函數(shù)、導(dǎo)數(shù)“任意、存在”型問(wèn)題歸納

1、1函數(shù)導(dǎo)數(shù)任意性和存在性問(wèn)題探究導(dǎo)學(xué)語(yǔ)函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題是高考試題中占比重最大的題型，前期所學(xué)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)圖像切線、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值最值等問(wèn)題的方法，僅可稱之為解決這類問(wèn)題的“戰(zhàn)術(shù)”，若要更有效地徹底解決此類問(wèn)題還必須研究“戰(zhàn)略”，因?yàn)榇祟悊?wèn)題是函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合全稱命題和特稱命題形成的綜合性題目.常用戰(zhàn)略思想如下：題型分類解析一單一函數(shù)單一“任意”型戰(zhàn)略思想一：“，恒成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，?xA?()()afx??xA?”；max()()a

2、fx??“，恒成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，”.?xA?()()afx??xA?min()()afx??例1：已知二次函數(shù)，若時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2()fxaxx???[01]x?|()|1fx?解：，∴；即；?|()|1fx?211axx????211xaxx?????當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，∴a∈R.0x?當(dāng)時(shí)，由得：，01x??211xaxx?????221111axxxx?????而，∴.又∵，∴，min211()0xx??0a?

3、max211()2xx????220aa??????綜上得a的范圍是.[20]a??二單一函數(shù)單一“存在”型戰(zhàn)略思想二：“，使得成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，?xA?()()afx??xA?”；min()()afx??“，使得成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，”.?xA?()()afx??xA?max()()afx??例2.2.已知函數(shù)()，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)2()lnfxaxx??aR?[1]xe?()(2)fxax??的取值范圍.a解析：xxxxa2

4、)ln(2???.()(2)fxax???∵，∴xx??1ln且等號(hào)不能同時(shí)取，所以xx?ln，即0ln??xx，[1]xe?因而xxxxaln22???，，[1]xe?令xxxxxgln2)(2???]1[ex?，又2)ln()ln22)(1()(xxxxxxg??????，af(x)上上f(x)上上af(x)上上f(x)上上3由已知，又，∴，1212()()0fxfxxx???120xx??12()()0fxfx??即在上為增函數(shù).

5、()fx[11]?∵，∴，恒有；(1)1f?[11]x??()1fx?∴要使對(duì)所有，恒成立，2()21fxtat???[11]x??[11]a??即要恒成立，故恒成立，2211tat???220tat??令，只須且，2()2gaatt???(1)0g??(1)0g?解得或或.2t??0t?2t?戰(zhàn)略思想六：（為常數(shù)）成立為常數(shù)）成立t=21Axx??txfxf??|)()(|21t?minmax)()(xfxf?例6.已知函數(shù)，則對(duì)任意

6、（）都有恒43()2fxxx???121[2]2tt??12tt???|)()(|21tftf成立，當(dāng)且僅當(dāng)=____，=____時(shí)取等號(hào).1t2t解：因?yàn)楹愠闪ⅲ?2maxmin|()()||[()][()]|fxfxfxfx???由，431()2[2]2fxxxx?????易求得，，max327[()]()216fxf??min15[()]()216fxf????∴.12|()()|2fxfx??戰(zhàn)略思想七：21Axx??|||)(

7、)(|2121xxtxfxf????txxxfxf???|)()(|2121?)0(t|)(|??txf例7.已知函數(shù)滿足：(1)定義域?yàn)椋?2)方程至少有兩個(gè)實(shí)根和；()yfx?[11]?()0fx?1?1(3)過(guò)圖像上任意兩點(diǎn)的直線的斜率絕對(duì)值不大于1.()fx(1)證明:；(2)證明：對(duì)任意，都有.|(0)|1f?12[11]xx??12|()()|1fxfx??證明(1)略；(2)由條件(2)知，(1)(1)0ff???不妨設(shè)，