[學習]復變函數與積分變換課件3.3柯西積分公式

1、§3.3 柯西積分公式,一、柯西積分公式,,在邊界 C 上連續(xù)，,如圖，以 為圓心，d 為半徑作圓 G，則,左邊,右邊,| 右邊 - 左邊 |,則,,在邊界 C 上連續(xù)， 則,一、柯西積分公式,定理,如果函數 在區(qū)域 D 內解析，,,D,,,d,,G,,C,,證明,(思路),(當 充分小時),| 右邊 - 左邊 |,即只要 d 足夠小，所證等式兩邊的差的?？梢匀我庑。?由于

2、左邊與右邊均為常數，與 d 無關，故等式成立。,,在邊界 C 上連續(xù)， 則,一、柯西積分公式,定理,如果函數 在區(qū)域 D 內解析，,,D,,C,,意義,,,將 換成 ，積分變量 換成 ，,解析函數在其解析區(qū)域內的值完全由邊界上的值確定。,換句話說，解析函數可用其解析區(qū)域邊界上的值以一種,特定的積分形式表達出來。,,則上式變?yōu)?是多連域。,一、柯西積分公式,應用,推出一些理論

3、結果，從而進一步認識解析函數。,比如對于二連域 D ,,其邊界為 ，,反過來計算積分,則,(2),(函數 在 上解析),,,,則,,,,解,試考慮積分路徑為 的情況。,二、平均值公式,在 上連續(xù)，,則有,三、最大模原理,則在 D 內 沒有最大值。,理解,如圖，函數

4、 在解析區(qū)域,D 內任意一點 的函數值是,以該點為圓心的圓周上所有,點的函數值的平均值，,因此， 不可能達到最大，,除非 為常數。,,三、最大模原理,在 上的最大值,必在 上取得，,因此，當 時，有,即 是 r 的單調上升函數。,即,附：,連續(xù)函數的平均值(以平均氣溫為例),設某時間段內