兩類生物模型的共存態(tài)和漸近行為.pdf

1、Lotka-Volterra模型和恒化器模型是兩類重要的生物數(shù)學(xué)模型.Lotka-Volterra模型是種群動(dòng)力學(xué)研究的核心內(nèi)容，它在生態(tài)學(xué)，特別是動(dòng)植物保護(hù)和生態(tài)環(huán)境的治理與開發(fā)等領(lǐng)域中有著非常重要的作用.恒化器是用于微生物連續(xù)培養(yǎng)的一種實(shí)驗(yàn)裝置.它不僅是一個(gè)簡(jiǎn)化了的湖泊模型，可用于模擬湖泊和海洋中單細(xì)胞藻類浮游生物的生長(zhǎng)，而且它已被廣泛地應(yīng)用于微生物的生產(chǎn)、生物制藥、食品加工及生態(tài)系統(tǒng)尤其是水生生態(tài)系統(tǒng)的管理、預(yù)測(cè)和環(huán)境污染的控制.

2、 本文基于這兩類生物模型的研究現(xiàn)狀，主要運(yùn)用非線性分析和非線性偏微分方程工具，特別是反應(yīng)擴(kuò)散方程(組)和對(duì)應(yīng)橢圓方程(組)的理論和方法，深入系統(tǒng)地研究了具有抑制劑的非均勻恒化器模型和具有非單調(diào)轉(zhuǎn)換率的Lotka-Volterra模型的動(dòng)力學(xué)行為，包括正平衡態(tài)解的存在性、多解性、穩(wěn)定性以及長(zhǎng)時(shí)行為.所涉及的數(shù)學(xué)理論包括：上下解方法、比較原理、單調(diào)動(dòng)力系統(tǒng)理論、全局分歧理論、拓?fù)洳粍?dòng)點(diǎn)理論、Lyapunov-Schmidt過程和擾動(dòng)

3、理論等.本文的主要內(nèi)容包括以下幾個(gè)方面：一、研究了基本的非均勻恒化器模型，利用比較原理和上下解方法得到了模型正平衡解的全局吸引性.而且，采用上下解方法、Sobolev嵌入定理并結(jié)合特征值性質(zhì)，詳細(xì)分析了單物種模型的正解同物種生長(zhǎng)率的關(guān)系. 二、考察了一類具有內(nèi)部抑制劑的非均勻恒化器模型.首先分析了平凡的、半平凡的非負(fù)解的穩(wěn)定性，得到了系統(tǒng)解的一些漸近行為，并根據(jù)單調(diào)動(dòng)力系統(tǒng)理論得到了正平衡解的存在性.然后，利用度理論、分歧理論以

4、及攝動(dòng)理論，重點(diǎn)分析了抑制劑對(duì)系統(tǒng)正平衡態(tài)解及漸近行為的影響.結(jié)果表明體現(xiàn)抑制作用的參數(shù)μ在決定模型解的穩(wěn)定性和長(zhǎng)時(shí)行為時(shí)起了重要作用.當(dāng)參數(shù)μ充分大時(shí)，如果物種u的生長(zhǎng)率適當(dāng)大，則此模型沒有正解，且其中一個(gè)半平凡的非負(fù)解是全局吸引的；如果物種u的生長(zhǎng)率滿足一定條件，則此模型的所有正解由一個(gè)極限問題決定，且兩個(gè)半平凡的非負(fù)解是雙穩(wěn)定的. 三、討論了一類具有外加抑制劑的非均勻恒化器模型，利用分歧理論分析了共存解的全局結(jié)構(gòu)和局部穩(wěn)定

5、性，采用單調(diào)方法研究了系統(tǒng)的漸近行為，并用數(shù)值模擬的方法說(shuō)明了競(jìng)爭(zhēng)物種滅絕或共存以及正平衡態(tài)解全局穩(wěn)定的可能性，討論了物種振蕩與模型各參數(shù)的關(guān)系. 四、研究了一類具有內(nèi)部抑制劑的質(zhì)體負(fù)載(plasmid-bearing)與質(zhì)體自由(plasmid-free)的物種相互競(jìng)爭(zhēng)的非均勻恒化器模型.首先，采用通常的錐映射的不動(dòng)點(diǎn)指標(biāo)理論得到了物種共存的充分條件.然后，利用度理論、分歧理論以及攝動(dòng)理論，主要分析了抑制劑對(duì)模型正平衡態(tài)解的個(gè)

6、數(shù)及穩(wěn)定性的影響.結(jié)果顯示體現(xiàn)抑制作用的參數(shù)μ在決定模型共存解個(gè)數(shù)時(shí)起了重要作用.當(dāng)參數(shù)μ充分大時(shí)，如果物種u的生長(zhǎng)率滿足一定條件，則此模型至少存在兩個(gè)共存解；如果物種u的生長(zhǎng)率適當(dāng)大，則此模型存在唯一的漸近穩(wěn)定的共存解.最后，利用數(shù)值模擬的方法更細(xì)致地刻畫了各參數(shù)對(duì)模型共存解個(gè)數(shù)及穩(wěn)定性的影響. 五、考慮了一類具有外加抑制劑的質(zhì)體負(fù)載(plasmid-bearing)與質(zhì)體自由(plasmid-free)的物種相互競(jìng)爭(zhēng)的非均勻

7、恒化器模型，利用全局分歧理論、不動(dòng)點(diǎn)指標(biāo)理論、比較原理和線性穩(wěn)定性方法，分析了共存解的全局結(jié)構(gòu)和局部穩(wěn)定性，并從數(shù)值的角度討論了競(jìng)爭(zhēng)物種滅絕或共存以及物種振蕩對(duì)模型各參數(shù)的依賴關(guān)系. 六、研究了一類具有擴(kuò)散和非單調(diào)轉(zhuǎn)換率的Lotka-Volterra模型，采用分歧理論、Lyapunov-Schmidt過程和擾動(dòng)理論分析了此模型平衡態(tài)系統(tǒng)的多解性和穩(wěn)定性.結(jié)果表明如果參數(shù)d適當(dāng)大，那么系統(tǒng)的共存解關(guān)于分歧參數(shù)形成了一條S-型的光滑