關(guān)于二次型化零向量的一些思考

1、1關(guān)于實(shí)二次型化零向量的一些思考關(guān)于實(shí)二次型化零向量的一些思考戴培培1楊忠鵬1林志興1嚴(yán)劍龍2郭文靜3嚴(yán)益水21莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系2.福建師范大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院3.廈門(mén)大學(xué)數(shù)科院莆田學(xué)院教改項(xiàng)目(JG200712、JG200820)二次型是高等代數(shù)教學(xué)中一個(gè)很重要的內(nèi)容。在各種教材中已詳細(xì)的介紹了二次型的各種性質(zhì)及結(jié)論，如任意實(shí)數(shù)域上的二次型均可通過(guò)適當(dāng)?shù)姆峭嘶€(xiàn)性替換將其化成規(guī)范形，且規(guī)范形唯一。現(xiàn)在我們利用這一結(jié)論來(lái)討論實(shí)二次型化零向量的問(wèn)題

2、。1問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出在各個(gè)高校使用的高等代數(shù)教材中，一般會(huì)出現(xiàn)這樣一個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}問(wèn)題1[124]設(shè)是一實(shí)二次型.若有實(shí)維1()nXAXfxx??1nnnxXARAAx???????????????n向量使得則一定存在實(shí)維向量使得12XX110XAX?220XAX?n00X?.000XAX?問(wèn)題問(wèn)題2[24]設(shè)為級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣與為兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的維向量An1X2Xn，則存在兩個(gè)與線(xiàn)性相關(guān)的維向量，而線(xiàn)112200XAXXAX??12XXn

3、34XX34XX性無(wú)關(guān)，且33440.XAXXAX??問(wèn)題問(wèn)題3[14]設(shè)二次型的秩為則在中存在維數(shù)為的子1()nXAXfxx??nnR1(||)2ns?空間則對(duì)任一向量有其中為二次型的符號(hào)差.1V01XV?000XAX?s更一般的情形，設(shè)二次型的秩為則在中存在維數(shù)為1()nXAXfxx??()rrn?nR的子空間則對(duì)任一向量有其中為二次型的符號(hào)差.1(||)2rs?1V01XV?000XAX?s問(wèn)題問(wèn)題4[3]設(shè)是一實(shí)二次型存在維向量

4、1()nXAXfxx?Ln12111XXXAXc?，一定存在實(shí)維向量使得222XAXc?12102()ccccc???n0X000XAXc?說(shuō)明說(shuō)明（1）這是本科高等代數(shù)課程中的基本訓(xùn)練題，基本涵蓋二次型的一些方法，也可以用來(lái)測(cè)試學(xué)生二次型部分的知識(shí)掌握情況。（2）問(wèn)題1說(shuō)明了化零向量的存在，問(wèn)題2說(shuō)明了至少存在兩個(gè)化零向量且線(xiàn)性無(wú)關(guān)，問(wèn)題3說(shuō)明了存在一個(gè)維數(shù)為的化零子空間這三個(gè)問(wèn)題一個(gè)比一個(gè)深入。問(wèn)題1(||)2ns?4說(shuō)明了二次型具

5、有介值性。3的正負(fù)慣性指數(shù)則有個(gè)線(xiàn)性1()nXAXfxx?L1()nXAXfxx?L2pqnpq???無(wú)關(guān)的基本化零向量.結(jié)論結(jié)論4設(shè)實(shí)二次型的秩為則的全部1()nfxxLXAX?()rrn?1()nfxxLXAX?基本化零向量未必能構(gòu)成線(xiàn)性空間.若A是不定的，則全部化零向量不能構(gòu)成線(xiàn)性空間；若A是半正定或半負(fù)定時(shí)，全體化零向量構(gòu)成的維數(shù)為的子空間.nR()nrA?我們知道有這樣的二維勾股數(shù)，也有三維、四維勾股數(shù)（見(jiàn)[5]）222zxy

6、??xyzZ?因此化零向量有另一種取法（分量之間的關(guān)系滿(mǎn)足勾股定理）。所以化零向量的構(gòu)造不是唯一的具有多樣性，需要我們不斷地探索.這部分的內(nèi)容在各個(gè)教材中基本都當(dāng)做習(xí)題來(lái)解決，若是教師能在課堂上提出這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生在課后可以自己去補(bǔ)充完成證明，讓他們對(duì)二次型有更深刻的理解，亦可拓展他們的思維空間.3問(wèn)題的延伸問(wèn)題的延伸在對(duì)二次型化零向量的集合的代數(shù)結(jié)構(gòu)的討論的基礎(chǔ)上，又查閱了劉先平所寫(xiě)的《關(guān)于二次型的介值性》[3]其中主要證明了介值定理的

7、存在性。命題命題1是一實(shí)二次型若有維向量1()nfxxXAX?設(shè)Ln12XX111XAXc?若為介于與的任意實(shí)數(shù)一定存在實(shí)維向量222XAXc?12cc?0c1c2cn0X.000XAXc?使得定理定理1設(shè)是一實(shí)二次型存在維向量1()nXAXfxx?Ln12111XXXAXc?則的解向量存在但不唯一且222XAXc?12102()()ccccc???0XAXc?的全部解向量不構(gòu)成線(xiàn)性空間.0XAXc?例1設(shè)是一實(shí)二次型而且是不定矩陣，存