曲面的切平面和法線

1、,設(shè)曲面方程為,過(guò)曲面上點(diǎn) 任作一條在曲面上的曲線 ，設(shè)其方程為,顯然有,在上式兩端對(duì) 求導(dǎo)，得,,從而曲面在 點(diǎn)的切平面方程為,由于 的任意性，可見(jiàn)曲面上過(guò) 的任一條曲線 在該點(diǎn)的切線都與 正交，因此這些切線應(yīng)在同一平面上，這個(gè)平面稱(chēng)為曲面在 點(diǎn)的切平面，而 就是切平面的法向量。,在 點(diǎn)（設(shè)

2、 點(diǎn)對(duì)應(yīng)于參數(shù) ）有,過(guò) 點(diǎn)與切平面垂直的直線，稱(chēng)為曲面在 點(diǎn)的法線，其方程為,該法線的一組方向數(shù)為：,綜上所述若曲面方程為,則該曲面在 點(diǎn)的切平面方程為,過(guò) 點(diǎn)的法線方程為,設(shè) 分別為曲面在 點(diǎn)的法線與 軸正向之間的夾角，那末在 點(diǎn)的法線方向余弦為

3、,若曲面方程為,容易把它化成剛才討論過(guò)的情形：,于是曲面在 （這里 ）點(diǎn)的切平面方程為,法線方程為,若曲面方程為參數(shù)形式：,如果由方程組 可以確定兩個(gè)函數(shù)：,于是可以將 看成 的函數(shù)，從而可以將問(wèn)題化為剛才已經(jīng)討論過(guò)的情形。,代入方程

4、 ，得,因此需分別計(jì)算 對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)。,將 分別對(duì) 求導(dǎo)，注意到 為 的函數(shù)按隱函數(shù)求導(dǎo)法則有,解方程組，得,法線方程,于是曲面在 點(diǎn)的切平面方程為,例 1 求球面 在點(diǎn)

5、 的切平面及法線方程.,解,設(shè),則,所以在點(diǎn) 處 球面的切平面方程為,法線方程,曲面的夾角,兩個(gè)曲面在交線上某點(diǎn)處的兩個(gè)法線的夾角稱(chēng)為這兩個(gè)曲面在該點(diǎn)的夾角。,如果兩個(gè)曲面在該點(diǎn)的夾角等于 90 度，則稱(chēng)這兩個(gè)曲面在該點(diǎn)正交。若兩曲面在交線的每一點(diǎn)都正交，則稱(chēng)這兩曲面為正交曲面。,例 2 證明對(duì)任意常數(shù) ，球面

6、 與錐面 是正交的。,即,證明,球面 的法線方向數(shù)為,錐面 的法線方向數(shù)為,在兩曲面交線上的任一點(diǎn)