[學(xué)習(xí)]統(tǒng)計(jì)學(xué)-分布數(shù)量特征的統(tǒng)計(jì)描述

1、3-1,分布數(shù)量特征的統(tǒng)計(jì)描述,第一節(jié) 分布的平均水平、集中趨勢(shì)和位置的度量第二節(jié) 分布離散程度的度量第三節(jié) 分布的偏度和峰度,3-2,統(tǒng)計(jì)資料經(jīng)過(guò)加工整理形成分布數(shù)列后，我們對(duì)它的變化規(guī)律已有了一個(gè)直觀的了解。然而，要作進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)分析僅靠這些直觀了解是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，我們還需要尋找一些能充分度量統(tǒng)計(jì)分布數(shù)量特征的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，以便對(duì)不同的研究對(duì)象進(jìn)行分析研究。對(duì)統(tǒng)計(jì)資料的度量包括：集中趨勢(shì)的度量（平均指標(biāo)）；離中趨勢(shì)的度量（變異指

2、標(biāo)）。,3-3,第一節(jié) 統(tǒng)計(jì)平均數(shù) 眾數(shù) 中位數(shù),一、統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的含義與作用(一) 含義：也稱平均指標(biāo)，是用來(lái)表示社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體各單位某一標(biāo)志在一定時(shí)間、地點(diǎn)條件下所達(dá)到的一般水平(二) 作用反映總體各單位變量分布的一般水平和集中趨勢(shì)比較同類現(xiàn)象在不同單位的發(fā)展水平比較同類現(xiàn)象在不同時(shí)期的發(fā)展變化趨勢(shì)或規(guī)律(三) 分類,3-4,靜態(tài)平均數(shù)同一時(shí)間不同單位的數(shù)據(jù)的平均反映現(xiàn)象總體在一定歷史條件下的一般水平,動(dòng)態(tài)平均

3、數(shù)不同時(shí)間同一總體的數(shù)據(jù)的平均反映現(xiàn)象在發(fā)展階段上的一般水平,3-5,5,3-6,二、算術(shù)平均數(shù),1.算術(shù)平均數(shù)：總體單位的標(biāo)志值總量除以總體單位數(shù)所得的結(jié)果。基本公式：例： 平均工資=工資總額÷職工人數(shù) 單位成本=總成本÷產(chǎn)量,3-7,2.計(jì)算方法,由于所掌握資料的數(shù)據(jù)不同，有（1）簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)。簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)主要用于未分組資料，用總體各單位標(biāo)志值簡(jiǎn)單加總得到的標(biāo)志總量除以總體

4、單位數(shù)而得。計(jì)算公式：,3-8,簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)——資料未分組時(shí),6名學(xué)生的考試成績(jī)分別為（分）79、82、87、60、95、91，他們的平均成績(jī)是多少？ （79+82+97+60+60+95+91）/6=84（分）,3-9,（2）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)—適合于分組資料,1、單項(xiàng)式數(shù)列A. 加權(quán)算術(shù)平均數(shù)主要用于原始資料已經(jīng)分組，并得出次數(shù)分布的條件。計(jì)算公式： fi 為各組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)。,3-10,,3-11,

5、不符合基本公式，總體單位總量不是5個(gè)工人，而是800個(gè)工人；工人人總產(chǎn)量（總體標(biāo)志總量）不是60件，而是9710件,所以，應(yīng)該這樣計(jì)算：,可以這樣計(jì)算嗎？,不能!,3-12,3-13,B.權(quán)數(shù)的意義和作用,權(quán)數(shù)：各組次數(shù)（頻數(shù)）的大小所對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值對(duì)平均數(shù)的影響具有權(quán)衡輕重的作用。當(dāng)各組的次數(shù)都相同時(shí)，即當(dāng)f1=f2=f3=…=fn時(shí)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就等于簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)。,3-14,2.是非標(biāo)志的平均數(shù),在總體中，具有某種性質(zhì)的單位

