微積分在經(jīng)濟(jì)分析活動中的應(yīng)用

1、科技信息高校理科研究微積分在經(jīng)濟(jì)分析活動巾硇應(yīng)用青海大學(xué)財經(jīng)學(xué)院旅游公共管理系向菊敏[摘要]微積分作為數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，是學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)學(xué)的必備知識。本文著重討論了微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中最基本的一些應(yīng)用，計算邊際成本、邊際收入、邊際利潤并解釋其經(jīng)濟(jì)意義；尋求最小生產(chǎn)成本或制定獲得最大利潤的一系列策略。[關(guān)鍵詞]微積分邊際分析彈性成本收入利潤最大值最小值一、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用1、邊際分析在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用(1)邊際需求與邊際供給需求函數(shù)Q=f(p)

2、在點p處可導(dǎo)(其中Q為需求量，P為商品價格)，則其邊際函數(shù)Q’=fp)稱為邊際需求函數(shù)，簡稱邊際需求，f)稱為當(dāng)價格為po時的邊際需求，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)價格達(dá)到P。時，如果價格上漲一個單位，則需求將相應(yīng)減少r(po)個單位。供給函數(shù)Q=QfP)可導(dǎo)(其中Q為供給量，P為商品價格)，則其邊際函數(shù)QIQ)稱為邊際供給函數(shù)，簡稱邊際供給，Q’(稱為當(dāng)價格為po時的邊際供給。其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)價格達(dá)到P。時，如果價格上漲一個單位，則供給增加Q’(

3、po)個單位。(2)邊際成本函數(shù)總成本函數(shù)C=C(Q)=Cnct(Q)；平均成本函數(shù)=c(Q)=C(Q)／Q；c『_c’(Q)稱為邊際成本函數(shù)，c’(Q0)稱為當(dāng)產(chǎn)量為Q。時的邊際成本，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到Q。時，如果增減一個單位產(chǎn)品，則成本將相應(yīng)增減c’(Q0)個單位。(3)邊際收益函數(shù)總收益函數(shù)R=R(Q)，平均收益函數(shù)=R(Q)／Q，邊際收益函數(shù)RI_Rt(Q)，簡稱邊際收益，R’(Qo)稱為當(dāng)商品銷售量為Q。時的邊際收益，經(jīng)

4、濟(jì)意義為：當(dāng)銷售量達(dá)到o0時，如果增減一個單位產(chǎn)品，則收益將相應(yīng)地增減R。(Q0)個單位。(4)邊際利潤函數(shù)利潤函數(shù)L=L(Q)=R(Q)一c(Q)，平均利潤函數(shù)=L(Q)=L(Q)／Q，邊際利潤函數(shù)=L’(Q)=(Q)一c’(Q)，L’(Q0)稱為當(dāng)產(chǎn)量為Qo時的邊際利潤，其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到Q。時，如果增減一個單位產(chǎn)品，則利潤將相應(yīng)增減L。(Q個單位。例1某企業(yè)每月生產(chǎn)Q(噸)產(chǎn)品的總成本c(千元)是產(chǎn)量Q的函數(shù)，C(Q)=Q2

5、lOQ20，如果每噸產(chǎn)品銷售價格2萬元，求每月生產(chǎn)1O噸、15噸、2O噸時的邊際利潤。解：每月生產(chǎn)。噸產(chǎn)品的總收入函數(shù)為：R(Q)=2OQL(Q)=R(Q)一c(Q)=20Q一(Q2lOQ2O)=Q3OQ2OL’(Q)=(一Q3OQ2O)一2Q3O則每月生產(chǎn)10噸、15噸、20噸的邊際利潤分別為L’(10)一2Z1030=10(千元／噸)；L’f15)=一2X1530=0(千元／噸)；L’f2O)：一2X2030=一10(千元／噸)。以

6、上結(jié)果表明：當(dāng)月產(chǎn)量為10噸時，再增產(chǎn)1噸，利潤將增加l萬元；當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時，再增產(chǎn)1噸，利潤則不會增加；當(dāng)月產(chǎn)量為2O噸時，再增產(chǎn)1噸，利潤反而減少1萬元。顯然企業(yè)不能完全靠增加產(chǎn)量來提高利潤，那么保持怎樣的產(chǎn)量才能使企業(yè)獲得最大利潤呢2、最大值與最小值在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用最優(yōu)化問題是經(jīng)濟(jì)管理活動的核心，各種最優(yōu)化問題也是微積分中最關(guān)心的問題之一，例如，在一定條件下，使成本最低，收入最多，利潤最大，費用最省等等。下面介紹函數(shù)的最值在

7、經(jīng)濟(jì)效益最優(yōu)化方面的若干應(yīng)用。(1)最低成本問題例2設(shè)某廠每批生產(chǎn)某種產(chǎn)品X個單位的總成本函數(shù)為c㈤=mx一nxpx(常數(shù)mO，n0，p0)，①問每批生產(chǎn)多少單位時，使平均成本最?、谇笞钚∑骄杀竞拖鄳?yīng)的邊際成本。解：①平均成本(X)==m)(2_nxp，‘(x)=2mx—nX令‘(x)=0，得x=一，而”(x)=2m0。所以，每批生產(chǎn)個單位時，平均成本最小。②最小平均成本=m(2nXp=一一Pmm／4Inm，又Z斗mc’(x)=3mx

