第一講-微分中值定理

1、第一講第一講微分中值定理微分中值定理教學目的教學目的使學生掌握羅爾定理、拉格朗日中值定理使學生掌握羅爾定理、拉格朗日中值定理了解柯西中值定理了解柯西中值定理并能應用羅爾定理并能應用羅爾定理拉格朗日中值定理及柯西中值定理證明和解格朗日中值定理及柯西中值定理證明和解決一些簡單問題決一些簡單問題教學重點教學重點使學生深刻理解微分中值定理的實質使學生深刻理解微分中值定理的實質教學難點教學難點拉格朗日中值定理的證明拉格朗日中值定理的證明教學學時教

2、學學時2學時學時教學過程教學過程上一章我們學習了導數的概念上一章我們學習了導數的概念并討論了導數的并討論了導數的計算方法學習的目的在于應用計算方法學習的目的在于應用這一章我們來學習這一章我們來學習導數的應用導數的應用首先學習微分中值定理首先學習微分中值定理他們是導數應用他們是導數應用的理論基礎的理論基礎微分中值定理包括微分中值定理包括:羅爾定理羅爾定理拉格朗拉格朗日中值定理和柯西中值定理日中值定理和柯西中值定理簡稱微分中值三定理簡稱微分

3、中值三定理一、羅爾定理一、羅爾定理我們首先來觀察一個圖形，見圖我們首先來觀察一個圖形，見圖1.1.設圖設圖1中曲線弧中曲線弧AAB是函數是函數)(xfy?])[(bax?的圖的圖形這是一條連續(xù)的曲線弧，除端點外處處具有不垂形這是一條連續(xù)的曲線弧，除端點外處處具有不垂論，顯然應該考慮使用導數的定義論，顯然應該考慮使用導數的定義不妨設不妨設0()xUx?時，時，????0xfxf?于是，對于于是，對于00()xxUx???，有，有????0

4、0fxxfx???，從而當，從而當0??x時，時，????000?????xxfxxf；當0??x時，時，????000?????xxfxxf由于函數由于函數??xf在0x處可導，上述兩式的左端當處可導，上述兩式的左端當0??x時極限皆存在，因此由極限的時極限皆存在，因此由極限的保號性保號性知????????0lim00000???????????xxfxxfxfxfx，????????0lim00000??????????xxfxxf

5、xfxfx所以，所以，??00?xf類似地可證明類似地可證明0()xUx?時，時，????0xfxf?的情形情形通常稱導數等于零的點為函數的駐點通常稱導數等于零的點為函數的駐點(或穩(wěn)定或穩(wěn)定點、臨界點點、臨界點)費馬定理告訴我們，若函數在費馬定理告訴我們，若函數在0x點可導，且函數點可導，且函數在0x點處取得了局部的最大值或最小值，則函數在點點處取得了局部的最大值或最小值，則函數在點0x處的導數一定為零，即處的導數一定為零，即??00?