6、占總體的比率為p，不具有該種性質(zhì)的單位占總體的比率為 q，以1作為具有某種性質(zhì)的單位的標(biāo)志值，以0作為不具有該種性質(zhì)的單位的標(biāo)志值： p也稱為總體中具有某種屬性的單位成數(shù)，是非標(biāo)志的平均數(shù)。,3-15,3、組距式數(shù)列計(jì)算算術(shù)平均數(shù),x——各組的組中值（代表組平均水平） 假定條件：組內(nèi)均勻分布或?qū)ΨQ分布 一般地，計(jì)算結(jié)果是近似值。,3-16,16,3-17,原來(lái)只是用組中值作為各組的代表值,3-18,4.算術(shù)平均數(shù)的

7、數(shù)學(xué)性質(zhì),（1）算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)志值個(gè)數(shù)的乘積等于各標(biāo)志值的總和。簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：,3-19,,（2）各個(gè)標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零。簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：,3-20,,（3）各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的平方和為最小值。,3-21,三 調(diào)和平均數(shù),1.簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)：標(biāo)志值的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。,3-22,2.加權(quán)調(diào)和平均數(shù),計(jì)算公式：在權(quán)數(shù)選擇合適時(shí)，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)實(shí)際上是

8、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形：,3-23,,當(dāng)各組標(biāo)志總量相等，m1=m2=…=mn時(shí)，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)可化簡(jiǎn)成為簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)形式。,3-24,3-25,某供銷社分三批收購(gòu)某種農(nóng)副產(chǎn)品，其收購(gòu)單價(jià)及各批收購(gòu)額如下：,3-26,解：,3-27,某公司下屬18個(gè)企業(yè)的計(jì)劃完成情況（1）,3-28,3-29,某公司下屬18個(gè)企業(yè)的計(jì)劃完成情況（2）,3-30,18個(gè)企業(yè)的平均計(jì)劃完成百分比：,3-31,四、幾何平均數(shù),1.幾何平均數(shù)：是n項(xiàng)標(biāo)志值連乘

9、積的n次方根。2.分類：（1）簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)：是n個(gè)標(biāo)志值xi連乘積的n次方根。計(jì)算公式為：G=式中G表示幾何平均數(shù)，xi表示各項(xiàng)標(biāo)志值。,3-32,（2）加權(quán)幾何平均數(shù),加權(quán)幾何平均數(shù)是各標(biāo)志值fi次方的連乘積的次方根，計(jì)算公式為： G=,3-33,例：某流水生產(chǎn)線有前后銜接的五道工序。某日各工序產(chǎn)品的不合格率分別為5%、3%、1%、5% 、2%，整個(gè)流水線上產(chǎn)品的平均廢品率？,平均廢品率＝1 － 平

10、均合格率 ＝1－96.79％＝3.21％,3-34,某金融機(jī)夠以復(fù)利方式計(jì)息。近12年來(lái)的年利率有4年為3%、 2年為5% 、2年為8%、3年為10%、 1年為15%。則12年的平均年利率？,平均年利率=106.82%-1=6.82,加權(quán)幾何平均數(shù),加權(quán)幾何平均法,3-35,五、 眾數(shù) Mo,1.定義：眾數(shù)是指社會(huì)現(xiàn)象總體中最普遍出現(xiàn)的標(biāo)志值。集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值不受極

11、端值的影響可能沒(méi)有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù)可以用于定類數(shù)據(jù)，也可用于定序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù),3-36,,2.眾數(shù)的確定,3-37,由品質(zhì)數(shù)列（定類數(shù)據(jù)）確定眾數(shù),解：這里的變量為“廣告類型”，這是個(gè)定類變量，不同類型的廣告就是變量值。我們看到，在所調(diào)查的200人當(dāng)中，關(guān)注商品廣告的人數(shù)最多，為112人，占總被調(diào)查人數(shù)的56%，因此眾數(shù)為“商品廣告”這一類別，即 Mo＝商品廣告,3-38,由品質(zhì)數(shù)列（定序數(shù)據(jù)）確定眾數(shù),頻

12、率最大的組是“高中”，占52％,因此， M0＝高中,3-39,單項(xiàng)式數(shù)列確定眾數(shù),M0=12,3-40,4. 組距式數(shù)列確定眾數(shù)的公式,下限公式： 上限公式：,3-41,（分）,眾數(shù)的近似公式,眾數(shù)所在組的下限； 眾數(shù)所在組的次數(shù)與其前一組的次數(shù)之差；眾數(shù)所在的次數(shù)與其后一組的次數(shù)之差；,眾數(shù)組的組距。,3-

