凸體的Brunn-Minkowski理論.pdf

1、本文隸屬于Brunn-Minkowski理論領域，該領域是近幾十年來在國際上發(fā)展非常迅速而重要的一個幾何學分支．本學位論文利用幾何分析中的凸體理論，積分變換方法和解析不等式理論，研究了凸體和星體的等周問題和相關的不等式問題． 本文的研究工作主要分為三個方面。 在經(jīng)典Brunn-MinkowsM理論中，推廣了矩陣形式的Brunn-Minkowski不等式，推廣了Alexander度量加不等式． 在對偶Brunn-M

2、inkowski理論中，我們引入了對偶調(diào)和均質(zhì)積分概念，系統(tǒng)的研究了它的性質(zhì)，并建立對偶調(diào)和均質(zhì)積分的Brunn-Minkowski不等式，Blaschke-Santaló型不等式和Bieberbach不等式；接著我們建立了對偶仿射均質(zhì)積分的對偶Brunn-Minkowski不等式，最近我們得知這個不等式被Gardner用另外的方式證明；凸體的極體是凸幾何中一個重要概念，既然相交體和投影體有對偶關系，因此在研究完投影體的極體之后自然要研

3、究相交體的極體．但相交體不一定凸，所以關于相交體的極體的性質(zhì)和經(jīng)典不等式的討論與研究幾乎是一片空白．采用Moszyfiska引入的星對偶的概念，我們在第五章中研究相交體的星對偶體，從而更進一步地揭示了投影體和相交體兩者之間的對偶關系；引入了對偶混合體的概念．作為應用，給出了對偶Brunn-Minkowski不等式的加強版本．這些結果都加強了經(jīng)典Brun-Minkowski理論與對偶Brunn-Minkowski理論的對偶性． 在