青島大學2015考研真題816高等代數_第1頁
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1、1青島大學2015年碩士研究生入學考試試題科目代碼：816；科目名稱：高等代數（共2頁）請考生寫明題號，將答案全部答在答題紙上，答在試卷上無效一、（15分）求下行列式的值12322221231111123111122223333nnnnnnnnaaaaDaaaaanananan?????????????????.二、（15分）求一個次數最低且首項系數為1的多項式()fx，使得()fx同時滿足兩個條件：（1）21x?整除()fx；（2）3

2、21xx??整除()1fx?.三、（15分）證明：向量組12m???線性無關當且僅當向量組11212m??????????線性無關.四、（15分）討論當a取何值時，線性方程組322axyzaxayzxyaz?????????????????無解？有唯一解？有無窮多解？有解時求其解.五、（15分）設A是n級方陣且2AE?，其中E表示n級單位矩陣，證明:()()RAERAEn????其中()RA表示矩陣A的秩.六、（15分）設3級方陣A的三

3、個特征值為123221???????，對應于123???的三個特征向量分別為123011111110????????????????????????????????????求矩陣A.七、（15分）設V是實數域上所有形如0aab???????的矩陣構成的集合，即0aVabab????????????????，（1）驗證V關于矩陣的加法和數與矩陣乘法構成實數域上一個線性空間；（2）求V的一組基和維數.2八、（15分）設二次型11231232

4、3102()()213015xfxxxxxxtxx??????????????????????，（1）寫出二次型f的矩陣；（2）設f是正定二次型，確定t的取值.九、（15分）設T是n維線性空間V的一個線性變換，V??是一個非零向量，設10nT???但0nT??，（1）證明21nTTT?????是V的一組基；（2）求T在基21nTTT?????下的矩陣.十、（15分）設A是一個n級實對稱矩陣且2AA?，證明：存在正交矩陣Q使得11100Q

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