13、42,3. 眾數(shù)的幾何意義,3-43,六、中位數(shù),1.定義：中位數(shù)是將總體各個(gè)單位按其標(biāo)志值的大小順序排列，處于數(shù)列中點(diǎn)的那個(gè)單位的標(biāo)志值，在總體中，標(biāo)志值小于中位數(shù)的單位占一半；標(biāo)志值大于中位數(shù)的單位也占一半。,,3-44,2.中位數(shù)的確定,1)未分組資料確定中位數(shù)。將總體各單位的標(biāo)志值按照大小順序排列，當(dāng)總體單位數(shù)n為奇數(shù)時(shí)： 當(dāng)總體單位數(shù)n為偶數(shù)時(shí),：,3-45,例,原始數(shù)

14、據(jù): 84 82 81 86 80排 序: 80 81 82 84 86位 置: 1 2 3 4 5,中位數(shù)Me ＝82,?,3-46,原始數(shù)據(jù): 84 82 81 86 80 90排 序:80 81 82 84 86 90

15、位 置: 1 2 3 4 5 6,中位數(shù)Me ＝83,,,中位數(shù)位置＝,＝,n+1,＝3.5,2,2,6+1,?,3-47,2)單項(xiàng)式分組資料確定中位數(shù),當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)： ， 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),,3-48,3) 組距式分組資料確定中位數(shù),下限公式：

16、上限公式：,3-49,,某公司職工按月工資分組,3-50,（元）,3-51,測(cè)度數(shù)據(jù)在特定位置上的水平，還可計(jì)算四分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)。與中位數(shù)計(jì)算原理相類似，它們是將數(shù)據(jù)由小到大排序后，分別位于全部數(shù)據(jù)1/4、1/10和1/100位置上的數(shù)值。實(shí)際上，中位數(shù)也就是第二個(gè)四分位數(shù)、第五個(gè)十分位數(shù)、第五十個(gè)百分位數(shù)。,,P是想要得到的那個(gè)分位數(shù)，n是數(shù)據(jù)的項(xiàng)數(shù)，Ｍ是多少分位數(shù)。,3. 其他分位數(shù),3-52,,四分位數(shù)四分位數(shù)是

17、通過(guò)3個(gè)點(diǎn)將全部數(shù)據(jù)等分為4部分，其中每部分包括25%的數(shù)據(jù)。很顯然，第二個(gè)四分位數(shù)就是中位數(shù)，因此通常所說(shuō)的四分位數(shù)是指處在25%位置上的數(shù)值（下四分位數(shù)Q1 ）和處在75%位置上的數(shù)值（上四分位數(shù)Q3 ）。與中位數(shù)的計(jì)算方法類似，根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算四分位數(shù)時(shí)，首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后確定四分位數(shù)所在的位置。,,3-53,中位數(shù)、眾數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系: 中位數(shù)、眾數(shù)和算術(shù)平均數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系決定于總體內(nèi)次數(shù)分配的狀況。

18、對(duì)稱鐘形分布情形下： 非對(duì)稱左偏分布情形下：非對(duì)稱右偏分布情形下：,3-54,眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系圖,,,,3-55,英國(guó)著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾生（K.Pearson）提出了一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式：在數(shù)據(jù)分布呈輕微偏態(tài)時(shí)，算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)、中位數(shù)三者之間存在如下的近似關(guān)系：,,3-56,第三節(jié) 分布離散程度的度量,一、變異指標(biāo)的含義與作用1.定義：變異指標(biāo)反映總體內(nèi)部的離中趨勢(shì)或變異狀況。變異指標(biāo)值越大

19、，表明總體各單位標(biāo)志的變異程度越大。2.作用：（1）衡量平均指標(biāo)的代表性。（2）反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的均衡性。 （3）研究總體標(biāo)志值分布偏離正態(tài)的情況。（4）資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的度量（5 ）進(jìn)行抽樣推斷等統(tǒng)計(jì)分析的一個(gè)基本指標(biāo)。,3-57,二、極差與四分位差,1、極差（Range)：1）極差也稱全距，它是統(tǒng)計(jì)總體中兩個(gè)極端標(biāo)志值之差，表明總體中標(biāo)志值變動(dòng)的范圍。用R表示。2）計(jì)算公式：

