證明：如圖6過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線(xiàn)交ND延長(zhǎng)線(xiàn)于E.連ME.由BD＝DC可知ED＝DN.有△BED≌△CND.于是BE＝NC.顯然MD為EN的中垂線(xiàn).有EM＝MN.由

7、BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2可知△BEM為直角三角形∠MBE＝90.有∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90.于是∠BAC＝90.所以AD2＝＝(AB2＋AC2).221??????BC41這里添加AC的平行線(xiàn)將BC的以D為中點(diǎn)的性質(zhì)傳遞給EN使解題找到出路.例7、如圖7AB為半圓直徑D為AB上一點(diǎn)分別在半圓上取點(diǎn)E、F使EA＝DAFB＝DB.過(guò)D作AB的垂線(xiàn)交半圓于C.求證：CD平分EF.證明：

8、證明：如圖7分別過(guò)點(diǎn)E、F作AB的垂線(xiàn)G、H為垂足連FA、EB.易知DB2＝FB2＝ABHBAD2＝AE2＝AGAB.二式相減得DB2－AD2＝AB(HB－AG)或(DB－AD)AB＝AB(HB－AG).于是DB－AD＝HB－AG或DB－HB＝AD－AG.就是DH＝GD.顯然EG∥CD∥FH.故CD平分EF.這里為證明CD平分EF想到可先證CD平分GH.為此添加CD的兩條平行線(xiàn)EG、FH從而得到G、H兩點(diǎn).證明很精彩.經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的若干直線(xiàn)