考研數學曲線凹凸性及拐點典型題型分析

1、1考研數學：曲線凹凸性及拐點典型題型分析考研數學：曲線凹凸性及拐點典型題型分析來源：文都教育來源：文都教育在考研數學中，高等數學導數的應用部分有多個考點，其中之一是曲線的凹凸性和拐點。凹凸性和拐點是函數圖形的一種特性，從幾何意義上講，凹凸性反映的是曲線的彎曲方向，而拐點則是指曲線的彎曲方向發(fā)生改變的點，從代數意義上講，凹函數或凸函數就是指二階導數不變號的函數，當然，這里說的不變號一般是相對于某一個區(qū)間而言的。下面文都考研蔡老師對曲線的凹

2、凸性及拐點的判斷方法和典型題型做些分析總結，供考研的同學復習時參考。一、凹凸性和拐點的判斷方法一、凹凸性和拐點的判斷方法1.凹凸性判斷方法：設在上連續(xù)，在內二階可導，則當()fx[]ab()ab()0fx???時，在上的圖形是凹的；當時，則在上的圖形是凸的。()fx[]ab()0fx???()fx[]ab2、拐點判斷方法：先求出的點和二階導數不存在的點，若函數在()0fx???0x()fx點的左、右鄰域內的二階導數存在并且符號相反，則是

3、曲線的拐點。0x00(())xfx二、典型題型分析二、典型題型分析例1.設函數由參數方程確定，求的極值和曲線()yyx?3311331133xttytt?????????????()yyx?的凹凸區(qū)間及拐點。()yyx?解：由，得，，，0dydx?1t??22234(1)dytdxt??222211110022ttdydydxdx????????極大值為，極小值為；(1)1y??51()33y??令；當，得凸區(qū)間為，當221003dyt

4、xdx???得，2200dytdx??時，1()3??3例4.4.函數具有2階導數，則在區(qū)間[0，1]上??fx????????011gxfxfx???（）(A)當時，.(B)當時，0fx??（）????fxgx?0fx??（）????fxgx?(C)當時，.(D)當時，()0fx???????fxgx?()0fx???????fxgx?解：法1（利用凹凸性）：當時，是凹函??0fx????fx數，而是連接與的直線段，如右圖，此??gx

5、????00f??11f（）時，應選(D).????fxgx?法2（利用單調性）：令則()()()hxgxfx??即，由羅爾定理知，，使，若，則(0)(1)0hh??(01)???()0h???()0fx???單調遞減，()0()hxhx????當時，，單調遞增，(0)x??()()0hxh?????()hx()(0)0g(x)()hxhfx???即；當時，，單調遞減，(1)x??()()0hxh?????()hx()(1)0g(x)(