20、 （未分組） （分 組） 式中：Umax代表最高組的上限； Lmin代表最低組的下限。 3）特點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)便，直觀易于理解； 易受極端值的影響,3-58,,2、四分位差（Quartile Deviation)1）計(jì)算公式：數(shù)列的3/4位次與1/4位次的標(biāo)志值之差除以2。用

21、Q·D表示。2）特點(diǎn)：四分位差避免了數(shù)列中極端值的影響，但去頭棄尾，丟失大量的原始數(shù)據(jù)。,3-59,三、平均差(Average Deviation),1、定義：平均絕對(duì)偏差，總體所有單位的標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)。用Ａ·Ｄ表示2、計(jì)算公式：3、特點(diǎn)：概括地反映了所有單位標(biāo)志值的變異程度，但因取絕對(duì)值，數(shù)學(xué)性質(zhì)不理想，實(shí)際中較少用。,,3-60,某班學(xué)生考試成績(jī)表平均差計(jì)算表,3-61,

22、四、方差與標(biāo)準(zhǔn)差,(一)方差與標(biāo)準(zhǔn)差1、方差：總體各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)。方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差。未分組的資料：方差： 標(biāo)準(zhǔn)差 ：,3-62,用分組資料計(jì)算—加權(quán)平均法,方差：標(biāo)準(zhǔn)差,3-63,某班學(xué)生考試成績(jī)表標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表,,3-64,,(二)是非標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差,3-65,五、變異系數(shù),一群牛的平均體重是180公斤，標(biāo)準(zhǔn)差是18公斤；

23、 一群羊的平均體重是15公斤，標(biāo)準(zhǔn)差是3公斤。 能不能說(shuō)羊的平均體重的代表性高些？為什么？,3-66,,1、變異系數(shù)：變異系數(shù)也稱離散系數(shù)，是各變異指標(biāo)與其算術(shù)平均數(shù)的比值。極差系數(shù)：極差與其平均數(shù)的比值。標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)差與其平均數(shù)的比值。 2、作用：消除現(xiàn)象由于不同計(jì)量單位、不同平均水平所產(chǎn)生的影響。,3-67,六、箱線圖在統(tǒng)

24、計(jì)描述中的運(yùn)用,箱線圖，也稱盒須圖，由一個(gè)箱子（或盒子）和兩條線段組成。中位數(shù)的位置表明了水平的高低箱體的大小說(shuō)明了分布的集中狀況箱線的長(zhǎng)短說(shuō)明了極大值與極小值的差異情況 例3-21,3-68,第三節(jié) 分布的偏度和峰度,一、統(tǒng)計(jì)動(dòng)差1、統(tǒng)計(jì)動(dòng)差：也稱為距，反映分布偏斜或離散程度的指標(biāo)。2、原點(diǎn)動(dòng)差：變量x關(guān)于原點(diǎn)的k階距，一般形式： （未分組）

25、 （ 分組） k= 1時(shí)，即1階的原點(diǎn)動(dòng)差就是算術(shù)平均數(shù)。k= 2時(shí)，即2階的原點(diǎn)動(dòng)差就是平方平均數(shù)。,3-69,3、中心動(dòng)差：,變量x關(guān)于分布中心（平均數(shù)）的k階距。一般形式： （未分組） （分組） 當(dāng)k=0時(shí)，即零階中心動(dòng)差 =1；當(dāng)k=1

26、時(shí)，即一階中心動(dòng)差 =0；當(dāng)k=2時(shí)，即二階中心動(dòng)差 = 。,3-70,二、偏度,1、偏度：是以變量的三階中心動(dòng)差除以標(biāo)準(zhǔn)差三次方，用于衡量頻數(shù)分配不對(duì)稱程度，或偏斜程度的指標(biāo)。2、計(jì)算公式：（用距法測(cè)定）,3-71,,當(dāng) =0時(shí)，左右完全對(duì)稱，為正態(tài)分布；當(dāng) >0時(shí)為正偏斜；當(dāng) <0時(shí)為負(fù)偏斜。,3-72,三、峰度,1、峰度：是以變量的四階中心動(dòng)差除以標(biāo)