高階等差數列

1、高階等差數列高階等差數列點擊數：764次錄入時間：20081169:51:00編輯：金子明一、基本知識1.定義：對于一個給定的數列an，把它的連結兩項an1與an的差an1an記為bn，得到一個新數列bn，把數列bn你為原數列an的一階差數列，如果cn=bn1bn，則數列cn是an的二階差數列依此類推，可得出數列an的p階差數列，其中pN2.如果某數列的p階差數列是一非零常數列，則稱此數列為p階等差數列3.高階等差數列是二階或二階以上等

2、差數列的統(tǒng)稱4.高階等差數列的性質：(1)如果數列an是p階等差數列，則它的一階差數列是p1階等差數列(2)數列an是p階等差數列的充要條件是：數列an的通項是關于n的p次多項式(3)如果數列an是p階等差數列，則其前n項和Sn是關于n的p1次多項式5.高階等差數列中最重要也最常見的問題是求通項和前n項和，更深層次的問題是差分方程的求解，解決問題的基本方法有：(1)逐差法：其出發(fā)點是an=a1(2)待定系數法：在已知階數的等差數列中，其

3、通項an與前n項和Sn是確定次數的多項式(關于n的)，先設出多項式的系數，再代入已知條件解方程組即得(3)裂項相消法：其出發(fā)點是an能寫成an=f(n1)f(n)(4)化歸法：把高階等差數列的問題轉化為易求的同階等差數列或低階等差數列的問題，達到簡化的目的二、例題精講例3.求和：Sn=13222432…n(n2)(n1)2解：Sn是是數列n(n2)(n1)2的前n項和，因為an=n(n2)(n1)2是關于n的四次多項式，所以an是四階等

4、差數列，于是Sn是關于n的五次多項式k(k2)(k1)2=k(k1)(k2)(k3)2k(k1)(k2)，故求Sn可轉化為求Kn=和Tn=k(k1)(k2)(k3)=[k(k1)(k2)(k3)(k4)(k1)k(k1)(k2)(k3)]，所以Kn==Tn==從而Sn=Kn2Tn=例4.已知整數列an適合條件：(1)an2=3an13anan1n=234…(2)2a2=a1a32(3)a5a4=9a1=1求數列an的前n項和Sn解：設b