8、E2nxp，C’()=3m(一)L2nP一p，所以，最小mmZlrl4m平均成本等于其相應(yīng)的邊際成本。(2)最大利潤問題例3設(shè)某廠每批生產(chǎn)某種商品Q單位的費用為C(Q)=5Q2OO(元)，得到的收益是R(Q))=lOQ一0OlQ(元)，問每批生產(chǎn)多少單位時利潤最大最大利潤是多少解：產(chǎn)品的費用函數(shù)C(Q)=5Q200收益函數(shù)R(Q)=lOQ—OOlQ則利潤函數(shù)L(Q)=R(Q)一c(Q)=一OOlQ~5Q2OOL’(Q)=一0O2Q5令L

9、‘(Q)：0得Q=25oLtfQ)一0021，說明當(dāng)P=6時，價格上漲1％，需求減少12％，需求變動的幅度大于價格變動的幅度。3、收益彈性收益R是商品價格P與銷售量Q的乘積，即R=PQ=Pf(p)，R’=p)(p)=f(p)(1f))=f(p)(1—11)，所以，收益彈性為蓋爭=R’(P)(P／R(P))=(1一)=l一這樣，就推導(dǎo)出收益彈性與需求彈性的關(guān)系是：在任何價格水平上，收益彈性與需求彈性之和等于1。(1)若qo即價格上漲(或下

10、跌)1％，收益增加(或減rJr少)(1q；(2)若q1，則0簡寫為：maxz=ex使得Axe0葺荀i人ConstrainedMax[z，2x13x2≤100050，X1~23010，x2≤20010，xl，x2)]得z’=2530，XI1=240，x2=190從而do=zI_zo=120將z。，d。，d，d，d，輸人(△)程序ConstrainedMax『，2x13xz50h~100050xl10h~23010，xz10h≤20010，

11、z一120h≥2410，≤1)，xl，X2，l1得上述模糊線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解為x~=235X2“=185=O5，因此甲類產(chǎn)品235套，乙類產(chǎn)品185套時，能獲得最大利潤z=5x7x=2470(萬元1。對比經(jīng)典線性規(guī)劃問題f4)，雖然甲類產(chǎn)品多生產(chǎn)5套，乙類產(chǎn)品多生產(chǎn)5套，總費用超出25萬元，但利潤提高了6O萬元。4結(jié)束語用Mathematiea軟件求解模糊線性規(guī)劃問題使運算變得簡潔。此外，Mathematica軟件在求解多目標(biāo)模糊線性

12、規(guī)劃、有模糊系數(shù)的線性規(guī)劃問題中也能發(fā)揮其超強(qiáng)的計算功能。因此學(xué)好運用好Mathematica軟件，對處理生產(chǎn)、管理等經(jīng)濟(jì)問題有很大幫助。參考文獻(xiàn)[1]胡淑禮模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用[M]四川大學(xué)出版社，1994年[2]徐安農(nóng)Mathematica數(shù)學(xué)實驗電子工業(yè)出版社，2006年(上接第99頁)其固定成本為C。=1000元，產(chǎn)品單價規(guī)定為500元。假設(shè)產(chǎn)銷平衡，問生產(chǎn)量為多少時利潤最大，并求出最大利潤。解：總成本函數(shù)為c(x)=J0(1002

13、t)dtc(0)=100xx21000總收益函數(shù)為R(x)=500x總利潤L(x)=R(x)一c(x1=400x—x1000，L=400—2x，令L『_O，得x=200，因為L”(200)0。所以，生產(chǎn)量為200單位時，利潤最大。最大利潤為L(200)=400200—2OO2—1O0O=39O0O(元)。在這里我們應(yīng)用了定積分，分析出利潤最大，并不是意味著多增加產(chǎn)量就必定增加利潤，只有合理安排生產(chǎn)量，才能取得最大的利潤。綜上所述，對企業(yè)

14、經(jīng)營者來說，對其經(jīng)濟(jì)環(huán)節(jié)進(jìn)行定量分析是非常必要的。將數(shù)學(xué)作為分析工具，不但可以給企業(yè)經(jīng)營者提供精確的數(shù)值，而且在分析的過程中，還可以給企業(yè)經(jīng)營者提供新的思路和視角，這也是數(shù)學(xué)應(yīng)用性的具體體現(xiàn)。因此，作為一個合格的企業(yè)經(jīng)營者，應(yīng)該掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析方法，從而為科學(xué)的經(jīng)營決策提供可靠依據(jù)。參考文獻(xiàn)[1]趙樹塬經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(一)微積分中國人民大學(xué)出版社，2002[2]朱來義高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分高等教育出版社2003[3]吳贛