習(xí)題課 級(jí)數(shù)的收斂、求和與展開

1、,習(xí)題課,級(jí)數(shù)的收斂、求和與展開,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法,四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和付式級(jí)數(shù) 展開法,一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法,第十一章,(在收斂域內(nèi)進(jìn)行),基本問題：判別斂散；,求收斂域；,求和函數(shù)；,級(jí)數(shù)展開.,為傅立葉級(jí)數(shù).,為傅氏系數(shù)) 時(shí),,時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);,時(shí)為冪級(jí)數(shù);,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

2、的審斂法,1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性,2. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法,,必要條件,發(fā) 散,,滿足,比值審斂法,根值審斂法,,收 斂,發(fā) 散,,不定,比較審斂法,用它法判別,積分判別法,部分和極限,,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法,為收斂級(jí)數(shù),Leibniz判別法: 若,且,則交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂 ,,概念:,且余項(xiàng),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1

3、. 若級(jí)數(shù),均收斂 , 且,證明級(jí)數(shù),收斂 .,證:,則由題設(shè),收斂,,收斂,,收斂,練習(xí)題: P257 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解答提示:,P257 題2. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:,提示: (1),據(jù)比較判別法, 原級(jí)數(shù)發(fā)散 .,因調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,利用比值判別法, 可知原級(jí)數(shù)發(fā)散.,用

4、比值法, 可判斷級(jí)數(shù),因 n 充分大時(shí),∴原級(jí)數(shù)發(fā)散 .,用比值判別法可知:,時(shí)收斂 ;,時(shí), 與 p 級(jí)數(shù)比較可知,時(shí)收斂;,時(shí)發(fā)散.,再由比較法可知原級(jí)數(shù)收斂 .,,時(shí)發(fā)散.,發(fā)散,,收斂,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P257 題3. 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),和,也收斂 .,提示: 因,?存在 N > 0,,又因,利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.,都收斂, 證明級(jí)數(shù),當(dāng)n >N 時(shí),機(jī)動(dòng)

5、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P257 題4. 設(shè)級(jí)數(shù),收斂 , 且,是否也收斂？說明理由.,但對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)卻不一定收斂 .,問級(jí)數(shù),提示: 對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),由比較判別法可知,級(jí)數(shù),收斂 ,,收斂,,級(jí)數(shù),發(fā)散 .,例如, 取,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P257 題5.討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性:,提示: (1),P >1 時(shí), 絕對(duì)收斂 ;,0 < p ≤1 時(shí), 條件

6、收斂 ;,p≤0 時(shí), 發(fā)散 .,(2) 因各項(xiàng)取絕對(duì)值后所得強(qiáng)級(jí)數(shù),,原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 .,故,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因,單調(diào)遞減, 且,但,所以原級(jí)數(shù)僅條件收斂 .,由Leibniz判別法知級(jí)數(shù)收斂 ;,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因,,,所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法,? 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù): 先求收

7、斂半徑 R ,,再討論,? 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù),通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式,直接用比值法或根值法,處的斂散性 .,P257 題7. 求下列級(jí)數(shù)的斂散區(qū)間:,練習(xí):,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解:,當(dāng),因此級(jí)數(shù)在端點(diǎn)發(fā)散 ,,時(shí),,時(shí)原級(jí)數(shù)收斂 .,故收斂區(qū)間為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解: 因,故收斂區(qū)間為,級(jí)數(shù)收斂;,一般項(xiàng),不趨于0,,,級(jí)數(shù)發(fā)散;,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

8、 下頁 返回 結(jié)束,例2.,解: 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級(jí)數(shù),極限不存在,,∵ 原級(jí)數(shù) =,∴ 其收斂半徑,注意:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,? 求部分和式極限,三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法,,求和,? 映射變換法,,逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分,,,對(duì)和式積分或求導(dǎo),,,直接求和: 直接變換,,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級(jí)數(shù)求和, 再代值,求部分和等,? 初等變換法: 分解、套用公式,（在收斂區(qū)間內(nèi)）,?

9、 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 求和,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,例3. 求冪級(jí)數(shù),法1 易求出級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,法2,先求出收斂區(qū)間,則,設(shè)和函數(shù)為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,練習(xí):,解: (1),顯然 x = 0 時(shí)上式也正確,,故和函數(shù)為,而在,x≠0,P258 題8. 求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：,級(jí)數(shù)發(fā)散,,機(jī)動(dòng)

10、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(4),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,顯然 x = 0 時(shí), 和為 0 ;,根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性 , 有,x = ?1 時(shí),,級(jí)數(shù)也收斂 .,即得,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,練習(xí):,解: 原式=,的和 .,,,P258 題9(2). 求級(jí)數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和付式級(jí)數(shù)展開法,?

11、 直接展開法,? 間接展開法,練習(xí):,1. 將函數(shù),展開成 x 的冪級(jí)數(shù).,— 利用已知展式的函數(shù)及冪級(jí)數(shù)性質(zhì),— 利用泰勒公式,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法,2. 設(shè),,, 將 f (x)展開成,x 的冪級(jí)數(shù) ,,的和. ( 01考研 ),解:,于是,并求級(jí)數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2.

12、 函數(shù)的付式級(jí)數(shù)展開法,系數(shù)公式及計(jì)算技巧;,收斂定理;,延拓方法,練習(xí):,上的表達(dá)式為,將其展為傅氏級(jí)數(shù) .,P258 題11. 設(shè) f (x)是周期為2?的函數(shù),,它在,解答提示,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考: 如何利用本題結(jié)果求級(jí)數(shù),根據(jù)付式級(jí)數(shù)收斂定理 , 當(dāng) x = 0 時(shí), 有,提示:,P257 6 (2); 7 (3); 8 (2),(3) ;