[學習]概率論與數理統(tǒng)計課件第9章

1、一元回歸分析,在現實問題中，處于同一個過程中的一些變量，往往是相互依賴和相互制約的，它們之間的相互關系大致可分為兩種：,相關關系問題,（1）確定性關系——函數關系；,（2）非確定性關系——相關關系；,相關關系表現為這些變量之間有一定的依賴關系，但這種關系并不完全確定，它們之間的關系不能精確地用函數表示出來，這些變量其實是隨機變量，或至少有一個是隨機變量。,相關關系舉例,例如：在氣候、土壤、水利、種子和耕作技術等條件基本相同時，某農作物的

2、畝產量 Y 與施肥量 X 之間有一定的關系，但施肥量相同，畝產量卻不一定相同。畝產量是一個隨機變量。,又如：人的血壓 Y 與年齡 X 之間有一定的依賴關系，一般來說，年齡越大，血壓越高，但年齡相同的兩個人的血壓不一定相等。血壓是一個隨機變量。,農作物的畝產量與施肥量、血壓與年齡之間的這種關系稱為相關關系，在這些變量中，施肥量、年齡是可控變量，畝產量、血壓是不可控變量。一般在討論相關關系問題中，可控變量稱為自變量，不可控變量稱為因變量。,

3、函數關系與相關關系的區(qū)別,相關關系——,影響,的值，,函數關系——,決定,的值，,因此，統(tǒng)計學上討論兩變量的相關關系時，是設法確定：在給定自變量 的條件下，因變量 的條件數學期望,不能確定。,回歸分析的概念,研究一個隨機變量與一個（或幾個）可控變量之間的相關關系的統(tǒng)計方法稱為回歸分析。,只有一個自變量的回歸分析稱為一元回歸分析；多于一個自變量的回歸分析稱為多元回歸分析。,引進回歸函數,稱為回歸方程,回歸分析主要包

4、括三方面的內容,（1）提供建立有相關關系的變量之間的數學關系式（稱為經驗公式）的一般方法；,（2）判別所建立的經驗公式是否有效，并從影響隨機變量的諸變量中判別哪些變量的影響是顯著的，哪些是不顯著的；,回歸分析的內容,（3）利用所得到的經驗公式進行預測和控制。,一元線性回歸模型,如果試驗的散點圖中各點呈直線狀，則假設這批數據的數學模型為,設隨機變量Y依賴于自變量x，作n次獨立試驗，得n對觀測值：稱這n對觀測值為容量為n的一個子樣，若

5、把這n對觀測值在平面直角坐標系中描點，得到試驗的散點圖.,則,,,,圖 9-1,,因此,其中 是與 無關的未知常數。,（9.1）,一元線性回歸模型,一般地，稱如下數學模型為一元線性模型,而 稱為回歸函數或回歸方程。,稱為回歸系數。,回歸函數（方程）的建立,由觀測值 確定的回歸函數 ，應使得

6、 較小。,考慮函數,問題：確定 ，使得 取得極小值。,這是一個二元函數的無條件極值問題。,回歸方程的建立,令,,,,回歸方程的建立,記,表示對 的估計值,則變量 對 的回歸方程為,簡寫為,,最小二乘法,回歸方程有效性的檢驗,對于任何一組數據 ，都可按最小二乘法確定一個線性函數，但變量 與 之間是否真有近似于線性函數的相關關系呢？尚需進行假設檢驗

7、。,假設,如果 成立，則不能認為 與 有線性相關關系。,三種檢驗方法：F檢驗法、t-檢驗法、r檢驗法。,,,,,回歸方程有效性的F檢驗法,記,——總離差平方和，反映觀測值與平均值的偏差程度。,經恒等變形，將 分解,,,,,回歸方程有效性的F檢驗法,——回歸平方和，反映回歸值與平均值的偏差，揭示變量 與 的線性關系所引起的數據波動。,——剩余平方和，反映觀測值與回歸值的偏差，揭示試驗誤差和非線性關系對試驗結果所引

8、起的數據波動。,,,,,回歸方程有效性的F檢驗法,如果 為真，則,于是，統(tǒng)計量,對給定的檢驗水平 ，,（1）當 時，拒絕 ，即可認為變量 與 有線性相關關系；,（2）當 時，接受 ，即可認為變量 與 沒有線性相關關系；,回歸方程有效性的F檢驗法,（2）當 時，接受 ，即可認為變量 與 沒有線性相關關系；,此時，可能有以下幾種情況：,（2） 對

9、 有顯著影響，但這種影響不能用線性關系表示，應作非線性回歸；,（3）除 之外，還有其它變量對 也有顯著影響，從而削弱了 對 的影響，應考慮多元回歸。,（1） 對 沒有顯著影響，應丟棄自變量 ；,回歸方程有效性的r檢驗法,記,——樣本的相關系數,可反映變量 與 之間的線性相關程度。,因為,回歸方程有效性的r檢驗法,記,——樣本的相關系數,越大，變量 與 之間的線性相關程度越強。,因為,（1）,（2） 時

