彈性桿波導中幾類非線性演化方程及其孤波解和沖擊波解.pdf

1、二十世紀六十年代，自然科學的許多科學分支幾乎不約而同地出現(xiàn)了非線性問題的研究熱潮，諸方面的研究匯成了非線性的洪流，孤子、湍流、混沌、分形及復雜系統(tǒng)等新的物理現(xiàn)象被揭示，大大擴展了人們的視野，并導致了自然科學認識論和發(fā)展觀的一場大革命。非線性科學已成為近代科學發(fā)展的一個重要標志，它是自然科學各科學分支共同關心的真正的基礎性研究。非線性科學涉及到自然界諸多復雜現(xiàn)象，具有廣闊應用前景。特別是非線性動力學和非線性波動的研究對于解決物理學、化學、

2、生物學和地球物理學中遇到的復雜現(xiàn)象和問題有著極其重要的意義。 非線性科學發(fā)展中一個重要成就就是孤立子理論的建立。在許多非線性物理領域，已經發(fā)現(xiàn)一大批非線性演化方程具有孤立子解。這些方程的共同特征是具有無窮個守恒律、可用散射反演法解析求解、存在B(a)cklund變換、完全可積分等。孤立子典型的特征是在其傳播過程中伴隨有能量集聚，且孤立子間相互作用時表現(xiàn)出猶如粒子彈性碰撞一樣的行為。這些特性已在流體力學、等離子體、光纖通訊等技術領

3、域獲得廣泛應用。 固體力學在線性波的研究方面曾取得過輝煌的成就，為推動物理學中波動理論的發(fā)展做出過巨大貢獻。近年來固體結構中非線性波的研究已開始受到關注。本文在綜述了其它非線性物理領域孤立子理論的研究基礎上，以彈性細桿波導為對象，考慮了固體結構中常出現(xiàn)的非線性源及粘性耗散效應、幾何彌散性質等，研究了固體中幾類非線性波的傳播問題，取得了以下一些主要結果： 1.利用Hamilton變分原理，導出了計及有限變形和橫向剪切及橫向

4、慣性效應的彈性細桿波導中的雙非線性雙彌散的縱向波動方程，給出了橫向剪切、橫向慣性這兩種效應共同作用下的彌散關系并與初等理論、Pochhammer精確理論、Rayleigh-Love修正理論的彌散關系進行了比較，結果表明，本文所得到的彌散關系曲線更接近于精確理論下基本模態(tài)的分支。利用Jacobi橢圓函數(shù)的有限展開法，得到該方程(三次非線性)及相應的截斷方程(二次非線性)的精確周期解，在極限條件下雙非線性雙彌散縱向波動方程的三個周期解分別退

5、化為沖擊波解和孤立波解。而非線性相對較弱的截斷方程則退化為相同的孤立波解而無沖擊波解。通過tanh函數(shù)有限展開等方法得到了它們的另外幾組孤波解。 2.計及Cox本構關系的三次非線性和橫向剪切及橫向慣性效應的耦合，導出了彈性細桿波導中的一種非線性縱波演化方程。給出了該波動方程的遠場方程，利用G-M變換將縱波方程簡化為經典的KdV方程，利用Hirota方法給出了它的單孤波解以及雙孤波解，分析表明應變孤波產生于桿件的物理非線性和幾何彌

6、散兩種效應的相互平衡。并定量地描述了孤波對于固體結構的影響。通過相平面分析法對彈性細桿波導中的兩種非線性縱波方程進行了定性分析，結果表明，當行波波速大于剪切波速度時，可能出現(xiàn)孤立波解，反之，則可能出現(xiàn)沖擊波解。 3.考慮了結構的有限變形引起的非線性效應、粘性耗散和幾何彌散效應的耦合，建立了彈性細桿波導中的另一個幾何非線性縱波的波動方程，用特征線法得到它的特征線和特征線上的相容關系，分析了粘性耗散和幾何彌散效應對波的傳播速度的影響

7、。利用奇異攝動理論中的多尺度變換法對導出的幾何非線性演化方程進行簡化，得到了經典的KdV-Burgers方程。當忽略粘性耗散效應時，幾何非線性演化方程可簡化為KdV方程；當忽略橫向慣性效應時，它可簡化為Burgers方程。并給出了Burgers、KdV、KdV-Burgers三種方程相應的穩(wěn)態(tài)解分別為激波解、孤波解和振蕩孤波解或激波解。在相平面上對這三種非線性方程進行了定性分析。結果表明，Burgers方程在相平面上有相應于激波解的異宿

8、軌道；KdV方程有相應于孤波解的同宿軌道；KdV-Buegers方程有相應于振蕩孤波解的鞍-焦異宿軌道和相應于激波解的鞍-結異宿軌道。 4.考慮了梁的大撓度引起的幾何非線性效應和梁的轉動慣性導致的彌散效應，利用變分法建立了梁中非線性彎曲波的波動方程。利用Jacobi橢圓函數(shù)的有限展開法，得到了非線性彎曲波動方程的三個精確周期解。在極限條件下這些周期解分別退化為沖擊波解和孤波解。對導出的非線性彎曲波動方程在相平面上進行了定性分析，

9、結果表明，非線性彎曲波動方程在相平面上存在同宿軌道和異宿軌道，分別相應于方程的孤波解和沖擊波解。利用約化攝動法從非線性彎曲波動方程中導出了非線性Schr(o)dinger方程，從理論上證明了考慮梁的大撓度和轉動慣性時梁中存在包絡孤立波，并給出了該系統(tǒng)中可能存在亮孤子或暗孤子的條件。 5.對于非圓截面的彈性細桿波導，計及有限扭轉變形引起的扭矩-轉角非線性關系和非圓截面的翹曲運動引起的彌散效應，導出了非圓截面彈性桿扭轉運動的非線性彌