10、，,（3） 時，,與 有線性相關關系；,與 無線性相關關系；,回歸方程有效性的r檢驗法,計算,對給定的檢驗水平 ，查相關系數的臨界值表,如果 ，則拒絕 ，即線性回歸方程有效；否則，接受 ，即線性回歸方程無效。,F檢驗與r檢驗是一致的：,回歸方程有效性的t檢驗法,統(tǒng)計量,H0成立時，,對給定的檢驗水平 ，H0的拒絕域為,即當 時，變量 與 有線性相關關系。,F檢驗與t檢

11、驗是一致的：,,試求出 與 的關系，并判斷是否有效。,例1 為了研究大豆脂肪含量 和蛋白質含量 的關系，測定了九種大豆品種籽粒內的脂肪含量和蛋白質含量，得到如下數據,解 （1）描散點圖,（2）建立模型,由散點圖，設變量 與 為線性相關關系：,確定回歸系數 和 ：,所以，所求的回歸方程為,（3）檢驗回歸方程的有效性,查相關系數臨界值表,因為,所以回歸方程在 的檢驗水平下有統(tǒng)計意義。,即可以認為大豆的蛋白

12、質含量與脂肪含量有線性相關性。,利用回歸方程進行預測,1、點預測,時， 即為 的點預測值。,2、區(qū)間預測,統(tǒng)計量,對給定的置信水平 ， 的預測區(qū)間為,,續(xù)例1 求大豆脂肪含量為18.6%的條件下蛋白質95%的預測區(qū)間。,解 由已求得的回歸方程,得蛋白質的點預測值為,所以脂肪含量為18.6%時，蛋白質的95%的預測區(qū)間為,利用回歸方程進行預測,控制則為預測的反問題：已知因變量的取值區(qū)間為,，確定自變量

13、的取值區(qū)間 使得,利用回歸方程進行控制,一般地，要解出 和 很復雜，可作簡化求解：,當樣本容量很大時，,，則,例1的上機操作步驟,分兩列輸入,回歸分析命令,,因變量,自變量,,預測點,置信水平,,,,,,,,t檢驗,r檢驗,F檢驗,,,預測區(qū)間,點預測值,,自變量值,,可線性化的一元非線性回歸,多重線性回歸簡介,前一節(jié)，我們學習了一元線性回歸分析問題，在實際應用中，有些變量之間并不是線性相關關系，但可以經過適當的變

14、換，把非線性回歸問題轉化為線性回歸問題。,可線性化的一元非線性回歸,常見的幾種變換形式：,1、雙曲線,令,,2、冪函數曲線,令,,化非線性回歸為線性回歸,變形,3、指數函數曲線,令,,變形,4、負指數函數曲線,令,,化非線性回歸為線性回歸,變形,5、對數函數曲線,令,,6、S型（Logistic）曲線,令,,化非線性回歸為線性回歸,變形,例1 測定某肉雞的生長過程，每兩周記錄一次雞的重量，數據如下表,由經驗知雞的生長曲線為Logi

15、stic曲線，且極限生長量為k=2.827，試求y對x的回歸曲線方程。,解 由題設可建立雞重y與時間x的相關關系為,令,則有,列表計算,所以,所以所求曲線方程為,上機操作,輸入原始數據,上機操作,計算,上機操作,上機操作,上機操作,是y*，而不是y,,自變量,上機操作,,,回歸方程，還要回代系數,多重回歸分析,在實際問題中，自變量的個數可能多于一個，隨機變量 y與多個可控變量x1,x2,x3,…,xk之間是否存在相關關系，則屬于多重

16、（元）回歸問題。本節(jié)討論多重線性回歸。,多重線性回歸模型,隨機變量 與 之間的線性關系,(1),其中,未知,則（1）式稱為多重線性回歸模型。,多重線性回歸模型,若對變量 與 分別作n次觀測，則可得一個容量為n的子樣,(2),其中,為待定參數，稱為回歸系數。,（2）式含有k+1個參數，故觀測次數應滿足n>k+1。,則有,多重線性回歸模型的矩

17、陣形式,記,則（2）有矩陣形式,其中,確定 的最小二乘法,考慮多元函數,目標：確定 使 最小,方法：,解得,——多重線性回歸方程,線性回歸方程的有效性檢驗——方差分析法,線性回歸方程是否有統(tǒng)計意義，可檢驗假設,是否成立,方法：方差分析法，將總離差平方和分解,線性回歸方程的有效性檢驗——方差分析法,——回歸平方和，反映線性關系對觀測結果產生的數據波動，S

18、SR越大，線性相關關系越強。,——剩余平方和（或殘差平方和），反映除線性因素之外的其它因素對觀測結果產生的數據波動，SSE越大，則其它因素對Y的影響越大。,線性回歸方程的有效性檢驗——方差分析法,在H0成立的條件下，可以證明：,（n為觀測次數，k為自變量個數）,構造F統(tǒng)計量,當 時，拒絕H0。,回歸系數的統(tǒng)計檢驗,回歸方程的有效性檢驗，只是解決了 與之

19、間是否有線性相關關系，至于變量 對 的影響是否有統(tǒng)計意義，無從看出，因此，還需對回歸系數 是否為0作統(tǒng)計檢驗。,提出假設,如果H0成立，可以證明統(tǒng)計量,當 時，拒絕H0。,利用回歸方程作預測及控制,對于給定的,點估計值,置信水平為 的預測區(qū)間為,例2 某種水泥在凝固時放出的熱量Y（cal/g）與水泥中下列4種化學成分